高三第一次模拟考试（数学文）河北省邯郸市2012届

2012年邯郸市高三第一次模拟考试

文科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式：

样本数据x1,x2,?xn的标准差 锥体体积公式

s?11[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2] V?Sh

3n其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式

[来源:Z。xx。k.Com]

4V?Sh S?4?R2 V??R3

3其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第I卷

一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,3,5?，则集合B? 1．已知集合A??x?N|0?x?5?，CAB??A．?2,4? B．?0,2,4? C．?0,1,3? D．?2,3,4? 2．复数z?4?3i的虚部为 i2A．-4 B．4 C．4i D．-4i

3．给出以下命题：①?x?R,sinx?cosx?1②?x?R,x?x?1?0③“x?1”是“x?1”的充分不必要条件，其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数f(x)?ex?4x?3的零点所在的区间为

A．(?1,0) 4

B．(0,)

14 C．(

11,) 42

D．(,)

13245．某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为 A．

1 2 B．

1 4 C．

2 3 D．

3 4

6. 如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是

A．?

B．

? 3C．3?

D．3? 3开始 输入n k?0k＝k＋1 否 n?2n?1

7．阅读如图的程序框图. 若输入n?6, 则输出k的值为 A．2 B．3 C．4 D．5

n?100?是 输出k 结束 ?x?y?10?8．设实数x、y满足约束条件?x?y?2，则z?2x?3y的最小值为 （ ）

?x?4?

A．26

B．24

C．16 D．14

9．函数f(x)?sin(?x??)（??0,|?|??2）的最小正周期是?，若其图像向左平移

?6个

单位后得到的函数为奇函数，则?的值为 （ ） A．

???? B． C． ? D．?

3663uuruuuruuuruur10．在?ABC所在的平面内有一点P，如果2PA?PC?AB?PB,那么?PBC和面积与

?ABC的面积之比是

1123A．B． C．D．

4 23 311．抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，倾斜角为60的直线l过点F且与抛物线的一个交点

o为A，|AF|?3，则抛物线的方程为 A. y2?3x B. y?2939x C. y2?x或y2?x D. y2?3x或y2?9x 12．已222知函数g(x)是R上的奇函数，且当x?0时g(x)??ln(1?x)，函数

?x3f(x)???g(x)

(x?0),(x?0), 若f(2?x2)>f(x)，则实数x的取值范围是

B．(??,?2)?(1,??) D．(?2,1)

A． (??,1)?(2,??) C．(1,2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分 13．从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从?60,70?这一组中抽取的人数为 ． 14．在VABC中，若?A?120,AB?5,BC?7,则

oVABC的面积S= ．

15．将边长为2的正?ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B?AD?C，则三棱锥

B?ACD的外接球的表面积为 ．

16．已知圆C的圆心在x轴上，曲线x2?2y在点A(2,2)处的切线l恰与圆C在A点处相

切，则圆C的方程为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知正项等差数列?an?的前n项和为Sn，且满足a1?a5?(Ⅰ)求数列?an?的通项公式an；

（Ⅱ）若数列?bn?满足b1?a1且bn?1?bn?an?1，求数列?12a3，S7?56． 3?1??的前n项和Tn． b?n?

18. （本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国

PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量

为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以

上空气质量为超标.

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天.

（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率; （Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率.

19．（本小题满分12分）

o已知四棱锥E?ABCD的底面为菱形，且?ABC?60，AB?EC?2,

AE?BE?2,O为AB的中点.

（Ⅰ）求证：EO?平面ABCD； （Ⅱ）求点D到面AEC的距离．

20．（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为

ab2?1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点E(2，0)且斜率为k(k?0)的直线l与C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，证明：N、F、P三点共线．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax?1. ex（Ⅰ）当a?1时，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对任意t??1?,2?， f(t)?t恒成立，求实数a的取值范围． ??2?请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AD?CE，垂足为D，AC平分?BAD. （Ⅰ）求证：直线CE是圆O的切线； （Ⅱ）求证：AC?AB?AD.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

2

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．

?3x??1?t??2直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为： ??4cos?．??y?1t??2（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线； （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求PQ值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)?log2(|x?1|?|x?2|?a）． （Ⅰ）当a?7时，求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)?3的解集是R，求a的取值范围．

2012年邯郸市高三第一次模拟考试数学（文）

参考答案及评分标准

一、选择题： BADCB DBDCA DD

二、填空题 13． 6 14．. 三、解答题

17．（本小题共12分）

解：(Ⅰ) Q?an?是等差数列且a1?a5?153 15．. 5? 16．. (x?6)2?y2?20 4121a3，?2a3?a32， 33又Qan?0?a3?6．???????????????????2分

QS7?7(a1?a7)?7a4?56?a4?8，???????????4分 2?d?a4?a3?2，?an?a3?(n?3)d?2n． ??????6分

（Ⅱ）Qbn?1?bn?an?1且an?2n，?bn?1?bn?2(n?1)

当n?2时，bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?L?(b2?b1)?b1

?2n?2(n?1)?L?2?2?2?n(n?1)，????????8分

当n?1时，b1?2满足上式，bn?n(n?1)

?1111 ????????????????????10分 ???bnn(n?1)nn?111111111111??L???(1?)?(?)?L?(?)?(?) b1b2bn?1bn223n?1nnn?11n?． ??????????????????12分 n?1n?1?Tn??1?

18．（本小题共12分）

解： 由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标. ????2分

ab，记未超标的4天为a,b,c,d，超标的两天为e,f．则从6天中抽取2天的所有情况为：

ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为

15．????4分

（Ⅰ）记 “6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，

be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．

8；?????6分 15（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，

∴P?A??“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，??????????8分

1，??????????????????????10分 15114?. ?????????????12分 ∴P?B??1?P?C??1?1515故P?C??

19．（本小题共12分）（I）证明：连接CO

QAE?EB ?2,AB?2VAEB为等腰直角三角形 ?QO为AB的中点

?EO?AB,EO?1????????2分 又QAB?BC,?ABC?60

VACB ?是等边三角形

?CO?3，????????????4分 又EC?2, ?EC?EO?CO，即?EO?CO ?EO?平面ABC????????6分 D

（II）设点D到面AEC的距离为h QAE?2,AC?EC?2 ?SVAEC?222o7????8分 2 QSVADC?3,E到面ACB的距离EO?1 QVD?AEC?VE?ADC ?SVAEC?h?SV ?h?ADC ????????????10分 ?E O221 7221????????12分 7 ?点D到面AEC的距离为??2b?2c20．（本小题共12分）(I)由题可知：? ????2分

??a?c?2?1解得a?2,c?1，?b?1

x2?y2?1??????????4分 ?椭圆C的方程为C:2 （II）设直线l：y?k(x?2)，M(x1，0)， y1)，N(x2，y2)，P(x1，?y1)，F(1，?y?k(x?2)，?2222由?x2得(2k?1)x?8kx?8k?2?0.????6分 2??y?1，?28k28k2?2所以x1?x2?，x1x2?. ????????8分 222k?12k?1而

uuurFN?(x2?1，y2)?(x2?1，kx2?2k)uurFP?(x1?1，?y1)?(x1?1，?kx1?2k)，????10分

Q(x1?1)(kx2?2k)?(x2?1)(?kx1?2k)?k[2x1x2?3(x1?x2)?4]

，

?16k2?424k2??k???4??0 22?2k?12k?1?uuuruur?FN//FP

∴N、F、P三点共线 ??????????????12分 21．（本小题共12分）（I）当a?1时，f(x)?x?1 ex?f?(x)??x?2 ????????????????????????2分 ex 由f?(x)?0得x?2,f?(x)?0得x?2

?f(x)的单调递增区间为(??,2)，单调递减区间为(2,??).??????4分 （II）若对任意t?ax?1?1??1?>x恒成立， ， 使得f(t)?t恒成立， 则x?时，,2,2x????e?2??2? 即x?1?1?x时，a?e?恒成立????????????6分 ,2?x?2??x 设g(x)?e?1111x，x?[,2]，则 g?(x)?e?2，x?[,2] x2x2121x?h(x)?e??0x?[,2]上恒成立 ， 在Qx2x321 ?h(x)在x?[,2]上单调递增

211x即g?(x)?e?2在x?[,2]上单调递增??????8分

x2 设h(x)?e?x1112 Qg?()?e2?4?0，Qg?(2)?e??0

4211[,2]有零点m 在2x211?g?(x)?ex?2在[,m]上单调递减，在(m,2]上单调递增?????10分

x2?g?(x)?ex??a?e?21?a?g()1??2a?e?，????????12分 ???2，即?122??a?e??a?g(2)?222．（本小题共10分）

证明：（Ⅰ）连接OC，因为OA?OC,所以?OCA??OAC. .......................... 2分 又因为AD?CE，所以?ACD??CAD?90，

又因为AC平分?BAD，所以?OAC??CAD， .............................................. 4分

o所以?OCA??ACD?90，即OC?CE，所以CE是eO的切线. ................ 6分

0（Ⅱ）连接BC，因为AB是圆O的直径，所以?BCA??ADC?90， 因为?OAC??CAD， ............................................................................................ 8分 所以△ABC∽△ACD，所以23．（本小题共10分） 解：（Ⅰ）???4cos?，

0ACAD2?，即AC?AB?AD. ..................... 10分 ABAC??2?4?cos?，????????????????????????2分

由??x?y,?cos??x得：x?y?4x

所以曲线C的直角坐标方程为(x?2)?y?4，??????????4分 它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆. ????????????????5分

2222222?3x??1?t??2代入x2?y2?4x整理得t2?33t?5?0，??7分 （Ⅱ）把??y?1t??2设其两根分别为t1、t2，则t1?t2?33,t1t2?5，??????????8分

?PQ?t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?7??????????????10分

另解：

化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得PQ的值． 24．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由题设知：x?1?x?2?7， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

?x?1??2?x?1?x??2，或，或??????3分 ????x?1?x?2?7??x?1?x?2?7??x?1?x?2?7解得函数f(x)的定义域为(??,?4)?(3,??)； ????????????5分 （Ⅱ）不等式f(x)?3即x?1?x?2?a?8，

?x?R时，恒有x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?3，??????????8分

?不等式x?1?x?2?a?8解集是R，

?a?8?3,

?a的取值范围是(??,-5]． ……………………………10分

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