2010考研数学强化班高等数学讲义（一至三章）

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

2010考研强化班高等数学讲义

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

考研强化班高等数学讲义(一至三章)

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

3．反函数 4．隐函数

??x2n?1??(1) y?limfn(x), 例 f(x)?lim??2n??x? n??n????x?1??(2) y?limf(t,x)，例 f(x)?lim?t?x?sint??t?xsinx??xsint?sinx

2．用变上、下限积分表示的函数

(1) y?(2) y?则

?xaf(t)dt

其中f(t)连续，则

dy?f(x) dx???2(x)1(x)f(t)dt

其中?1(x),?2(x)可导，f(t)连续，

dy?(x)?f[?1(x)]?1?(x) ?f[?2(x)]?2dx五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数y?f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f(x)?M，

则称f(x)在X上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对x?X，都有f(?x)??f(x)，则称f(x)在X

上是奇函数。

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

若对x?X，都有f(?x)?f(x)，则称f(x)在X上是偶函数，奇函数的图象关于原

,当f为奇函数?0a?f(x)dx??a点对称；偶函数图像关于y轴对称。重要公式? ?a2f(x)dx,当f为偶函数??0?x1?x2都有f(x1)?f(x2) 3． 单调性：设f(x)在X上有定义，若对任意x1?X,x2?X，

[f(x1)?f(x2)]则称f(x)在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意x1?X，x2?X,x1?x2都有f(x1)?f(x2)[f(x1)?f(x2)]，则称f(x)在X上是单调不减[单

调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） 若在(a,b) 内，

f?(x)?0,则f(x)单调增加

f?(x)?0,则f(x)单调减少4． 周期性：设f(x)在X上有定义，如果存在常数T?0，使得任意x?X，x?T?X，

都有f(x?T)?f(x)，则称f(x)是周期函数，称T为f(x)的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。 例f(x)?sin?x(??0常数)周期?=(乙) 典型例题 一、定义域与值域

例1 设f(x)的定义域为[?a,a]（a?0）求f(x?1)的定义域

解：要求?a?x?1?a，则1?a?x?1?a， 当a?1时，

2222??

1?a?0，?x2?1?a，则x?1?a

当0?a?1时，1?a?0，?1?a?x?1?a 也即1?a?x?1?a或?1?a?x??1?a

?3?x3,x??2?例2 求y?f(x)??5?x,?2?x?2的值域，并求它的反函数。

?1?(x?2)2,x?2?解：x??2，y?3?8?11，x?33?y，

?2?x?2，3?y?5?x?7，x?5?y，

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

x?2，y?1?(x?2)2?1，x?2?1?y，

所以y?f(x)的值域为(??,1)?[3,7]?(11,??)

?反函数x??2?1?y,y?1?5?y,3?y?7

??33?y,y?11

二、求复合函数有关表达式 例1 设f(x)?x1?x2，求f[f(f(x))]?fn(x) n重复合

ff(x)xx2解：2(x)?f[f(x)]?1?f2(x)?1?x2/1?1?x2?x1?2x2， 若

fk(x)?x1?kx2，ffk(x)xx2xk?1(x)?1?f2?2/1?2??(k?1)x k(x)1?kx1?kx12根据数学归纳法可知，对正整数n，fn(x)?x1?nx2

例2 已知f?(ex)?xe?x，且f(1)?0，求f(x)

解：令ex?t，x?lnt，因此f?(ex)?f?(t)?lntt， f(x)?f(1)??xlnt1tdt?1x12ln2t1?2ln2x

f(1)?0，∴f(x)?12ln2x

三、有关四种性质

例1 设F?(x)?f(x)，则下列结论正确的是 [ ]

（A）若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数 （B）若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

则

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

（C）若f(x)为周期函数，则F(x)为周期函数 （D）若f(x)为单调函数，则F(x)为单调函数 例2 求I??1?1xx[x5?(ex?e?x)ln(x?x2?1)]dx

?x解 f1(x)?e?e是奇函数，?f1(?x)?e?x?ex??f1(x)

f2(x)?ln(x?x2?1)是奇函数， ?f2(?x)?ln(?x?x?1)?ln ?ln1?ln(x?因此x(ex?e?x)ln(x?于是I?2(x2?1)?x2x?x?12

x2?1)??f2(x)

x2?1)是奇函数

10?1?1x6dx?0?2?x6dx?2 7例3 设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，则当a?x?b时，下列结论成立的是

[ ]

（B）f(x)g(a)?f(a)g(x) （D）f(x)g(x)?f(a)g(a)

（A）f(x)g(b)?f(b)g(x) （C）f(x)g(x)?f(b)g(b)

思考题：两个周期函数之和是否为周期函数 例1．f(x)?sinxx?cos 23例2．f(x)?sin?x?sin2x 四、函数方程

例1．设f(x)在[0,??)上可导，f(0)?0，反函数为g(x)，且

?f(x)0g(t)dt?x2ex，求

f(x)。

xx)f]?x(?)xe2?x2ex，于是xf?(x)?x(2?x)ex，故解：两边对x求导得g[f(f?(x)?(x?2x)e，f(x)?(x?1)ex?C，由f(0)?0，得C??1，则f(x)?(x?1)ex?1。

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

例2 设f(x)满足sinf(x)?解：令g(x)?sinf(x)，则

11sinf(x)?x，求f(x) 3311g(x)?g(x)?x，

3311111g(x)?2g(2x)?2x， 3333311111g(x)?g(x)?x， 2233433333……

111g(x)?x， n?1n?1nn2(n?1)333331111各式相加，得g(x)?ng(nx)?x[1????n?1]

933911?g(x)?1，∴ limng(nx)?0

n??33g(x)?lim[1?n??1111???n?1]?9911?19?9 8因此g(x)?9x，于是 899f(x)?arcsinx?2k?或(2k?1)??arcsinx（k为整数）

88

思考题

设b?a均为常数，求方程

sin(x?b)ln[(x?b)?(x?b)2?1]?sin(x?a)ln[(x?a)?(x?a)2?1]?0的一个解。

§1.2 极限

(甲) 内容要点

一、极限的概念与基本性质 1．极限的概念

(1) 数列的极限limxn?A

n??(2) 函数的极限limf(x)?A；limf(x)?A；limf(x)?A

x???x???x??

limf(x)?A；lim?f(x)?A；lim?f(x)?A

x?x0x?x0x?x0考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

2．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性 ） 设limf(x)?A，limf(x)?B，则A=B 定理2 （极限的不等式性质） 设limf(x)?A，limg(x)?B 若x变化一定以后，总有f(x)?g(x)，则A?B

反之，A?B，则x变化一定以后，有f(x)?g(x)（注：当g(x)?0，B?0情形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设limf(x)?A 则当x变化一定以后，f(x)是有界的。

定理4 设limf(x)?A，limg(x)?B 则（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B （2）lim[f(x)?g(x)]?A?B （3）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（4）limf(x)A?(B?0) g(x)Bg(x)（5）lim[f(x)]

二、无穷小量

?AB (A?0)

1．无穷小量定义：若limf(x)?0，则称f(x)为无穷小（注：无穷小与x的变化过程有关，lim111?0，当x??时为无穷小，而x?x0或其它时，不是无穷小） x??xxx2．无穷大量定义：任给M>0，当x变化一定以后，总有f(x)?M，则称f(x)为无穷大，记以limf(x)??。

3．无穷小量与无穷大量的关系：在x的同一个变化过程中，

若f(x)为无穷大量，则

1为无穷小量， f(x)1为无穷大量。 f(x)若f(x)为无穷小量，且f(x)?0，则

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

4．无穷小量与极限的关系：

limf(x)?A?f(x)?A??(x)，其中lim?(x)?0

5．两个无穷小量的比较

设limf(x)?0，limg(x)?0，且limf(x)?l g(x)（1）l?0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，记以f(x)?o[g(x)] 称g(x)是比f(x)低阶的无穷小量

（2）l?0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小量。

（3）l?1，称f(x)与g(x)是等阶无穷小量，记以f(x)~g(x) 6．常见的等价无穷小量，当x?0时

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1?cosx~ln(1?x)~x，(1?x)??1~?x。

7．无穷小量的重要性质

有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则

准则1：单调有界数列极限一定存在

12x，ex?1~x，2(1) 若xn?1?xn（n为正整数）又xn?m（n为正整数），则limxn?A存在，且A?m

n??(2) 若xn?1?xn（n为正整数）又xn?M（n为正整数），则limxn?A存在，且A?M

n??准则2：夹逼定理

设g(x)?f(x)?h(x)。若limg(x)?A，limh(x)?A，则limf(x)?A 3．两个重要公式

公式1：limsinx?1

x?0x11n1u公式2：lim(1?)?e；lim(1?)?e；lim(1?v)v?e

v?0n??u??nu4．用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

x2?当x?0时，e?1?x?2!xxn??o(xn) n!x2x3e?1??o(x3)112!?lim3!例：lim??

x?0x?0x3x33!6xx3x5sinx?x???3!5!x2x4cosx?1???2!4!x2n?1(?1)?o(x2n?1)

(2n?1)!nx2n?(?1)?o(x2n)

(2n)!nx2x3ln(1?x)?x???23x3x5arctanx?x???35(?1)n?1xn?o(xn) nnx2n?1?(?1)?o(x2n?1)

2n?1(1?x)??1??x??(??1)2!x2???(??1)[??(n?1)]n!xn?o(xn)

6．洛必达法则

第一层次，直接用洛必达法则 法则1：（

0型）设（1）limf(x)?0,limg(x)?0 0（2）x变化过程中，f?(x)，g?(x)皆存在

（3）limf?(x)?A（或?） ?g(x)则limf(x)?A（或?） g(x)（注：如果lim大量情形） 法则2：（

f?(x)f(x)不存在且不是无穷大量情形，则不能得出lim不存在且不是无穷?g(x)g(x)?型）设（1）limf(x)??,limg(x)?? ?（2）x变化过程中，f?(x)，g?(x)皆存在

（3）limf?(x)?A（或?） ?g(x)考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

则limf(x)?A（或?） g(x)第二层次，间接用洛必达法则\??\型和\???\型

例 limxlnx和lim(??x?0x?01x1) xe?10第三层次：间接再间接用洛必达法则\?\型、\\型、\?0\型

lim?f(x)?x?*g(x)?limeg(x)lnf(x)?ex?*g(x)lnf(x)

x?*lim7．利用导数定义求极限

基本公式：lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)[如果存在]

?x8．利用定积分定义求极限

11nk基本公式lim?f()??f(x)dx

0n??nnk?1[如果存在]

9．其它综合方法

10．求极限的反问题有关方法

x2?ax?b?3,求a和b 例：已知limx?1sin(x2?1)（乙）典型例题 一、有关无穷小量

x3?x2?1(sinx?cosx)? 例1．limx???2x?x3nn例2．设当x?0时，(1?cosx)ln(1?x)是比xsinx高阶的无穷小量，而xsinx又是比

22(ex?1) 高阶的无穷小量，则n等于（ ）

（A）1 （B）2 （C）3

二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限

（D）4

amxm?am?1xm?1??a1x?a0例1 设am?0，bn?0，求lim n?1x??bxn?b??b1x?b0nn?1xamxm?am?1xm?1??a1x?a0解：lim n?1x??bxn?b???b1x?b0nn?1xxm?n[am?am?1x?1???a1x1?m?a0x?m] ?lim?11?n?nx??bn?bn?1x???b1x?b0x考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

?0，当m?n时????amb,当m?n时 ????n,当m?n时例2 设a?0，r?1，求lim(a?ar???arn?1n??)

解：lim(a?ar???n?1)?lim1?rnan??arn??a1?r?1?r

特例 （1）求lim??2?(2)223n?1n???33?(3)???(?1)(2?3)n?? 2解：例2中取a?

2，r??2，可知原式333??21?(?25 3)1?1??(1)n（2）lim2224n????

1?13???(13)n332例3．求lim3n?1?2nn??2n?1?3n

解：分子、分母用3n除之，

3?(2)n原式=lim3n??2(2?3 3)n?1（注：主要用当r?1时，limrnn???0）

n例4 设l是正整数，求lim1n???k?1k(k?l) 解：?11k(k?l)?l(1k?1k?l)

∴

?n1?1?1?1???1?1???1? k?1k(k?l)l??2ln?1n?l??因此原式?1(11l?2???1l) 考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：

ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

特例：（1）limn???k(k?1)?1 （l?1）

k?1nn1（2）lim1113?(1?)? （l?2） ?n??k(k?2)224k?1

三、用两个重要公式

例1 求limcoscos?cosn??x2x4x n2

解：当x?0，原式=1

xxxxcoscos?cosnn2422当x?0时，原式?lim

n??xn2sinn2xxxx2n?1coscos?cosn?1?sinn?12422 ?limn??x2nsinn22nsin=…

xsinxsinx2nsinx?lim?lim?? n??nn??xxxx2sinnsinn22x?1x例2 求lim()

x??x?11x(1?)x?(x?1)/x?x?1xe?1?2x)?lim??lim??e解一：lim(

x??x?1x??(x?1)/x?x??1e??(1?)xx解二：lim(x??x?1x?2??)?lim?1?()?x??x?1x?1??(x?1?2x)()?2x?1?e?2

例3 lim(cosx)x?0cotx2?lim(1?sin2x)x?0cos2x2sin2x?lim1?(?sin2x)x?0??1cos2x?(?sin2x)(?2)

=e?12

四、用夹逼定理求极限 例1．求lim(?n??1352n?1??) 2462n考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

解：令x2?34?56?2n?12n，y2n?13?45?2nn?2n?1， 则0?x21n?yn，于是0?xn?xnyn?2n?1

由夹逼定理可知：limx2n??n?0，于是原极限为0

n例2 求limkn???k?1n2?n?k

解：1?2???nnk1?2??n2?n?n??k?1n2?n?k??nn2?n?1 1而lim1?2???nn(n?1)n??n2?2n?lim2n??n(n?2)?12 1lim1?2???n2n(n?1)1n??n2?n?1?limn??n2?n?1?2 n由夹逼定理可知limk1n???k?1n2?n?k?2 例3 求lim1xx??x?0sintdt

解：??(k?1)??k?sintdt??0sintdt?2

设n??x?(n?1)?，则

2n??n?x0sintdt??sintdt?(n?1)?0?0sintdt?2(n?1)

于是，2n1x(n?1)??x?0sintdt?2(n?1)n?

∵lim2nn??(n?1)??2?，lim2(n?1)n??n??2?，

由夹逼定理可知，xlim1x2???x?0sintdt??

五、用定积分定义求数列的极限 n例1．求limnn???

k?1n2?k2 分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：

ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

nn2nn2???

n2?n2k?1n2?k2n2?12n21n2?，lim2?1 而lim22n??n?n2n??2n?1由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑

n解：limn1n???k?1n2?k2lim1n??n?n?k?11?(k 2n)??1dx1?01?x2?arctanx0?4

sink?例2 求limnn???nk?1n?1 k解：?1nk?nsink?nnn?1?sin?1sink?1n??k?1n?1n?k?

k?1nk而lim1nk?1n??n?sin?k?1n?0sin?xdx?2? lim1nk?n1nk?n??n?1?sin?lim()(k?1nn??n?1n?sin)?2 k?1n?k?nsin由夹逼定理可知，limnn????2k?1n?1? k

六、用洛必达法则求极限

1．

\0\\?0型和\?型 1?sin1例1．求limnnn?? sin31n解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑

limx?sinxx?sinxx?0sin3x等价无穷小代换limx3

x?0考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：

ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

?lim1?cosxsinx1?lim?

x?0x?06x63x21∴ 原式?

6?12

ex例2．求lim10

x?0x12?x2?2(3)eex\0\x解：若直接用型洛必达法则1，则得lim=lim（不好办了，分母x的次x?05x12x?010x901数反而增加）

为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令

1?t x2exe?tt5\?\于是lim10?lim?5?limt（型）

x?0xt???tt???e?2?15t4?limt?t???e?lim5!?0

t???etx0?例3 设函数f(x)连续，f?0??0，求limx?0(x?t)f(t)dtxx?f(x?t)dt0

解：原式?limx?f(t)dt??tf(t)dt00xxx?0x?f(u)du0x0x（分母作变量替换x?t?u）

??limx?0f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x0（用洛必达法则，分子、分母各求导数）

f(u)du?xf(x)（用积分中值定理）

?limx?0(??0)xf(?)（?在0和x之间）

xf(?)?xf(x)

?f(0)1?

f(0)?f(0)2

2．\???\型和\??\型

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

例1 求lim1x?0(sin2x?cos2xx2) x2?sin2x?cos2解：原式=limxx?0x2sin2x x2?1sin22x

?lim4x?0x4 2x?4sin2x

?lim4cos2xx?04x3 x?1 ?lim4sin4xx?02x3 ?lim1?cos4xx?06x2 ?lim4sin4xx?012x

?43

11例2 设a?0，b?0常数。求xxxlim???x(a?b)

11令1?t解：原式?ax?bxxat?bt\0\xlim???1 limt（0型）

t?0?x用洛必达法则

?limt?0?(atlna?btlnb)

?lna?lnb

?lnab

3．“1?”型，“00”型和“?0”型

这类都是lim[f(x)]g(x)形式可化为elimg(x)ln[f(x)]

而limg(x)ln[f(x)]都是“0??”型，按2的情形处理 例1 求sin2xxlim?0?x

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：

ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

解：令y?xsinx，lny?sinxlnx

22x?0lim?lny?lim?sin2xlnx?0

x?00x?0∴ lim?y?e?1

a?nbn) 例2 设a?0，b?0常数，求lim(n??2解：先考虑lim(x???na?bx)它是“1?”型 21x111x1xa?bx)，lny?x[ln(ax?bx)?ln2] 令y?(21xln(a?b)?ln2xln(at?bt)?ln2\0\limlny?lim lim （型） x???x???t?0?1t0xatlna?btlnb1?lim??(lna?lnb)?lnab t?02at?bt因此，lim(x???n1x1x令1?ta?bx)?ab 21x1xa?nbn)?ab 于是，lim(n??2

七、求分段函数的极限

例 求lim(x?02?e1?e1x4x1x4x?sinx) |x|解：lim?(x?02?e1?e?sinx)?2?1?1 (?x)3xx?0lim(?2e?4x4x?e?e???1sinx)?0?1?1 x考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

∴ lim(x?02?e1?e1x4x?sinx)?1 |x|

八、用导数定义求极限 例1 设f?(x0)?2，求lim?x?0f(x0?3?x)?f(x0?2?x)

?x解：原式=lim[f(x0?3?x)?f(x0)]?[f(x0?2?x)?f(x0)]

?x?0?xf(x0?3?x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)?2lim

?x?03?x(?2?x)=3lim?x?0=3f?(x0)?2f?(x0)?5f?(x0)?10

例2 设曲线y?f(x)与y?sinx在原点相切，求limnf()

n??2n解：由题设可知f(0)?0，f?(0)?(sinx)?x?0?1

2f()?f(0)2n于是limnf()?lim2??2f?(0)?2

n??n??2n?0n

九、递推数列的极限 例1 设0?x1?3，xn?1?xn(3?xn)，证明linxn存在，并求其值。

n??解：∵x1?0，3?x1?0，∴ 0?x2?（几何平均值≤算术平均值） 用数学归纳法可知n?1时，0?xn?又当n?1时，xn?1?xn?x1(3?x1)?x1?(3?x1)3?

223，∴ {xn}有界。 2xn(3?xn)?xn?xn(3?xn?xn)

xn(3?2xn)3?xn?xn?0

?∴ xn?1?xn，则{xn}单调增加。

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

根据准则1，把xn?1?limxn?l存在

n??xn(3?xn)两边取极限，得l?l(3?l)

33，∴ limxn?

n??22l2?3l?l2，l?0（舍去）得l?

思考题 设x1?2，x2?2?求limxn

n??11，……，xn?2?，…… x1xn?1

十、求极限的反问题

x2?ax?b?3，求a和b 例1 设limx?1sin(x2?1)解：由题设可知lim(x?ax?b)?0，?1?a?b?0，再由洛必达法则得

x?12x2?ax?b2x?a2?alim?lim??3 x?1sin(x2?1)x?12xcos(x2?1)2a?4,b??5

f(x?hx)h例2 设f(x)在(0,??)内可导，f(x)?0，且满足lim[limf(x)?1，]?ex，

x??h?0f(x)求f(x)。

lim[lnf(x?hx)?lnf(x)]f(x?hx)hh?0h解：lim[ ]?eh?0f(x)x[lnf(x?hx)?lnf(x)]h?0hxlim1111?e?ex[lnf(x)]?

因此，x[lnf(x)]???1x111，[lnf(x)]??2，lnf(x)???c? xxxf(x)?ce，由limf(x)?1，可知c?1

x???考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

则f(x)?e?1x

§1.3 连续

(甲) 内容要点 一、函数连续的概念

1．函数在一点连续的概念

定义1 若limf(x)?f(x0)，则称f(x)在点x0处连续。

x?x0定义2 设函数y?f(x)，如果limf(x)?f(x0)，则称函数f(x)在点x0处左连续；?x?x0如果lim?f(x)?f(x0)，则称函数f(x)在点x0处右连续。

x?x0如果函数y?f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0处既是左连续，又是右连续。 2．函数在区间内（上）连续的定义

如果函数y?f(x)在开区间（a,b）内的每一点都连续，则称f(x)在(a,b)内连续。 如果y?f(x)在开区间内连续，在区间端点a右连续，在区间端点b左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。

二、函数的间断点及其分类

1．函数的间断点的定义

如果函数y?f(x)在点x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点。 2．函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点

设x0是函数y?f(x)的间断点，如果f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，则称

x0是f(x)的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

sinx|x|1的可去间断点，是f(x)?的跳跃间断点，是f(x)?xxx1的无穷间断点，是f(x)?sin的振荡间断点。

x例如：x?0是f(x)?

三、初等函数的连续性

1．在区间I连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I仍是连续的。

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 3．在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。 4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5．初等函数在它的定义区间内是连续的。

四、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a ,b]上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1 （有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则f(x)必在[a, b]上有界。 定理2 （最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m.

其中最大值M和最小值m的定义如下：

定义 设f(x0)?M是区间[a,b]上某点x0处的函数值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f(x)?M，则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最小值m.

定理3 （介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个?，使得

f(?)?c

推论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点?，使得

f(?)?0

这个推论也称零点定理。

思考题：什么情况下能保证推论中的?是唯一的？

（乙）典型例题

一、讨论函数的连续性

由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。

例1 讨论函数

?1x?e,x?0? f(x)??0,x?0?1xsin,x?0?x?在点x?0处的连续性。

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

解 因 f(0?0)?lim?f(x)?lim?e?0

x?0x?01xf(0?0)?lim?f(x)?lim?xsinx?0x?01?0 xf(0)?0

即有f(0?0)?f(0?0)?f(0)，故f(x)在点x?0连续。

二、间断点问题

例1 设f(x)，g(x)在(??,??)内有定义，f(x)为连续，且f(x)?0，g(x)有间断

点，则下列函数中必有间断点的为（ ） （A）g[f(x)]

（B）[g(x)]

2

（C）f[g(x)]

（D）

g(x) f(x)x2n?1)?x]?f(x)的间断点，并判别其类型。 例2 求lim[(2nn??x?1解：当|x|?1时，limxn??2n?0，f(x)??1?x

当|x|?1时，f(x)??x 当|x|?1时，f(x)?1?x

??1?x,|x|?1??x,|x|?1所以f(x)???1?x,|x|?1?它是分段函数，

分段点为?1，f(1)??1,f(1?0)??2,f(1?0)?0，f(?1)?1，f(?1?0)?2，

f(?1?0)?0。所以?1皆是第一类间断点，（跳跃间断点）

sintsint?sinx)?f(x)的间断点，并判别其类型。 例3 求lim(t?xsinx解：x?k?，考虑lnf(x)?limt?xxxsintln()（用洛必达法则）

sint?sinxsinx考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

costxxsinxx ∴ f(x)?esinx(x?k?) ?lim??t?xcostsintsinxsinx于是x?k?（k整数）是间断点，x?0是可去间断点。

x?k?(k?0)是第二类间断点。

三、用介值定理讨论方程的根

例1 证明五次代数方程x?5x?1?0在区间（1，2）内至少有一个根。

证 由于函数f(x)?x?5x?1是初等函数，因而它在闭区间[1,2]上连续，而

55f(1)?15?5?1?1??5?0 f(2)?25?5?2?1?21?0

由于f(1)与f(2)异号，故在（1，2）中至少有一点x0，使

f(x0)?0

就是说，五次代数方程x?5x?1?0在区间（1，2）内至少有一个根。

例2 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?a，f(b)?b, 证明 f(x)?x在(a,b)内至少有一个根。

证 令g(x)?f(x)?x，可知g(x)在[a,b]上连续。

5g(a)?f(a)?a?0 g(b)?f(b)?b?0

由介值定理的推论，可知g(x)在（a,b）内至少有一个零点，即f(x)?x在(a,b)内至少有一个根。

例3 设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?f(1)。求证：在[0,1]上至少存在一点?使

1f(??)?f(?)（n?2正整数）

n1n?1证：令G(x)?f(x?)?f(x)，x?[0,]

nn考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

则G(0)?f()?f(0)

1n121G()?f()?f() nnn232G()?f()?f() nnn?

n?1n?1G()?f(1)?f()

nn1n?1于是G(0)?G()???G()?f(1)?f(0)?0

nni（ⅰ）如果G()(i?0,1,?,n?1)有为0，则已经证明

ni1 ∵??,G(?)?0，f(??)?f(?)成立。

nni（ⅱ）如果G()(i?0,1,?,n?1)全不为0，

n 则不可能同号，否则相加后不为0，矛盾。

所以其中一定有异号，不妨假设0?i1?i2?n?1，G(1)与G(ini2)异号。 n根据介值定理推论存在??(1,则??(0,1)，使f(??ii2)使G(?)?0 nn1)?f(?)成立。 n第二章 一元函数微分学

§2.1 导数与微分

（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义

设函数y?f(x)在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f(x0??x)?f(x0)。如果极限

f(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?xlim存在，则称此极限值为函数f(x)在x0处的导数（也称微商），记作f?(x0)，或y?x?x0，

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

dydxx?x0，

df(x)dxx?x0等，并称函数y?f(x)在点x0处可导。如果上面的极限不存在，则

称函数y?f(x)在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则

f?(x0)?f(x?)fx0()lim x?x0x?x0我们也引进单侧导数概念。 右导数：f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?lim? ?x?0x?x0?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?lim? ?x?0x?x0?x左导数：f??(x0)?lim?x?x0则有

f(x)在点x0处可导?f(x)在点x0处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数y?f(x)在点x0处导数f?(x0)存在，则在几何上f?(x0)表示曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。 切线方程：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0) 法线方程：y?f(x0)??1(x?x0)(f?(x0)?0) ?f(x0)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S?f(t)，如果f?(t0)存在，则f?(t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y?f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定连续，反之不然，即函数

y?f(x)在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，y?f(x)?|x|，在x0?0处连

续，却不可导。

4．微分的定义

设函数y?f(x)在点x0处有增量?x时，如果函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)有

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

下面的表达式

?y?A(x0)?x?o(?x) （?x?0）

o(?x)是?x?0时比?x高阶的无穷小，其中A(x0)为?x为无关，则称f(x)在x0处可微，

并把?y中的主要线性部分A(x0)?x称为f(x)在x0处的微分，记以dy我们定义自变量的微分dx就是?x。

5．微分的几何意义

x?x0或df(x)x?x0。

?y?f(x0??x)?f(x0)是曲线y?f(x)在点x0处相应

于自变量增量?x的纵坐标f(x0)的增量，微分dyx?x0是曲线

y?f(x)在点M0(x0,f(x0))处切线的纵坐标相应的增量（见

图）。

6．可微与可导的关系

f(x)在x0处可微?f(x)在x0处可导。

且dyx?x0?A(x0)?x?f?(x0)dx

一般地，y?f(x)则dy?f?(x)dx 所以导数f?(x)?dy也称为微商，就是微分之商的含义。 dx

7．高阶导数的概念

如果函数y?f(x)的导数y??f?(x)在点x0处仍是可导的，则把y??f?(x)在点x0处的导数称为y?f(x)在点x0处的二阶导数，记以y??称f(x)在点x0处二阶可导。

如果y?f(x)的n?1阶导数的导数存在，称为y?f(x)的n阶导数，记以y(n)x?x0d2y，或f??(x0)，或

dx2x?x0等，也

(n)，

ydny(x)，n等，这时也称y?f(x)是n阶可导。

dx

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略）

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

2．导数与微分的运算法则

（1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式

（3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法

（6）用参数表示函数的求导公式

（乙）典型例题

一、用导数定义求导数

例 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limx?af(x)?f(a)(x?a)g(x)?0?lim?g(a) x?ax?ax?a

二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数

?x2,x?1 f(x)???ax?b,x?1试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

解：∵可导一定连续，∴f(x)在x?1处也是连续的。 由 f(1?0)?lim?f(x)?lim?x?1

x?1x?12f(1?0)?lim?f(x)?lim?(ax?b)?a?b

x?1x?1要使f(x)在点x?1处连续，必须有a?b?1或b?1?a

f(x)?f(1)x2?1?lim?lim(x?1)?2 又 f??(1)?lim??x?1?x?1x?1x?1x?1f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)ax?b?1a(x?1)?lim?lim?a x?1?x?1?x?1x?1x?1要使f(x)在点x?1处可导，必须f??(1)?f??(1)，即2?a.

故当a?2,b?1?a?1?2??1时，f(x)在点x?1处可导.

x2en(x?1)?ax?b例2 设f(x)?lim，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

n??en(x?1)?1考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

解：∵x?1时，limen??n(x?1)???，

x?1时，limen(x?1)?0

n???x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?x?1，??ax?b,由x?1处连续性，lim?f(x)?lim?x?1，f(1)?x?1x?12a?b?1?1，可知a?b?1 2再由x?1处可导性，

x2?f(1)f??(1)?lim存在

x?1?x?1f??(1)?lim?x?1(ax?b)?f(1)存在

x?1且f??(1)?f??(1)

根据洛必达法则f??(1)?lim?x?12x?2 1a?a，∴ a?2 x?11于是b?1?a??1 f??(1)?lim??x2,x?1,?f(x)??1,x?1,

?2x?1,x?1,??2x,x?1, f?(x)???2,x?1,

三、运用各种运算法则求导数或微分 例1 设f(x)可微，y?f(lnx)?e解：dy?f(lnx)de

例2 设y?xx(x?0)，求

xf(x)，求dy

f(x)?ef(x)df(lnx)

?f?(x)ef(x)f(lnx)dx??ef(x)[f?(x)f(lnx)?1f?(lnx)ef(x)dx x1f?(lnx)]dx xdy dx考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

解：lny?xlnx 对x求导，得

x11y??(xx)?lnx?xx yx再令y1?x，lny1?xlnx，对x求导，

x1??lnx?1，∴ (xx)??xx(lnx?1) y1y1于是

例3 设y?y(x)由方程x?y所确定，求解：两边取对数，得ylnx?xlny，

对x求导，y?lnx?yxxdy?xx(lnx?1)lnx?xx?1xx （x?0） dx??dy dxyx?lny?y? xyxyy2?xynyy?(?lnx)??lny，y??2 yxx?xylnx

例4 设

?x?teu2sinududx?t? 求 ?2tudy?y??eln(1?u)du0?2dx42dxdt2tetsint2?etsint??解： 2tdydy2eln(1?2t)dt四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线y?f(x)与y?程，并求limnf()。

n???arctanx0e?tdt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方

22ne?(arctanx)2解：由已知条件可知f(0)?0，f?(0)?1?x2故所求切线方程为y?x

x?0?1

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

2f()?f(0)2limnf()?lim2?n?2f?(0)?2 n??n??2nn例2 已知曲线的极坐标方程r?1?cos?，求曲线上对应于??坐标方程。

?6处的切线与法线的直角

?x?(1?cos?)cos??cos??cos2?解：曲线的参数方程为?

?y?(1?cos?)sin??sin??sin?cos?dydxdy?d?dxd?cos??cos2??sin2???sin??2cos?sin??1

???6???6???6故切线方程y?1333??1?(x??) 2424即 x?y?353??0 44法线方程 y?1333???(x??) 2424即 x?y?

例

113??0 443．设f(x)为周期是

5

的连续函数，在x?0邻域内，恒有

f(1?sixn?)f3?(1x?si?xn?。)其中xlim?(x)xx?0?0，f(x)在x?1处可导，

求曲线y?f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程。 解：由题设可知f(6)?f(1)，f?(6)?f?(1)，故切线方程为

y?f(1)?f?(1)(x?6)

所以关键是求出f(1)和f?(1)

由f(x)连续性lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]??2f(1)

x?0 由所给条件可知?2f(1)?0，∴ f(1)?0

再由条件可知limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)8x?(x)?lim(?)?8 x?0sinxsinxsinx考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

令sinx?t,limf(1?t)?3f(1?t)t?0t?8，又∵f(1)?0

∴ 上式左边=lim[f(1?t)?f(1)]f(1?t)?ft?0t?3lim(1)t?0(?t)

=f?(1)?3f?(1)?4f?(1) 则4f?(1)?8 f?(1)?2

所求切线方程为y?0?2(x?6) 即 2x?y?12?0

五、高阶导数 1．求二阶导数 例1 设y?ln(x?x2?a2)，求y''

解：y'?1x?x2?a2(x?x2?a2)?

?1xx?x2?a2(1?x2?a2)?1x2?a2

3y''??12(x2?a2)?2?2x??x(x2?a2)3

?x?arctantd2例2 设?y?y?ln(1?t2) 求 dx2 dy2t解：

dydt1?tdx?dx?21?2t dt1?t2dydyd2yd(dx)d()2dx2??dxdt/dxdxdt?1?2(1?t2) 1?t2

例3 设y?y(x)由方程x2?y2?1所确定，求y'' 解：2x?2yy'?0，y'??xy 考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：

ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

x2y?1?y?xy?y y''????22yyy2?x21?? ?? y3y32．求n阶导数（n?2，正整数）

先求出y?,y??,，总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。

有一些常用的初等函数的n阶导数公式

(n)x（1）y?e y?e

x（2）y?a(a?0,a?1) y（3）y?sinx （4）y?cosx （5）y?lnx

x(n)?ax(lna)n

y(n)?sin(x?y(n)n?) 2n??cos(x?)

2y(n)?(?1)n?1(n?1)!x?n

两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式

[u(x)v(x)](n)k(k)??Cnu(x)v(n?k)(x) k?0n其中Cn?kn!(0)(0)，u(x)?u(x)，v(x)?v(x)

k!(n?k)!假设u(x)和v(x)都是n阶可导 例1 设y?x（k正整数），求y解：y(n)k(n)（n正整数）

?k(k?1)?(k?n?1)xk?n,n?k,??

0,n?k?xn(n)例2 设y?，求y （n正整数）

1?x(xn?1)?11??(xn?1?xn?2???x?1) 解：y?1?x1?xy(n)?[(1?x)?1](n)?n!

(1?x)n?1考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

例3 设y?解：y?1(n)y，求（n正整数） 2x?3x?2111???(x?2)?1?(x?1)?1

(x?1)(x?2)x?2x?1y???[(x?2)?2?(x?1)?2] y???(?1)(?2)[(x?2)?3?(x?1)?3]

……

y(n)?(?1)nn![(x?2)?(n?1)?(x?1)?(n?1)]

(n)例4 设y?sinx?cosx，求y（n正整数）

441?cos2x21?cos2x2)?() 221312 ?(2?2cos2x)??co4sx

4441n?n?y(n)??4ncos(4x?)?4n?1cos(4x?)

422解：y?(

(n)例5 设y?xe，求y（n正整数）

32x解：用莱布尼兹公式

y(n)k??Cn(x3)(k)(e2x)(n?k) k?0n?x3(e2x)(n)?3nx2(e2x)(n?1)?n(n?1)n(n?1)(n?2)6x(e2x)(n?2)??6?(e2x)(n?3)26?2n?3e2x[8x3?12nx2?6n(n?1)x?n(n?1)(n?2)]

§2.2 微分中值定理

本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。

这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。

（甲）内容要点

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

一、罗尔定理

设函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b）内可导； （3）f(a)?f(b)

则存在??(a,b)，使得f?(?)?0

几何意义：条件（1）说明曲线y?f(x)在A(a,f(a))和B(b,f(b))之间是连续曲线；[包括点A和点B]。

条件（2）说明曲线y?f(x)在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线[不包括点A和点B]。

条件（3）说明曲线y?f(x)在端点A和B处纵坐标相等。

结论说明曲线y?f(x)在点A和点B之间[不包括点A和点B]至少有一点，它的切线平行于x轴。

二、拉格朗日中值定理

设函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b）内可导 则存在??(a,b)，使得

f(b)?f(a)?f?(?)

b?a或写成f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)(a???b)

有时也写成f(x0??x)?f(x0)?f?(x0???x)??x(0???1) 这里x0相当a或b都可以，?x可正可负。

几何意义：条件（1）说明曲线y?f(x)在点A(a,f(a))和点B(b,f(b))之间[包括点A和点B]是连续曲线：

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

条件（2）说明曲线y?f(x)[不包括点A和点B]是光滑曲线。

结论说明：曲线y?f(x) 在A，B之间[不包括点A和点B]，至少有点，它的切线与割线AB是平行的。

推论1 若f(x)在(a,b)内可导，且f?(x)?0，则f(x)在(a,b)内为常数。 推论2 若f(x)和g(x)在（a,b）内可导，且f'(x)?g?(x)，则在?a,b?内

f(x)?g(x)?C，其中C为一个常数。

（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f(a)?f(b)特殊情形，就是罗尔定理）

三、柯西中值定理

设函数f(x)和g(x)满足： （1）在闭区间[a，b]上皆连续；

（2）在开区间（a，b）内皆可导；且g?(x)?0，则存在??(a,b)使得

f(b)?f(a)f?(?)?g(b)?g(a)g?(?)(a???b)

（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）

?x?g(t)几何意义：考虑曲线的参数方程?t?[a,b]

y?f(t)?点A(g(a),f(a))，点B(g(b),f(b))曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB. 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。

四、泰勒定理（泰勒公式）

定理1（带皮亚诺余项的n阶泰勒公式）

设f(x)在x0处有n阶导数，则有公式

____考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)1!2!n! （x?x0）

n其中Rn(x)?o[(x?x0)](x?x0) 称为皮亚诺余项。

（limRn(x)?0）

x?x0(x?x)n0前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的

a初等函数如e,sinx,cosx,ln(1?x)和(1?x)（?为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。

x定理2 （带拉格朗日余项的n阶泰勒公式）

设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n?1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对

x?[a,b]，有公式

f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)

1!2!n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1，其中Rn(x)?（?在x0与x之间）称为拉格朗日余项。

(n?1)!上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。x0?0时，也称为麦克劳林公式。

如果limRn(x)?0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。

n??（乙）典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0

证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故

1m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c?[0,2]使得

31f(c)?[f(0)?f(1)?f(2)]?1，因此f(c)?f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，（c，3）

3内可导，由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3?123f(x)dx?f(0)

求证：存在??(0,1)使f(?)?0

证：由积分中值定理可知，存在c?[,1]，使得

'23?1232f(x)dx?f(c)(1?)

3得到 f(c)?3?123f(x)dx?f(0)

对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0

例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k?1，有f(1)?k?1求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)

?1k0xe1?xf(x)dx，

111?x1?c证：由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)

0kk

令F(x)?xe1?x1f(x)，可知F(1)?f(1)

这样F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)

1??∴ F?(?)??e1[f?(?)?(1?)f(?)]?0

?又?e1??1?0，则f?(?)?(1?)f(?)

? 在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f?(?)?0，

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x)，它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F?(?)?0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，（a,b）内可导，f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。

（1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（l为实常数）

k?1（2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0（k为非零常数）

（3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)为连续函数） 证：（1）令F(x)?ef(x)，在[a,b]上用罗尔定理 ∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x) ∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le 消去因子el?1l?1lxlxlxf??1??el?1f???1??0

，即证.

k（2）令F(x)?exf(x)，在[a,b]上用罗尔定理 F?(x)?kxk?1exfx(?)exf?x( )

k?1?2 存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0

kkkk 消去因子e

k

?2

，即证。

G(x)（3）令F(x)?ef(x)，其中G?(x)?g(x)

f(?x)G(x) F?(x)?g(x)e 清去因子e

G(?3)G(x)e?f(x)F?(?3)?0 由

，即证。

例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?f(1)?0，f()?1，试证： （1）存在??(,1)，使f(?)??。

1212考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

（2）对任意实数?，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1

证明：（1）令?(x)?f(x)?x，显然它在[0, 1]上连续，又

111?(1)??1?0,?()??0，根据介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??

222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上满足罗尔定理的条件，故存

在??(0,?)，使F?(?)?0，即

e????f???????f???????1??0

从而 f?(?)??[f?(?)??] 1（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l取为??，f(x)取为

?(x)?f(x)?x）

模型Ⅱ：设f(x)，g(x)在[a,b]上皆连续，（a,b）内皆可导，且f(a)?0，g(b)?0，则存在??(a,b)，使

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

证：令F(x)?f(x)g(x)，则F(a)?F(b)?0，显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条

件，则存在??(a,b)，使F?(?)?0，即证.

例5 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，f(0)?0，k为正整数。 求证：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)

证：令g(x)?(x?1)，a?0,b?1，则f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在

k??(0,1)使得

f?(?)(??1)k?k(??1)k?1f(?)?0

故f?(?)(??1)?kf(?)?0 则?f?(?)?kf(?)?f?(?)

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求证f(x)在(a,b)内任

意两个零点之间至少有一个g(x)的零点

证：反证法：设a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)内g(x)?0，

则令F(x)?f(x)在[x1,x2]上用罗尔定理 g(x)f(x1)f(x2)?0,F(x2)??0] g(x1)g(x2) [

f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?

（不妨假设g(x1)?0,g(x2)?0否则结论已经成立）

则存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点

例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0 求证：（1）在（a,b）内g(x)?0； （2）存在??(a,b)，使

f??(?)f(?)? g??(?)g(?) 证：（1）用反证法，如果存在c?(a,b)使g(c)?0，则对g(x)分别在[a,c]和[c,b]

上用罗尔定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，再对g?(x)在[x1,x2]上用罗尔定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0与假设条件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)内g(x)?0 （2）由结论可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此

令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以验证F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F(a)?F(b)?0满足罗尔定理的三个条件 故存在??(a,b)，使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

例1 设f(x)在(??,??)内可导，且limf?(x)?e，lim(x??x??x?cx)?lim[f(x)?f(x?1)]

x??x?c 求c的值

解：

c(1?)xx?cxecxlim()?lim??c?e2c x??x?cx??ce(1?)xx由拉格朗日中值定理，有

f(x)?f(x?1)?f?(?)[x?(x?1)]?f?(?)

其中?介于(x?1)与x之间，那么

lim[f(x)?f(x?1)]?lim f?(?)?e

x??x??(???)于是e

2c?e，2c?1，则c?1 2例2 设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且f?(x)?0，求证：存在??(a,b)，

f?(?)eb?ea???e ??(a,b)，使得

f?(?)b?a证：令g(x)?e， 用柯西中值定理，存在??(a,b)使

xf?(?)f(b)?f(a)再用拉??baee?e氏定理，存在??(a,b)使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，代入上式，即证。

例3 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且f(0)?0，f(1)?1，证明：

（Ⅰ）存在??(0,1)，使得f(?)?1??

（Ⅱ）存在?,??(0,1)，???，使f?(?)f?(?)?1

证：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?1，则g(x)在[0, 1]上连续，且g(0)??1?0，

g(1)?1?0，用介值定理推论存在??(0,1)，使g(?)?0，即f(?)?1??

（Ⅱ）在[0, ?]和[?，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理，存在??(0,?)，使

得f?(?)?f(?)?f(0)1???

??0?考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

存在??(?,1)，???，使f?(?)? ∴ f?(?)?f?(?)?1

f(1)?f(?)1?(1??)???

1??1??1??例4 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且f?(x)?0，若极

限lim?x?af(2x?a)存在，证明：

x?a （1）在(a,b)内f(x)?0； （2）在(a,b)内存在?，使

b2?a2?ba?f(x)dx2?； f(?) （3）在(a,b)内存在与（2）中?相异的点?，使

f?(?)(b2?a2)?证：（1）因为lim?x?a2?bf(x)dx ?a??af(2x?a)存在，故lim?f(2x?a)?0，由f(x)在[a,b]上

x?ax?a连续，从而f(a)?0. 又f?(x)?0知f(x)在(a,b)内单调增加，故

f(x)?f(a)?0,x?(a,b)

（2）设F(x)?x2,g(x)??xaf(t)dt(a?x?b)，

则g?(x)?f(x)?0，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内

存在点?，使

F(b)?F(a) ?g(b)?g(a)b2?a2?baf(t)dt??f(t)dtaa?(x2)?(?f(t)dt)?axx??，

即

b2?a2?ba?f(x)dx2? f(?) （3）因f(?)?f(?)?0?f(?)?f(a)，在[a,?]上应用拉格朗日中值定理，知在

(a,?)内存在一点?，使f(?)?f?(?)(??a)，从而由（2）的结论得

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

b2?a2?baf(x)dx?2?，

f?(?)(??a)2?bf(x)dx.

??a?a22 即有 f?(?)(b?a)?三、泰勒公式

例1 设f(x)在[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(?1)?0，f(1)?1，f?(0)?0. 求证：???(?1,1)，使f???(?)?3. 证：麦克劳林公式 f?x??f?0??f??0?x?f???0?2f??????3x?x 2!3! 其中x?[?1,1]，?介于0与x之间。 ∵ f?(0)?0

f??(0)1(?1)2?f???(?1)(?1)3(?1??1?0) 2!6f??(0)21 1?f(1)?f(0)??1?f???(?2)?13(0??2?1)

2!6 0?f(?1)?f(0)? 后式减前式，得f???(?1)?f???(?2)?6

∵ f???(x)在[?1,?2]上连续，设其最大值为M，最小值为m. 则m?1[f???(?1)?f???(?2)]?M 2再由介值定理，???[?1,?2]?(?1,1) 使f???(?)?1[f???(?1)?f???(?2)]?3 2例2 设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且f?(a)?f?(b)?0，试证：在(a,b)内至少存在一点?，使

|f??(?)|?4成立。

f(b)?f(a) 2(b?a)分析：因所欲证的是不等式，故需估计f??(?)，由于一阶泰勒公式

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(?)(x?x0)2，（其中?在x0,x之间） 2?f(b?)知0，应在

含有f??(?)，因此应该从此入手. 再由f?(a)?考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

[a,a?ba?b],[,b]两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的f?(x)项，同时又222能出现(b?a)项.

证：在[a,a?ba?b]与[,b]上分别用泰勒公式，便有 22f(a?ba?b1b?a2a?b)?f(a)?f?(a)(?a)?f??(?1)(),a??1?. 222!22a?ba?b1b?a2a?b)?f(b)?f?(b)(?b)?f??(?2)(),??2?b. 222!22f(两式相减，得

1|f(b)?f(a)|?(b?a)2|f''(?1)?f''(?2)|

811 ?(b?a)2(|f''(?1)|?|f''(?2)|)

421 ?(b?a)2max{|f''(?1)|,|f''(?2)|}.

4所以至少存在一点??(a,b)，使得

|f??(?)|?4|

f(b)?f(a)| 2(b?a)§2.3 导数的应用

（甲）内容要点

一、判断函数的单调性 二、函数的极值

1、定义 设函数f?x?在?a,b?内有定义，x0是?a,b?内的某一点，则

如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极大值，称x0为函数f?x?的一个极大值点；

如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极小值，称x0为函数f?x?的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2、必要条件（可导情形）

设函数f?x?在x0处可导，且x0为f?x?的一个极值点，则f??x0??0

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

我们称满足f??x0??0的x0为f?x?的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3、第一充分条件

设f?x?在x0处连续，在0

20 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x

处，有f??x??0，则f?x0?为极小值，x0为极小值点；

30 如果在?x0??,x0?内与?x0,x0???内的任一点x处，f??x?的符号相同，那么f?x0?不是极值，x0不是极值点

4、第二充分条件

设函数f?x?在x0处有二阶导数，且f??x0??0，f???x0??0，则 当 f???x0??0，f?x0?为极大值，x0为极大值点 当 f???x0??0，f?x0?为极小值，x0为极小值点

三、函数的最大值和最小值

1．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法。 首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点x1,...,xk。 其次计算f(x1),...,f(xk),f(a),f(b)

最后，比较f(x1),...,f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M；其中最小者就是f(x)在[a,b]上的最小值m。

2．最大（小）值的应用问题

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。

四、凹凸性与拐点

1．凹凸的定义

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

设f(x)在区间Ⅰ上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有

f(x1?x2x?x211，则称f(x)在Ⅰ上)?[f(x1)?f(x2)] （f(1)?[f(x1)?f(x2)]）

2222是凸（凹）的

2．曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。

五、渐近线及其求法 六、函数作图 七、曲率

（乙）典型例题 一、证明不等式

例1．求证：当x?0时，(x2?1)lnx?(x?1)2 证：令f(x)?(x2?1)lnx?(x?1)2

只需证明x?0时，f(x)?0

易知f(1)?0，f?(x)?2xlnx?x?2?1x， f'(1)?0，由于f?(x)的符号不易判断，故进一步考虑

f??(x)?2lnx?1?1x2，f??(1)?2?0 再考虑f???(x)?2(x2?1)x3 于是，当0?x?1时，f???(x)?0；

当1?x???时，f???(x)?0 由此可见，f??(1)?2是f??(x)的最小值。

由于f??(x)?2?0，这样x?0时，f?(x)单调增加 又因为f?(1)?0，所以0?x?1时，f?(x)?0；

1?x???时，f?(x)?0。

再由f(1)?0，可知0?x?1时，f(x)?0；

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：

ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

1?x???时，f(x)?0，这样证明了x?0时，f(x)?0。

证二：令f(x)?lnx?x?1（自己思考） x?1证三：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)（自己思考） 例2 设b?a?0，求证：lnb2(b?a) ?ab?a证：令f(x)?(lnx?lna)(x?a)?2(x?a),(x?a) 则f?(x)?1(x?a)?(lnx?lna)?2 x?a1x?af???x??2??2?0 (x?a)

xxx于是可知f?(x)在x?a时单调增加，又f?(a)?0，∴x?a时f?(x)?0，这样f(x)单调增加。因此，b?a?0时f(b)?f(a)?0，得证。 例3 设e?a?b?e，证明lnb?lna?22224(b?a) 2e证一：对函数f(x)?lnx在[a,b]上用拉格朗日中值定理

ln2b?ln2a?再来证明?(t)?2ln??(b?a) （a???b）

lnt在t?e时单调减少 t1?lnt?0(t?e) ∵ ?'(t)?2tlne22?2?2 从而?(?)??(e)，即?ee2ln?故lnb?lna?224(b?a) 2e考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

证二：设g(x)?lnx?24lnx4，则xg'(x)?2?2

xe2eg''(x)?2?1?lnx 2x当x?e时，g??(x)?0，故g?(x)单调减少

g?(x)?g?(e2)?244??0 e2e2因此e?x?e时，由g?(x)?0可知g(x)单调增加 题设e?a?b?e，于是g(b)?g(a) 故lnb?22444222，即b?lna?alnb?lna?(b?a)

e2e2e2

二、有关函数的极值

例1、设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 [ ] （A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点 （C）两个极小值点和两个极大值点 （D）三个极小值点和一个极大值点

例2 设f(x)的导数在x?a处连续，又limx?af?(x)??1，x?a

则[ ]

（A）x?a是f(x)的极小值点 （B）x?a是f(x)的极大值点 （C）(a,f(a))是曲线y?f(x)的拐点

（D）x?a不是极值点，(a,f(a))也不是曲线y?f(x)的拐点

例3 设y?f(x)有二阶导数，满足xf??(x)?3x[f?(x)]?1?e 求证：f?(x0)?0时，f(x0)为极小值 证：（1）x0?0情形。

2?x

?x0?0,1?e?x0?0?1?e?x0f??(x0)??0?? 故f(x0)为极小值 ?x0x0?x0?0,1?e?0?考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

（2）x0?0情形

这时方程条件用x?0代入不行，无法得出上面的公式 ∵ f??(x)存在 ∴ f?(x)连续，linf?(x)?f?(0)?0

x?0f??(0)?limx?0f?(x)?f?(0)f?(x)f??(x)（用洛必达法则） ?lim?limx?0x?0x?0x1

1?e?x1?e?x2?3[f?(x)]}?lim ?lim{ （再用洛必达法则）

x?0x?0xxe?x?1?0 ?limx?01

∴f(0)是极小值

三、最大（小）值的应用题（略）

第三章 一元函数积分学

§3.1 不定积分

（甲） 内容要点 一、 基本概念与性质

1、 原函数与不定积分的概念

设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若F??x?= f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为

?f(x)dx。

其中

?称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积

表达式。

2、 不定积分的性质

设f(x)dx＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。 则 (1)F??x?dx＝F(x)＋C 或dF(x)＝F(x)＋C

??? (2)??f(x)dx??= f(x) 或 d??f(x)dx?＝f(x)dx

(3)kf(x)dx＝kf(x)dx (4)

????f(x)?g(x)?dx=?f(x)dx??g(x)dx

3、原函数的存在性

设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

是初等函数，例如sin(x2)dx，cos(x2)dx ，

??sinxcosxdx－x2，， ，dxdxe?x?x?lnx?dx等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二、 基本积分表（略） 三、 换元积分法和分部积分法 1、 第一换元积分法（凑微分法）

设

?f(u)du?F(u)+C,又??x?可导，则?f????x??????x?dx＝?f????x???d??x?令u＝??x??f(u)du=F(u)+C=F[??x?]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如

流” ，也就是非常熟练地凑出微分。

2、 第二换元积分法

设x＝??t?可导，且???t??0，若f???t?????t?dt＝G?t?＋C ，则f?x?dx令x＝??t?

???1?1??x?为x＝??t?的反函数。 ? 其中t＝????????f?t?tdt＝G（t）＋C＝G?x?C???3、 分部积分法

设 u(x)，v(x)均有连续的导数，则

?u(x)dv(x)＝u(x)v(x)－?v(x)du(x)或

?u(x)v?(x)dx＝u(x)v(x)－?u?(x)v(x)dx

（1）Pn(x)e

ax，Pn(x)sinax，Pn(x)cosax情形，Pn(x)为n次多项式，a为常数。要进行

axn次分部积分法，每次均取e

，sinax，cosax为v??x?；多项式部分为u（x）。

（2）Pn(x)lnx，Pn(x)arcsinx，Pn(x)arctanx情形，Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为v??x?，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考

虑其它方法。

（乙） 典型例题

例1、 求下列不定积分（测试题，限15分钟） （1）

??dxx2e1x （2）

??xlnx??lnx＋1?dx

32（3）

ln(x＋x2＋1)＋5x＋12dx

（4）

??x＋lnx?dx

21－lnxcos2x－sinx（5）?dx sinxcosx1＋cosxe?? （6）

?sin2xa2cos2x＋b2sin2xdx （b2?a2常数）

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

例2、求下列不定积分

2x?3xdxdx（1）?x （2） （a?b） 22x?9－4?x＋a??x＋b?（3）

??x＋a??x＋b?2222dxx2＋1（a?b） （4）?4dx

x＋1xx?3??3??3?d??????－112x?3x122??dx＝??＝?2?dx解：（1）?x＝ln＋C x2x2x??x39－42?ln3－ln2??3??3??3?ln－1－1??????＋12?2??2??2?x13x－2x =ln＋C

2?ln3－ln2?3x＋2x（2）

??x＋a??x＋b?2dx2＝

1?a?b?211??1?dx ???x?ax?b??2 ＝

?a?b?21?1?12???dx 22??????x?ax?b?x?b???x?a??11?21???1??????dx 3???x?ax?bx?ax?b???a?b???2x?a＋b?2lnx?a?C x?b ＝

?a?b?2 ＝－

?a?b?2?x?a??x?b??a?b?3=

（3）

??x＋a??x＋b?2222dx11??1?dx 2222?b2?a2??x?ax?b?? =

11x1x(arctan?arctan)?C 22abbb?aa1?1???1dx?1???x?2?2?x＋11x???x?dx=x?C arctan（4）?4dx=?＝??1?21x＋1222x?2

x??2??xx??例3、 求

?dxdxx?x3

解：

?t3?6t5dtt3?1??1dt＝ 6?dt 令x＝t ?3＝ 6?t?1t?1t＋t2x?3x6考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4xww.html