吉林大学 研究生 数值计算方法期末考试 样卷

1. 已知

ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差

2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值

3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1)

x f[x] f[x,x] f[x,x,x] iii?1ii?2i?1i2.0 2.2 2.3 (2)

xi0.6931 0.7885 0.8329 0.477 0.444 f[xi?1,xi]f[xi?2,xi?1,xi] -0.11 f[xi?3,xi?2,xi?1,xi] f[xi]0 2 3 5 N3(x)?1?x?1 3 2 5 1 -1 3/2 -2/3 5/6 3/10 23x(x?2)?x(x?2)(x?3)3104.给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton

插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 x 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 f(x)0.4100.5780.6960.8881.0261.253 75 15 75 11 52 82 解： x f[x] F2 F3 F4 F5 F6 0.4 0.410 75 0.50.5781.116 5 15 00 0.60.6961.1860.280 5 75 00 00 0.8 0.8881.2750.3580.197 11 73 93 33 0.9 1.0261.3840.4330.186-0.022 52 10 47 34 00 1.01.2531.5150.5240.2280.0880.1635 82 33 92 63 46 94

5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 x 0.4 0.5 0.6 0.7 iiiii0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) x 1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1 y 1.84 1.96 2.21 2.45 2.94 3.18 (b)

f(xi)k kxk k4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 10111314161922252932y2.53.10.12.07.55.14.86.79.56.7 6 8 1 5 3 4 7 3 0 2

7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形

1dx求积公式计算积分?所需的步长h，x?40使得精度达到10?52。

8.求A、B使求积公式

11??1f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(?2)?f(2)]1的

代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求9.已知

1 3 4 5 f(x) 2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

xiI?? 211dxx(保留四位小数)。

i3

10.已知

-2 -1 0 1 2 f(x) 4 2 1 3 5 求f(x)的二次拟合曲线p(x)，并求f?(0)的近似值。

11.已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 xi 0.7 0.8 yi 0.38942 0.47943

xii20.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 12. 利用矩阵的LU分解法解方程组

?x1?2x2?3x3?14??2x1?5x2?2x3?18?3x?x?5x?20123?。

13.已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

14. 取节点x?0,x?0.5,x?1,求函数f(x)?e在区间[0,1]上的二次插值多项式P(x),并估计误差。 15. 数值积分公式形如

012?x2 0试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量

4f(x)?C[0,1]，推导余项公式高；（2）设

?xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)1R(x)??xf(x)dx?S(x)01，并估计误差。

16. 已知数值积分公式为： ?0hhf(x)dx?[f(0)?f(h)]??h2[f'(0)?f'(h)]2，

试确定积分公式中的参数?，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 17. 以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表：

18用复化Simpson公式计算积分

sin?x?I??dx0x的近似值，要求误差限为

10.5?10。

19. 取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式

20?5?和复化辛普生公式计算积分

的近似值（保留4位小数）。 20.确定求积公式 11???1f?x?dx?9?5f1dx21?2x?0.6?8f?0??5f?0.6?????

的代数精度，它是Gauss公式吗？

21〃. 给出f(x)?lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916-0.693-0.510-0.357-0.223 291 147 826 765 144 22.给出cosx,0?x?90的函数表，步长h?1??(1/60)，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

23. 求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0)?P?(0)?0，P(1)?P?(1)?1，P(2)?1。 24.. 给定数据表：i?1,2,3,4,5，

x 1 2 4 6 7 ???if(xi) 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 25.如下表给定函数：i?0,1,2,3,4，

x 0 1 2 3 4 i4 1 0 1 1 f(xi) 试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿

3 6 11 18 27 向前插值公式给出它的插值多项式。

26. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 27.观测物体的曲线运动，得出以下数据： 时间t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米） 0 10 30 50 80 110

2ii28. 单原子波函数的形式为y?ae，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：

X 0 1 2 4 y 2.010 1.210 0.740 0.450 29. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： （1）?4?xx102?bxdx；

30. 用矩阵的直接三角分解法求解方程组：

?1??0?1??0?

020??x1??5??????101??x2??3???????243x317?????。 ?x??7?103???4???

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