山东省济宁市汶上一中2013届高三12月质检数学理试题

汶上一中2012-2013学年高三12月质量检测

数学（理）

一、选择题（本大题共12小题·每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的） 1. 已知复数z?2i，则复数z的共轭复数为（ ） i?1A．1?i B．?1?i C．1?i D．?1?i

B?{x|y?lg(x?1)}，2. 已知全集U?R，集合A?{x|x2?2x?0}，则(e（ ） UA)?B等于

A．{x|x?2或x?0} B．{x|1?x?2} C． {x|1?x?2} D．{x|1?x?2}

3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是（ ）

111xA．y?log2x B． y? C．y??() D．y?x3

x24. 已知直线 l、m，平面?、?，且l??，m??，则?//?是l?m的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2?4,S10?110，则

Sn?64的最小值为（ ） an A．7 B．8 C．

1517 D． 226．△ABC的内角A满足tanA?sinA<0，sinA+cosA>0，则角A的取值范围是 （ ） A．（0，

????33） B．（，） C．（，?） D．（?，?） 442244x27．已知F1、F2为双曲线C:?y2?1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=600，则P到x4轴的距离为 （ ） A．51521515 B． C． D． 555208．设a,b是两条不同直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是 （ ）

A．a??,b//?,??? B．a??,b??,?//? C．a??,b??,?//? D．a??,b//?,???

9.已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x+2xf ′(2），则f??1?与f?1?的大小关系为（ ）

2

A. f（-1）= f（1） B. f（-1）＞f（1） C. f（-1）＜ f（1） D.不确定

10．已知函数y?Asin(?x??)?B的一部分图象如下图所示。如果A?0,??0,|?|?（ ）

A．A?4 C．??1

?2，则

B．B?4 D．???6

3?sinx 11. 定义运算：向左平移m个单位 ?a1a4?a2a3，将函数f(x)?cosxa3a41a1a2(m?0)，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（ ）

A.

??5?2? B. C. D.

63 632

2

12.若圆x＋y－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是 ( ) A.?

?π，π? B.?π，5π?

??1212??124???

?ππ??π?C.?，? D.?0，?

2??63??

二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13．已知方程x?y?kx?2y?k?0所表示的圆有最大的面积，则直线y?(k?1)x?2的倾

斜角??_______________．

15. 正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 15．由曲线y?222x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为 . 121。下列函数： 216．已知命题：p:f(x?1)是奇函数；q:f()?①f(x)?2?xx，②f(x)?cos，③f(x)?2?1中 x?12能使p,q都成立的是 .（写出符合要求的所有函数的序号）. 三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）

17．（本小题满分10分）

已知函数f(x)?sin(2?4?x)?3cos2x 2（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）函数f(x)的图象经过怎样的变换可以得到y?sin2x的图象？

18.（本小题满分12分）

已知数列?an?是递增数列，且满足a3·a5?16，a2?a6?10。

（1）若?an?是等差数列，求数列?an?的通项公式；

2n（2）对于（1）中?an?，令bn?(an?7)?，求数列?bn?的前n项和Tn。

3

19.（本小题满分12分）

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形， ∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC‖AD，

∠BAD=90°，AD=2 BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点. （1）求证：EF‖平面PBO； （2）求二面角A- PF - E的正切值. 20. （本小题满分13分） 椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F(2,0)，且椭圆T过点E(2,2)。?ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M,N,P. （1）求椭圆T的方程； （2）设?ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3，且ki?0,i?1,2,3。若直线 OM,ON,OP的斜率之和为0，求证： 21．（本小题满分13分）

111??为定值. k1k2k3动圆P过定点F?1,0?且与直线x??1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD，设AB,CD的中点分别为M、N. （1）求曲线C的方程；

（2）求证：直线MN必过定点. 22．（本小题满分13分） 将所有平面向量组成的集合记作R，f是从R到R的映射，记作y?f(x)或222(y1,y2)?f(x1,x2)，其中x1,x2,y1,y2都是实数。定义映射f的模为：在x?1的条件下y的最大值，记做f.若存在非零向量x?R，及实数?使得f(x)??x，则称?为f的一个特征值. （1）若f(x1,x2)?(x1,x2)，求f； （2）如果f(x1,x2)?(x1?x2,x1?x2)，计算f的特征值，并求相应的x； （3）若f(x1,x2)?(a1x1?a2x2,b1x1?b2x2)，要使f有唯一的特征值，实数a1,a2,b1,b2应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值?，②f?证f满足这两个条件.

参考答案：

1-5 ACBBD 6-10 CBCBD 11-12 AB

212?,并验3?416 14 ． 15. 16.①②

5313.4

17.解：(1)f(x)?sin(2?4?x)??2x)3cos2x 2?3cos2x 21?cos( =?22 =113?sin2x?cos2x 2221??sin(2x?) 23 = 最小正周期 T?? 单调递增区间[k???12,k??5?] ，k?Z 12 (2) 向左平移?1个单位；向下平移个单位 6218.解：（1）根据题意：a2?a6?10?a3?a5,又a3?a5?16,

所以a3,a5是方程x2?10x?16?0的两根，且a3?a5,解得a5?8，a3?2，所以d?3,an?3n?7.??????4分2n?n?2n,则 （2）bn?(an?7)?3

Tn?1?21?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n①2Tn?1?22?2?23???(n?2)?2n?1?(n?1)?2n?n?2n?1②①?②，得2(1?2n)?Tn?2?2?2???2?2?n?2??n?2n?1,1?2所以Tn?n?2n?1?2n?1?2?(n?1)?2n?1?2.??????12分123n?1nn?1

19.（1）取BP中点G，连EG，由E为PC中点

1BC,又F为OD中点 211∴OF=OD?BC

22故EG?∴EG?OF，故四边形OFEG为平行四边形

∴EF∥GO 则EF∥面PBO

(2) 连CO，OP，则BA∥CO，又AB⊥AD，面ABCD⊥面APD ∴CO⊥面APD 故面COP⊥面APD 过E作EN⊥OP于N，则EN⊥面APD 过N作NH⊥PF于H，连EH，

则EH⊥PF，故∠NHE为二面角A-PF-E的平面角 由于E为PC中点，故EN=

2NE∴tan∠NHE==2 ∴二面角A-PF-E平面角的正切值为2.

NHx2y220．解：（1）设椭圆T的方程为2?2?1， ab由题意知：左焦点为F(?2,0) 所以2a?|EF|?|EF'|?解得a?22， b?2． '∵∠APD=90°，AD=4，PD=2

由O为AD的中点，故OD=2，又F为OD的中点，可知PF⊥AD 11从而NH∥OD 又N是DP的中点 ∴H为PF的中点∴NH=OF=

11CO=AB=1 2222?32， x2y2故椭圆T的方程为（方法2、待定系数法） ??1．84（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，M(s1,t1),N(s2,t2),P(s3,t3)， 由：x1?2y1?8，x2?2y2?8，两式相减，得到 2222(x1?x2)(x1?x2)?2(y1?y2)(y1?y2)?0 所以k1?y1?y21x?x1st1??12??1，即??21， x1?x22y1?y22t1k1s1同理tt11??22，??23 k2s2k3s3所以ttt111????2(1?2?3)，又因为直线OM,ON,OP的斜率之和为0， k1k2k3s1s2s3所以111???0 k1k2k321. 解：（1）设P?x,y?，则有?x?1?22?y2?x?1，化简得y2?4x

（2）设?AB:y?k?x?1?，代入y?4x得

2xA?xBk2?2kx?2?k?2?x?k?0，xM?y?kx?1??，, ??Mk2k2?k22?故M?2,?

?k?2k?12因为AB?CD，所以将点M坐标中的k换成?，即得N?2k?1,?2k?。

k2222则?Mn:2?2k?k22 ，整理得?1?k?y?k?x?3?, y?2k?2x?2k?1??222k?1?kk?2故不论k为何值，直线MN必过定点T?3,0?. 22．解：（1）由于此时y1?y2? y1?y2?222212222x1?x2，又因为是在x1?x2?1的条件下，有 4121322，所以此时有f?1。 x1?x2??x2?1（x2??1时取最大值）444（2）由f(x1,x2)?(x1?x2,x1?x2)??(x1,x2)， 可得：??x1?x2??x1，解此方程组可得：(??1)(??1)?1，从而???2。 x?x??x?122??x1?x2?2x1当??2时，解方程? 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个??x1?x2?2x2解，为x?m(2?1,1)（写出一个即可），其中m?R且m?0。 当???2时，同理可得，相应的x?m(1?2,1)（写出一个即可）， 其中m?R且m?0 （3）解方程组??a1x1?a2x2??x1?x1?a1??,b1??x2?a2,?b1????0 bx?bx??x?11222与?a2,?b1???平行，从而有a1,a2,b1,b2应满足： b1? 从而向量?a1??,(a1?b2)2?4a2b1?0。 当f(x)??x时，f有唯一的特征值，且f??。具体证明为： ?由f的定义可知：对任意的x?(x1,x2)有：f(x1,x2)?(?x1,?x2)??(x1,x2)，所以?为特征值。此时a1??,a2?0,b1?0,b2??。 满足：(a1?b2)2?4a2b1?0，所以有唯一的特征值。 在x1?x2?1的条件下(?x1)2?(?x2)2??2，从而有f?

22?。

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