2012年高考数学第一轮系统复习精品小练习(教师版 115页)

高考数学第一轮复习精品小练习（教师版）

第一章 集合

第一节 集合的含义、表示及基本关系

A 组

1．已知A ＝{1,2}，B ＝{x |x ∈A }，则集合A 与B 的关系为________．

解析：由集合B ＝{x |x ∈A }知，B ＝{1,2}．答案：A ＝B

2．若?{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________．

解析：由题意知，x 2≤a 有解，故a ≥0.答案：a ≥0

3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，则集合A 与B 的关系是________．

解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y |y ≥－2}，∴B A .

答案：B A

4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．

解析：由N={x|x 2+x=0}，得N ={-1,0}，则N M .答案：②

5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．

解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5.

答案：a <5

6．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？

解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B .

B 组

1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |

可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1.答案：{3，－1}

2．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ?A ，则实数m ＝________.

解析：∵B ?A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1.答案：1

3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．

解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8

4．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．

解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝?时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a

＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－1

5．满足{1}A ?{1,2,3}的集合A 的个数是________个．

解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3

6．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16

，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．

解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C

7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x 5”的________．

解析：结合数轴若A ?B ?a ≥4，故“A ?B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件

8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．

解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511

9．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A ，且k ＋1?A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6

10．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．

解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.

∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x

}． 于是必有|x |＝1，1x

＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1. 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，

(1)若B ?A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；

(2)若A ?B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；

(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．

解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，

(1)∵B ?A ，∴①若B ＝?，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ?A .

②若B ≠?，则????? m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，

2m －1≤5.解得2≤m ≤3.

由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．

(2)若A ?B ，则依题意应有????? 2m －1>m －6，m －6≤－2，

2m －1≥5.解得????? m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，

∴m 的取值范围是[3,4]．

(3)若A ＝B ，则必有?

????

m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈?.，即不存在m 值使得A ＝B . 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．

(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；

(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；

(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．

解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，

而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，

(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2.

(2)若B 是A 的子集，即B ?A ，由数轴可知1≤a ≤

2.

(3)若A =B ，则必有a =2

第二节 集合的基本运算

A 组

1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩?U B ＝____.

解析：?U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩?U B ＝{x |0

2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合?U (A ∩B )中的元素共有________个．

解析：A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，?U (A ∩B )＝{3,5,8}．答案：3

3．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.

解析：由题意知，N ＝{0,2,4}，故M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}

4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ?B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ?A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ?B ＝________.

解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ?B ＝(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x

+8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12

6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．

(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；

(2)若B ?A ，求m 的取值范围．

解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |11，即m 的取值范围为(1，＋∞)

B 组

1．若集合M ＝{x ∈R |－3

解析：因为集合N ＝{－1,0,1,2}，所以M ∩N ＝{－1,0}．答案：{－1,0}

2．已知全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则(?U A )∩B ＝________.

解析：?U A ＝{0,1}，故(?U A )∩B ＝{0}．答案：{0}

3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(?U N )＝________.

解析：根据已知得M ∩(?U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}

4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.

解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2,3,4}．

答案：{2,3,4}

5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(?U A )∪(?U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．

解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，

∵(?U A )∪(?U B )＝?U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m

－n

6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝

{n ∈U |n 是3的倍数}，则?U (A ∪B )＝________.

解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}，

得?U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}

7．定义A ?B ＝{z |z ＝xy ＋x y

，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ?B )?C 的所有元素之和为________．

解析：由题意可求(A ?B )中所含的元素有0,4,5，则(A ?B )?C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为

18.答案：18

8．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.

解析：由????? x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.??

????

x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2. 9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，?I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．

解析：∵A ∪(?I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．

答案：?，{1}，{2}，{1,2}

10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．

(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；

(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．

解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．

(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0?a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.

(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ?A ，

①当Δ<0，即a <－3时，B ＝?满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得

????? 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5??????

a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1

－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(?R B )；

(2)若A ∩B ＝{x |－1

解：A ＝{x |－1

(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1

∴A ∩(?R B )＝{x |3≤x ≤5}．

(2)∵A ＝{x |－1

∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2

12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．

(1)若A ＝?，求实数a 的取值范围；

(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；

(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠?}．

解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．

若a ＝0，方程有一解x ＝23

，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98

. 综上可知，若A ＝?，则a 的取值范围应为a >98

. (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23

}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98

时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43

}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43

}． (3)当a ＝0时，A ＝{23

}≠?.当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98

. 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠?}＝{a |a ≤98}

第二章 函数

第一节 对函数的进一步认识 A 组

1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x

的定义域为________． 解析：?

???? －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，?x ∈[－4,0)∪(0,1] 答案：[－4,0)∪(0,1]

2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，

B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3)

)的值等于________． 解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3)

)＝f (1)＝2.答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝?

???? 3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；

当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32

4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．

解析：如图．答案：1

5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.

解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，

令x ＝－1得：－1＝b 3；

再令x ＝0与x ＝1得?

????

－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3， 解得b 1＝－1，b 2＝0.

答案：(－1,0，－1) 6．已知函数f (x )＝????? 1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1

)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a . 解：f (x )为分段函数，应分段求解． (1)∵1－12－1

＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32

. (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1

； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32

，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.

∴f (3x －1)＝???

3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).

(3)∵f (a )＝32

，∴a >1或－1≤a ≤1. 当a >1时，有1＋1a ＝32

，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22

. ∴a ＝2或±22

. B 组

1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2

＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23

} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝????? －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，

2x －1，(x >2)，

则f (f (f (32)＋5))＝_. 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32

)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7

3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．

解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，

由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①

由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②

①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)， ∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13

lg(1－x )，(－1

lg(1－x )，(－1

解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数

5．设函数f (x )＝?

????

2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．

解析：由题意得 ????? 16－4b ＋c ＝c

4－2b ＋c ＝－2 ?????

b ＝4

c ＝2，

∴f (x )＝?????

2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0). 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．

答案：?????

2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)

3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12

，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．

答案：2 (－1,3)

7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝?

???? x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，

解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.

当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－33.

综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－33}．答案：{x |－33}

8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝?

????

log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．

解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－2

9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．

解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得????? 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得?????

a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953

，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953

)

10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.

(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；

(2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．

解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，

(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；

(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．

②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．

由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，

∴????? 1－a 2>0，Δ≤0，∴?

???? －1

≤a ≤1. (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2

＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．

∴????? 1－a 2<0，

－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴????? a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.

11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．

解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.

又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，

∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .

12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)

(1)写出g (x )，h (x )的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：(1)g (x )＝20003x (0

20003x (0

第二节 函数的单调性

A 组

1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)”的是________．

①f (x )＝1x

②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①

2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0

________．

解析：∵0

]时，g (x )为减函数． 由0≤log a x ≤12 a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1)) 3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．

解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3

)，∴1≤y ≤2. 答案：[1,2]

4．已知函数f (x )＝|e x ＋a e x |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．

解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a e x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.

答案：－1≤a ≤1

5．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．

①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝????? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)

解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；

∵f (x )＝????? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝?????

1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)

是有下确界的函数．答案：①③④

6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.

(1)若存在x ∈R 使f (x )

(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围.

解：(1)x ∈R ，f (x )0 b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，

①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ??? m 2≤0

－255≤m ≤255 －255

≤m ≤0. ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1

≥1，则x 1≤0. ????? m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0

m ≥2. 若m 2

≤0，则x 2≤0， ????? m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0

－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2. B 组

1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．

①y ＝－1x

②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |

解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④

2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．

解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.

∴????? a 2≤2，4－2a ＋3a >0，

∴－40)在(34

，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0

. 答案：(0，916

] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0，则下列结论正确的是________．

①f (3)

③f (－2)

解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)

5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝?????

a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．

解析：由题意知，f (x )为减函数，所以????? 0

a 0≥(a －3)×0＋4a ，

解得0

所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝

f (x )·(x －1)，则函数

g (x )的最大值为________．

解析：g (x )＝?????

2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，

在x ＝2取得最大值1.答案：1

7．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．

解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]

8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．

解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为

?????

1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：13

9．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，1

2

)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．

解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，1

2

)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0

μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－1

2.∴f (x )的单调递增区间

为(－∞，－12)．答案：(－∞，－1

2

)

10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 1

2

x ＋1的单调性．

解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 1

2x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]

是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －1

2)2

＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >1

2，得0

2

2

.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：

故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(2

2

，＋∞)上单调递增．

11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1

x 2

)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.

(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.

(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1

x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，

所以f (x 1

x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)

所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (9

3)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.

由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，

由f (|x |)9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．

12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b

x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在

(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．

解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 3

1＋a ＋b 1

＝1.即a ＋b ＝2.

设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2

恒成立． 由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2

＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.

设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．

第三节 函数的性质

A 组

1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．

解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)

2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．

解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)?f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：0

3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．

解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－

25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－

1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)

答案：f (－25)

4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)

)的x 取值范围是________．

解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)

.答案：(13，23

) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．

解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－2

6．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．

解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，

又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.

(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．

(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6

∴f (x )＝?????

－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6

1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．

①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)

④f (x ＋3)是奇函数

解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④

2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32

)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.

解析：f (x )＝－f (x ＋32

)?f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：0

3．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.

解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：0

4．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．

解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．

5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．

解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：1

6．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )

，若当2

解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )

，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：52

7．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．

解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)

8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.

解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1

9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.

解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]

上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：

-8

10．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．

解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．

∴f (x )＝?

???? －x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，

并且f (1)＝－12

，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．

∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．

(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．

∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )

为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12

，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

法二：设x 10，∴f (x 2

－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12

，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．

(1)求证：f (x )是周期函数；

(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12

在[0,2010]上的所有x 的个数． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，

∴f (x )是以4为周期的周期函数．

(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12

x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12

x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12

x (－1≤x ≤1) 又设1

(x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12

(x －2)(1

12x (－1≤x ≤1)－12

(x －2) (1

的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.

第三章 指数函数和对数函数

第一节 指数函数

A 组

1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．

解析：∵a >1，b <0，∴01.又∵(a b ＋a －b )2＝a b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2

＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－2

2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.

＝a 2－3＝0，∴a ＝3，解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)则f (3)＝(3)3－3＝33－3.

答案：33－3

3．函数y ＝(12

)2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，

∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12

，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．

解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两

函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞

)

5．(原创题)若函数f (x )＝a x

－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．

解析：由题意知????

? 0

无解或????? a >1a 0－1＝0a 2－1＝2?a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a

是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．

解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a

＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x 1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a

，解得a ＝2. (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2

＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0?f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．

因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .

即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13

. 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2

<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－

k ＋1)<0

整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0

上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13

. B 组

1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．

①00 ②01且b <0 ④a >1且b >0

解析：当0

2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是

________．

解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减

函数，所以需?

????

a ≤1a ＋1>1?00，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)

＋f (－1)g (－1)＝52

，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52?a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或12

4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13

)＋f (1)的值是________．

解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13

，∴x ＝－1， 故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13

)＋f (1)＝2.答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13

)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．

解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13

)x 上，∴y ＝(13

)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －x

e x －e －x 的图象大致为________．

解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －x e x －e

－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④. 又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1

在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①

7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12

)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.

解析：∵2<3<4＝22，∴1

＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：124

8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )

＝?????

f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________． 解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝?????

2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1

则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]

9．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________．

解析：函数y ＝2|x |的图象如图．

当a ＝－4时，0≤b ≤4，

当b ＝4时，－4≤a ≤0，答案：②

10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a 的值．

解：f (x )＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，∵x ∈[－1,1]，

(1)当0

时，f (x )取得最大值． ∴(1a ＋1)2－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13

. (2)当a >1时，1a

≤a x ≤a ，∴当a x ＝a 时，f (x )取得最大值． ∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3.综上可知，实数a 的值为13

或3. 11．已知函数f (x )＝－22x －a ＋1

.(1)求证：f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称； (2)若f (x )≥－2x 在x ≥a 上恒成立，求实数a 的取值范围．

解：(1)证明：设f (x )的图象C 上任一点为P (x ，y )，则y ＝－22x －a ＋1

， P (x ，y )关于点M (a ，－1)的对称点为P ′(2a －x ，－2－y )．

∴－2－y ＝－2＋22x －a ＋1＝－2·2x －a 2x －a ＋1＝－21＋2－(x －a )＝－22(2a －x )－a ＋1

， 说明点P ′(2a －x ，－2－y )也在函数y ＝－22x －a ＋1

的图象上，由点P 的任意性知，f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称．

(2)由f (x )≥－2x 得－22x －a ＋1≥－2x ，则22x －a ＋1

≤2x ，化为2x －a ·2x ＋2x －2≥0，则有(2x )2＋2a ·2x －2·2a ≥0在x ≥a 上恒成立．令g (t )＝t 2＋2a ·t －2·2a ，则有g (t )≥0在t ≥2a 上恒成立．∵g (t )的对称轴在t ＝0的左侧，∴g (t )在t ≥2a 上为增函数．

∴g (2a )≥0.∴(2a )2＋(2a )2－2·2a ≥0，∴2a (2a －1)≥0，则a ≥0.即实数a 的取值范围为a ≥0.

12．(2008年高考江苏)若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1、p 2为常数，且

f (x )＝????? f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2

(x ).(1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1、p 2表示)；(2)设a ，b 是两个实数，满足a

长度之和为b －a 2

(闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m )． 解：(1)f (x )＝f 1(x )恒成立?f 1(x )≤f 2(x )?3|x －p 1|≤2·3|x －p 2|?3|x －p 1|－|x －p 2|≤2

?|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32.(*)若p 1＝p 2，则(*)?0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －

p 2|，当p 1>p 2时，g (x )＝????? p 1－p 2，x

p 2－p 1，x >p 1.

所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32.

当p 1

p 2－p 1，x >p 2.所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.

综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32.

(2)证明：分两种情形讨论．

①当|p 1－p 2|≤log 32时，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b ])，则由f (a )＝f (b )及a

.再由f 1(x )＝?

???? 3p 1－x ，x

log 32时，不妨设p 1

log 32.于是，当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x <3p 2－x

当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2>3log 32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )．

当p 1

标为x 0＝p 1＋p 22＋12

log 32.① 显然p 1

[(p 2－p 1)－log 32]

f 1(x )，p 1≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0

f 1(x )，a ≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0

由于f (a )＝f (b )，即3p 1－a ＝2·3b －p 2，得 p 1＋p 2＝a ＋b ＋log 32.②

故由①②得(x 0－p 1)＋(b －p 2)＝b －12(p 1＋p 2－log 32)＝b －a 2

. 综合①、②可知，f (x )在区间[a ，b ]上单调增区间的长度之和为b －a 2

.

第二节 对数函数

A 组

1．(2009年高考广东卷改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝________.

解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案：log 12

x 2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系是________．

解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12

)，故有a >b >c .答案：a >b >c 3．若函数f (x )＝?????∈-∈??? ??]

1,0[,4)0,1[,41x x x x

，则f (log 43)＝________.

解析：0

3)＝4log 43＝3.答案：3 4．如图所示，若函数f (x )＝a x －1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a 1x ＋1

的图象是________． 解析：由已知将点(4,2)代入y ＝a

x －1，∴2＝a 4－1，即a ＝213>1. 又1x ＋1

是单调递减的，故g (x )递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12010

)＝4，则f (2010)的值为_． 解析：设F (x )＝f (x )－2，即F (x )＝a log 2x ＋b log 3x ，则F (1x )＝a log 21x ＋b log 31x

＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，∴F (2010)＝－F (12010)＝－[f (12010

)－2]＝－2， 即f (2010)－2＝－2，故f (2010)＝0.答案：0

6．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )

解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2.

∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74

. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74

. (2)由题意知????? (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2.∴?????

log 2x <0或log 2x >1，0

02，－1

1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310

的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________．

解析：∵y ＝lg x ＋310

＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lg x 的图象上的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．

答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋

f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

>0；④f (x 1＋x 22)

解析：由运算律f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg x 1x 2＝f (x 1x 2)，所以②对；因为f (x )是定义域内的增函数，所

以③正确；f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 1＋x 22≥x 1x 2，且x 1≠x 2，∴lg x 1＋x 22>lg x 1x 2，所以④错误． 答案：②③

3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：

a *

b ＝?????

a (a ≤

b )b (a >b )，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为________．

解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 12

(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图象，

由图象可得

f (x )＝????? lo

g 2

x (01)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]

4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为________．

解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x ，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，

故有g (x )＝－ln x ，g (a )＝1?ln a ＝－1，所以a ＝1e

. 答案：1e

5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |

)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析：由log 2x |x |有意义可得x >0，所以，f (2x ＋|x |

)＝f (1x )，log 2x |x |＝log 2x ，即有f (1x )＝log 2x ，故f (x )＝log 21x

＝－log 2x .答案：f (x )＝－log 2x ，(x >0) 6．(2009年高考辽宁卷改编)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝________.

解析：由题意2x 1＋2x 1＝5，①2x 2＋2log 2(x 2－1)＝5，②所以2x 1＝5－2x 1，x 1＝log 2(5－2x 1)，即2x 1＝2log 2(5－2x 1)．令2x 1＝7－2t ，代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1)，∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②

式比较得t ＝x 2，于是2x 1＝7－2x 2.∴x 1＋x 2＝T 2.答案：72

7．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________．

解析：当n ＝0时，x ∈[0,1)，f (x )＝－2；

当n ＝1时，x ∈[1,2)，f (x )＝－1；

当n ＝2时，x ∈[2,3)，f (x )＝0；

当n ＝3时，x ∈[3,4)，f (x )＝1；

当n ＝4时，x ∈[4,5)，f (x )＝2；

当n ＝5时，x ∈[5,6)，f (x )＝3.答案：2

8．(2010年福建厦门模拟)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________． 解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b

)x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当01时，f (x )单调递减，g (x )单调递减．

答案：②

9．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝log 3x 及函数y ＝3x 的图象分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12＋x 22的值为________．

解析：∵y ＝log 3x 与y ＝3x 互为反函数，所以A 与B 两点关于y ＝x 对称，所以x 1＝y 2，y 1＝x 2，∴x 12＋x 22＝x 12＋y 12＝9.答案：9

10．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1

(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，求k 的取值范围．

解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1k x －1

>0，即(x －1k )(x －1)>0. ①当01k ；②当k ＝1时，x ∈R 且x ≠1；③当k >1时，x <1k

或x >1.综上可得当0

，＋∞)； 当k ≥1时，函数的定义域为(－∞，1k

)∪(1，＋∞)． (2)∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1

>0，∴k >110. 又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1)，故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1

)1x 2－1

，∴k －1<0，∴k <1.综上可知k ∈(110，1)．

11．(2010年天津和平质检)已知f (x )＝log a 1＋x 1－x

(a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并给予证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．

解：(1)由1＋x 1－x

>0 ，解得x ∈(－1,1)． (2)f (－x )＝log a 1－x 1＋x

＝－f (x )，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f (x )是奇函数． (3)若a >1，f (x )>0，则1＋x 1－x >1，解得0

<1，解得－1

(x －x －1)，其中a >0且a ≠1. (1)对于函数f (x )，当x ∈(－1,1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的集合；

(2)x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．

解：令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝a a 2－1

(a t －a －t )， ∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )．∵f (－x )＝a a 2－1

(a －x －a x )＝－f (x )， ∴f (x )是R 上的奇函数．

当a >1时，a a 2－1

>0，a x 是增函数，－a －x 是增函数，∴f (x )是R 上的增函数； 当0

<0，a x 是减函数，－a －x 是减函数，∴f (x )是R 上的增函数． 综上所述，a >0且a ≠1时，f (x )是R 上的增函数．

(1)由f (1－m )＋f (1－m 2)<0有f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，

∴????? 1－m

－1

(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴f (x )－4也是R 上的增函数，由x <2，得f (x )

∴f (x )－4

即a a 2－1

(a 2－a －2)－4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3， ∴a 的取值范围是2－3≤a ≤2＋3且a ≠1.