解析函数的构造及其在流体力学中的应用

解析函数的构造及其在流体力学中应用

【摘要】复变函数主要研究对象是解析函数，解析函数是实分析中的可导函数在复变函数

中的推广，但却有比实分析中的可导函数更深刻的性质和意义。而解析函数与调和函数之间的关系是构造出一个解析函数的基础，本文不仅总结了已有由调和函数构造解析函数的多种方法，还在已有定理的基础上作了推广。另一方面解析函数作为一种有力的工具，广泛地应用于自然科学的众多领域，如理论物理、流体力学、电磁学等。为此根据解析函数的主要性质在工程应用方面给出了具体的实例。

【关键词】复变函数；解析函数；平面向量场；流体力学

一 前言

1:解析函数基本性质的研究

复变函数论始于18世纪欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯的研究工作。他们在高斯、维塞尔建立复数直观意义（即把复数与平面向量对应起来）的基础上，对单复变函数理论进行了研究，但他们的工作也仅限于对复变函数的实部与虚部分开的情形进行探索。复变函数论的全面兴起是在19世纪，经柯西、黎曼、维尔斯特拉斯的深入研究使复变函数的整体的理论性质得以显现。

复变函数的第一篇重要论文是柯西于1814年在巴黎科学院宣读的《关于积分理论的报告》。他以

?u?v?u?v?，??为基础，建立了从实到复的全部理论。1846年，黎曼第一

?x?x?y?yf?z??z??f?z?应与?z趋于零的方式无关，从而也得到了?z个提出了f??z??lim?z?0?u?v?u?v?，??。他又在1851年通过上式建立了单值解析函数的定义，并用它们刻

?x?x?y?y画了解析函数的内在特征。上式记为后人称的柯西—黎曼条件。至此复变函数可导与解析的重要的条件柯西--黎曼方程的理论基础完成。在整个19世纪，柯西、黎曼、洛朗等数学家完成了复变函数的积分、导数、级数等性质的研究。

在所研读的文献中解析函数的性质基本一样，说明在对解析函数性质的研究上已经形成成熟的理论了，解析函数性质可以总结如下：

（1）函数解析的充要条件：函数的实部与虚部在定义域内任一点可微且满足柯西—黎曼条

件；

（2）解析函数与调和函数的关系：解析函数的实部与虚部在定义域内均是调和函数； （3）利用调和函数和柯西—黎曼条件可构造出解析函数； （4）解析函数的积分性质及柯西定理、柯西积分公式； （5）解析函数的导数； （6）解析函数的洛朗展式； 2：解析函数的构造

解析函数的构造方法是本文的重点，本文总结了教科书、国内文献关于解析函数的构造方法。教科书上关于解析函数的构造并没有形成系统的体系，只是借助于习题体现出解题方法，为此本人借助于理论推导对线积分法、偏积分法、全微分法、不定积分法进行了体系性的总结以方便于应用。除了教科书上已有的解题方法，本人还参考了众多国内外文献并总结了出

了另外四中解法。由于解析函数分为实部与虚部，现有的解法基本上都是假设实部为调和函数，进而构造出一个解析函数，但实际中也出现不少已知虚部为调和函数求所构造的解析函数，而且这两种问题在解决形式上还是有差别的，为此本人在已有理论的基础上作出了两点推广，以丰富解析函数的构造方法。 3：解析函数的应用

解析函数性质的研究前后用了200年左右的时间，但在工程中的应用却发展很快，最著名的莫过于俄国空气动力学家、航空科学的开拓者茹可夫斯基，其在1907年应用复变函数得出了飞机机翼升力定理，也就是解析函数在流体力学上的运用。近十年，国内学者发表的关于复变函数的工程应用上的文献也不少。

在苏变萍、陈东立的合著《复变函数与积分变换第二版》 、路可见、钟寿国、刘士

强《复变函数第二版》中都用一章来说明解析函数在平面向量场上的应用，其中在流体力学上举了解析函数计算飞机在飞行时空气对机翼的升力，从而得出升力的大小与机翼截面的形状的关系；

在路见可教授的著作《平面弹性复变方法》中，就是应用复变函数解决平面弹性和

断裂力学上的问题；在吴敏等人的合著《复变函数》中有一节就是介绍复变函数在振动系统中的应用，相比于用实变数来解决振动系统问题，用复变数可以大大简化运算，还可实现对某些参数的作用作更深入的分析；夏爱桃在《复变函数论的物理意义及其在工程力学中的应用》中具体的举了关于复变函数在弹性力学问题、化简非线性系统的微分方程中的应用；

第1章 解析函数基础

1.1 导数概念

1.1.1 导数

f?z??f?z0?定义1.1：设f?z?包含z0的某区域D内有定义，如果lim存在，

z?z0z?z0那么就称函数f?z?在z0处可导，并称这个极限为函数f?z?在z0处的导数，记为

f??z0??limz?z0f?z??f?z0?

z?z0f?z0??z??f?z0?

?z若记z?z0??z ，则得到f??z0?的另一种表达式：f??z0??lim函数f?z?的导函数f??z? 定义为：f??z??lim?z?0?z?0f?z??z??f?z?

?z定义1.2：如果f?z?在区域D内处处可导，则f?z?在区域D内可导。 例1.1：讨论函数f?z??z的可导性（苏）

_?__?_z??z??z+?z??zz__22??wz??z?z?z?????z??z?z解：设w?f?z?，则

?z?z?z?z2?w_dw??z?0，即若z?0，则在?z?0时，?0. ?zdzz?0?w_?w_?z?z；取?z??y?0，lim?z?z.可见若z?0，取?z??x?0，lim?z?0?z?z?0?z?w在?z以不同的方式趋于0时，趋于不同的值，根据导数的定义可得：

?zf?z??z在除原点以外的复平面上处处不可导。

21.1.2 导数的运算法则

【定理1.1】如果f?z?与g?z?在区域D上可导，那么

??f?z?g?z； （1）?fz?gz???????????

?（2）??f?z?g?z????f??z?g?z??f?z?g??z?；

?f?z???f??z?g?z??f?z?g??z?（3）? （g?z??0） ??2g?z??g?z??【定理1.2】设函数f?z?在z0可导，g?h?在h0?f?z0?处可导，则复合函

数g??f?z0????g??h0?f??z0? ?f?z???在z0处可导，且g??【定理1.3】设w?f?z?，z???w?是两个互为反函数的单值函数，

且???w??0，那么f??z??例1.2：计算f?z??1 ???w?1的导数（孙清华） z2?1解：在z??1处无定义，在除z??1外的点f??z???2z?z2?1?3。

1.1.3 解析函数概念

定义1.3 如果函数f?z?在z0和z0的领域内处处可导，则称f?z?在z0解析.若f?z?在区域D内每一点解析，那么称f?z?为D上的一个解析函数，或称f?z?在D内解析.

如果f?z?在z0不解析，那么称z0为f?z?的一个奇点。在工程应用上最常遇到不解析的情况大体有两种：f?z?包含z的函数成分，或者limf?z???

z?z0注意：函数在一点解析与在一点可导是不等价的，解析要满足两个条件：首先这点要可导，其次要在该点的一个领域内可导，所以解析比可导条件要强。但有定义知，函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的。

1例1.3：讨论函数f?z??2的解析性

z解：在z?0处f?z?无意义，f?z?在复平面内除了点z?0外都可导：

f??z???1 3z1处处解析。 z2所以在除z?0外的复平面内，函数f?z??1.1.4 解析函数基本性质（杨）

性质1：设f?z?和g?z?为区域D内的两个解析函数，

则f?z??g?z?、f?z?g?z?、

f?z?仍为D内的解析函数。 （g?z??0）g?z?性质2：设函数h?g?z?为z平面上的区域D内解析函数，函数

数w?f?h?为h平面上的区域G内的解析函数，如果对每一个z?D,对应的h?g?z??G,则复合函数w?f??g?z???在D内解析。

性质3：设函数w?f?z?在区域D内单叶解析，且在每一个z?D，都有

f??z??0，而函数w?f?z?的反函数z?h?w?在相应的区域G内连续，则函数z?h?w?在G内解析，且h??w??51

f??hw?????例1.4：f?z???z3?2z?3?，求f??z? 解：由复合函数的求导法则，有：

44?333?f?z??5?z?2z?3??z?2z?3??5?z?2z?3??3z2?2?

1.2 函数解析的充要条件（杨）

1.2.1 Cauchy—Riemann条件

【定理1.4】：复变函数f?z??u?iv在定义域D内解析的充要条件是：

u?x,y?和v?x,y?在D内的任意点z可微且满足

?u?v?u?v?，?? Cauchy—Riemann条件

?y?x?x?y

由上述定理还可得到f??z???u?v1?u?v?i?? ?x?xi?y?y根据此定理，比较容易判断一个函数f?z?是否在某一个区域内解析，而且f??z???u?v1?u?v?i??给出了一个简洁的导数的计算方法。 ?x?xi?y?y若将定理中的“D内任一点”改为“D内某一点”，则定理变为函数f?z?在某点可导的充要条件，表述如下：

函数f?z??u?iv在定义域内一点z?x?iy可导的充要条件是

:并且在满足C—R方程：：u?x,y?和v?x,y?在该点可微，

?u?v?u?v?,?? ?x?y?y?x例1.5：讨论函数f?z??x3?3ix2y?3xy2?iy3的解析性（孙清华） 解：由于u(x,y)?x3?3xy2，v(x,y)?3x2y?y3在全平面处处可导，所以

?u?v?u?v?3x2?3y2，??6xy；?6xy，?3x2?3y2 ?x?x?y?y显然满足Cauchy—Riemann方程：:面都满足C-R条件，处处解析。

?u?v?u?v?,??；故f?z?在全复平?x?y?y?x1.3 调和函数

1.3.1 调和函数概念

定义1.4： 如果二元实函数u?x,y?在区域D内有二阶连续偏导数，并且满

?2u?2u足拉普拉斯方程：2?2?0

?x?y

则称u?x,y?为区域D内的调和函数。

1.3.2 解析函数与调和函数的关系。

【定理1.5】：任何在区域D内解析的函数f?z??u?iv，其实部和虚部都是D内的调和函数。

证明：设f?z??u?iv在D内解析，则由C—R条件的?u?v?u?v?，??； ?x?y?y?x引用解析函数的导数性质：解析函数的导数仍为解析函数，因此解析函数

的实部和虚部不但具有一阶偏导数，而且具有任意阶的连续偏导数。所

?2u?2v?2u?2v 以2?，???x?y?x?y2?x?y?2v?2v?2u?2uuv因为、的二阶偏导数连续，所以，故2?2?0 ??y?x?x?y?x?y?2v?2v同理 2?2?0

?x?y因此u?x,y?、v?x,y?都是D内的调和函数。

定义1.5:设函数u?x,y?和v?x,y?都是D内的调和函数，而且它们的一阶

导数满足C—R方程，则称v?x,y?为u?x,y?的共轭调和函数。

结合定义可得：函数f?z??u?iv在区域D内解析的充要条件是v?x,y?为u?x,y?的共轭调和函数

注意：虽然u、v是区域D内的任意两个调和函数，但是它们构成的函

数f?z??u?iv在D内未必是解析函数。要想使f?z??u?iv在D内是解析函数，就，u、v还要满足C—R条件，因此，若已知一个解析函数的实部（或虚部）

可以求出它的虚部（或实部）

1.4 解析函数的积分

1.4.1 柯西积分定理

【定理1.6】：如果函数f?z?在简单光滑（或逐段光滑）闭曲线C上及其内部D内解析，则

??f?z?dz?0

C【定理1.7（等价）】：如果函数f?z?在单连通区域D内处处解析，那么函数f?z?沿D内的任何一条光滑闭曲线C的积分为零，即??f?z?dz?0

C1.4.2柯西积分定理推广到多连通区域：

【定理1.8】：设D为由外线路C0及内线路C1、C2、C3、、、Cn围成的有界多连通域，f?z?在多连通域D内及边界线路C1、C2、C3、、、Cn上解析，那

么?f?z?dz?0。其中C为多连通域D的所有正向边界，其方向是C0按逆时针方

C向去，线路C1、C2、C3、、、Cn按顺时针方向取。 特殊情形：

1：设f?z?是单连通区域D内的一个解析函数，C1和C2是在D内连接z和z0的任意两条逐段光滑曲线，则

（闭路变形定理）

上述定理说明单连通区域上的解析函数的积分完全由它的上、下限决定，而与所沿路径无关:，该积分可记作?f?s?ds

z0z?f?z?dz??C1C2f?z?dz2：固定z0而让z在D内任意取值，那么上述积分所确定的函数F?z???f?s?ds也

z0z在D内解析，并且F??z??f?z?

3：若??z?为f?z?在区域D内的原函数，那么?f?z?dz???z1????z0?，其中z0、

z0z1z1为D内两点。

1.4.3 柯西积分公式

【定理1.9】设f?z?在简单正向闭曲线C及其所围成区域D内处处解析，z0为D内任一点，那么f?z0??f?z?1dz ?C2?iz?z0注：柯西积分公式是解析函数的积分表示式，解析函数f在区域边界上的值完全

决定了f在区域n内任一点处的值.同时，它提供了一种计算积分的方法； 例子1.5：计算?zdz，其中C是：z?3，均取逆时针方向；

2z?1??z?2?C??1,z?2，由柯西积分定理得：2zdz?0，移项

z2???1z??2解：在z?3所为区域内有不可解析点z?zdzzdz????2z?1??z?2?z?1?2z?1??z?2?C?z?2???12zdz??2z?1??z?2?C?zdz??2z?1??z?2?z?1??z?2?zdz1?2z?1??z?2?2zzzz??2z?4dz??2z?1dz??2?i??2?i（柯西积分公式）

?11?2z?42z?11?z?2?z?z?2z?1?z?z?2?2??22???i4?i????i551.5 解析函数的导数

【定理1.10】：设f?z?在简单正向闭曲线C及其所围区域D内处处解析，z0为D

n内任一点，那么f???z0??f?z?n!dz，n为自然数。 ??n?1?C2?i?z?z0?可见一个解析函数的导数仍为解析函数。

推论：如果一个函数在某点解析，那么它的各阶导数在该点仍解析； 此定理的作用，不在于通过积分求导数，而在于通过求导来求积分。 特别是：当f?z??1时，?Cdz?z?z0?n?0,n?1??。此公式很便于计算积分； ?2?i,n=1【定理1.11（Morera）】：若函数f?z?在区域D内连续，并且对于D内任一简单封闭曲线C,有?（12） ?f?z?dz?0，则f?z?在D内解析；

C1.6 解析函数的洛朗展式

1.6.1 洛朗级数的概念

定义1.6：形如

n????c?z?z?n0??n的表达式称为洛朗级数，其中cn、z0为复常数，cn称为级数的系数。

如果级数

???c?z?z?n0n?0n??n和

?c?z?z??n0n?1???n在点z都收敛，那么称级数

n????cn?z?z0?在点z收敛。

1.6.2 洛朗展开定理 （哈工大）

定理1.12. 设函数f?z?在圆环D：R1?z?z0?R2上解析，则在D内

f?z??n????cn?z?z0?，其中cn???nf?s?1ds，（n?,0.,?1.2.?n?1?C2?i?s?z0?）。C是正向

圆周z?z0??，?是满足R1???R2的任意正实数。

n?0,?1,?2...

1.6.3 解析函数的洛朗展式求法 （哈工大）

求在圆环域内解析的函数的洛朗展式，可以用洛朗展开定理，通过计算系数

来获得，但计算量大而且繁杂。因此，求一般的函数的洛朗展开式不是直接从洛朗展开定理出发，而是利用洛朗展开式的唯一性，通过间接的方式获得。

例如有理函数的洛朗展开式，只需利用部分分式法把有理函数分解为多项式与若干个最简分式之和，然后再利用已知的几何级数，经计算展开为需要的形式

2z2?z?5例1.6求函数f?z??3在（1）（2）1?z?3；3?z???内以z=02z?3z?z?3为中心的洛朗展式

2z2?2??z?3?2z2?z?521???解：f?z??3

z?3z2?z?3?z2?1??z?3?z?3z2?1当1?z?3时，有

?21112??z?1???1?2n?n1f?z?????2????????2???2????n?1z+???1?2n31?zz1?13n?0?3?zn?0?z?zn?03n?123znn

当3?z???时，有

??21112??3?1???1?1n?1n1f?z????2???????2???2???2?3n?1????1?z1?3z1?1zn?0?z?zn?0?z?n?0zz2n?2n?0zz2??n1n?11??2?3??1???znn?1z2nn?1nn再如求无理函数和其他初等函数的洛朗展开式，常常可以利用已知基本初等函数

的泰勒展式经过代换、逐项求导、逐项积分等计算获得。

例1.7 求函数f?z??ze在0?z???内以z=0为中心的洛朗展式

12z?1?1????11z??z解：当0?z???时，0????，e?? ??nzn!?zn?0n?0n!?11从而f?z??ze=z? ??nn?2?z?zn?0n!n?0n!212z?n

第二章 构造解析函数已有解法总结

解法一 线积分法（杨巧林）

定理2.1：u?x,y?是单连通区域D内的调和函数，其共轭调和函数为

v?x,y?????u?udx?dy?C，且f?z??u?iv为一个解析函数.

?x0,y0??y?x?x,y?证明：

因为v?x,y?为u?x,y?的共轭调和函数，所以v?x,y?在区域D具有二阶连续偏导数，从而是可微的，故有全微分dv??v?v?u?udx?dy=?dx?dy ?x?y?y?x??u?????u????y????2u?2u?x????由二元实又因为u?x,y?是调和函数，故2?2?0.即??x?y?x?y函数全微分判别法，得：

?x,y???u?udx?dy是某个二元实函数的全微分，这个?y?x函数可表示为：???u?udx?dy?C，其中?x0,y0?是D内一个定点，

?x0,y0??y?x?x,y?是D

?x,y?内任一点，C为任意常数。从而有

v?x,y?????u?udx?dy?C.此积分与积分路径无关。

?x0,y0??y?x总结步骤：

（1）写出函数v?x,y?的全微分形式dv??v?vdx?dy ?x?y（2）利用C-R条件进行等价代换dv???u?udx?dy ?y?x（3）对（2）中的等式进行两边线积分得出v?x,y?，其中积分的起点为已知解析点。特殊情况下当解析函数f?z??u?iv在原点?0,0?解析时，可选取原点为起始点，

v?x,y????x,y???u?0,0??ydx??udy?C ?x

（4）根据积分与所选取的积分路径无关，选择合适的路径就可解出（3）式的不定积分。

例2.1：验证u?x,y??y3?3x2y为调和函数，并求其共轭调和函数v?x,y?，从而

构成一个解析函数f?z??u?iv

2?u?2u?u?2u?2u22?u解：??6xy,2??6y；?3y?3x,2?6y；2?2?0，由调和函数的?x?x?y?y?x?y定义可得u?x,y??y3?3x2y为调和函数。

?v?vC?R条件?u?udv?dx?dy??dx?dy，显然解析函数f?z??u?iv在原点?0,0?解

?x?y?y?x析

，

选

?x,y???u取

?0?,为0起始点

x，

y则

v?x,y????0,0??x,y??udx?dy?C=??3x2?3y2?dx?6xydy?C??3x2dx??6xydy?C?0,0??y?x00?x3?3xy2?C从而可得f?z??y3?3x2y?i?x3?3xy2?C?是解析函数。

解法二 偏积分法

?u?v?u?v，??；故有构成的解析函数f?z??u?iv满足C—R条件：??x?y?y?xv???v?udy??dy?v1?x,y??g?x?，等式两边关于x求导，得?y?x?v?u?u?v1??x,y??g??x???，g??x????v1??x,y? ?x?y?y??u???u?所以v?v1?x,y??????v1??x,y??dx?C g?x??????v1??x,y??dx?C，

??y???y?总结步骤：

(1)由已知调和函数u?x,y?求其关于x,y偏导; (2)根据C-R条件求出其共轭调和函数v?x,y?的偏导; (3)对

?v?v（或）求偏积分写出v?x,y?抽象表达式；

?x?y

(4)对v?x,y?求关于x（或y）的偏导数； (5)根据C-R方程解出未知函数项；

(6)把（5）结果带入（3）式得出v?x,y?的不定积分表达式； (7)根据初值条件求出常数项。

特殊情况下解析函数f?z?所满足的初值条件是在原点?0,0?解析且f?0??0 例2.2：调和函数u?x,y??x2?y2?xy，求解析函数数f?z??u?iv，初值条件：

f?0??0 解;

?u?u?v?u?2x?y,?x?2y;根据C-R条件可得：??2x?y，等式两边关?x?y?y?xy2于y求偏积分得：v???2x?y?dy?2xy??g?x?，再在等式两边关于x求导得：

2?v?v?u?2y?g??x?，由C-R条件??，所以2y?g??x??2y?x，即：g??x???x ?x?x?yx2y2x2所以g?x????C，从而v?x,y??2xy???C

222所

22以

??y2x2i22f?z?=?x?y?xy?+i?2xy???C??x2??iy??2ixy??iy??x2?2ixy?iC222??i22?i???x?iy???x?iy??iC??1??z2?iC2?2????i?由f?0??0，所以C?0，故f?z?=?1??z2

?2?解法三 全微分法

（1）dv??v?vdx?dy， ?x?y?u?udx?dy ?y?x?u?udx?dy=d?成立。 ?y?x（2）根据C-R方程可得：dv??（3）应用凑微分法找出函数??x,y?，使dv??

（4）关于等式两边积分得：v?x,y?=??x,y??C，C为任意常数。 例子2.3：调和函数u?x,y??x3?3xy2，求解析函数数f?z??u?iv 解：dv??v?v?u?udx?dy，根据C-R条件可得dv??dx?dy，?x?y?y?x?u?3x2?3y2?x，

?u??6xy?y；所以

2dv?6xydx??x2?y3?dy?xydx?3xdy?ydy?d?3xy??dy?d?3xy?y23?2

623323所

f以

3v?x,y??3x2y?y3?C??2，

y?3从

?xi而

y?i3y????z3xi???3x?23上述三中方法的总结：

解法一与解法二是教材上传统的也是很经典的解法，解题思路清晰，步骤上有章可循，容易把握。在相关的数学课程如常微分方程、数学分析等书中也有相同的解题方法，这两个方法可以看做是二元实函数在复变函数上的应用。

相比于前两个解法，解法三虽也是熟悉的解题思路，但在实际解答上有很大的局限性，其应用过程中用到了凑微分的思想，而这正是大部分学生难以想到的。然而求的过程中简洁，省去繁琐的步骤。

解法四 形式代入法([9]、[10]、[11])

【定理2.2】解析函数的唯一性：设函数f?z?和g?z?在区域D内解析，设zk是D内彼此不同的点?k?1,2,3...?，并且点列?zk?在D内有极限点（聚点）。如果

f?zk??g?zk??k?1,2,3...?，那么在D内，f?z??g?z?（12）

【定理2.3】设u?x,y?是单连通区域D内的调和函数,z0为D内任一点, 则在D

?z?z0z?z0?fz?2u,内以u?x为实部的解析函数为: ,y??????c0，其中

2i??2c0?f?z0?

（定理的证明方法在文献[9]、[10]中各给出了一种方法，但文献[9]的证明方法

??z0??z0,y?y0?是有所欠缺的，文献[9]证明过程有一个替换：x?x0?，显22i然?所取只是与点z0具有相同实部或虚部的点, 而不是使得函数解析的所有点。

文献[10]给出了一个严谨的证明但很复杂，文献[11]给出的证明则相对简洁易懂）

此定理给出一种不用计算共轭调和函数, 而直接写出对应的解析函数的简便方法。

?zz?当函数f?z?在z0?0解析时，此时f?z??2u?,??c0，c0?f?0,0?

?22i?推论：设v?x,y?是单连通区域D内的调和函数,z0为D内任一点, 则在D内以

?z?z0z?z0?,v?x,y?为虚部的解析函数为: f?z??2iv???c0，其中c0?f?z0? 22i??总结步骤：

（1）对已知的调和函数，令x?z?z0z?z0、y?（z0可取任意解析点，一般取

2i2原点或者取初值点）代入其表达式；

（2）根据代换公式f?z?与u?x,y?（或v?x,y?）的关系，得出f?z?的函数式； （3）结合初值条件，确定常数项；

例子2.4：已知调和函数v?ex?ycosy?xsiny??x?y，求解析函数f?z??u?iv，使f?0??0

?z?z0z?z0??zz?,解：根据f?z??2iv???c0，取z0为原点此时f?z??2iv?,??c0 2i??22i??2zz用、分别代换v?ex?ycosy?xsiny??x?y中的x,y，即得： c0?f?0,0??0；

22izz?2zzz?zz?zz??z2?f?z??2i?e?cos?sin?????ez?cos?isin??z?iz2i22i?22i?2i2i????2i

?eez?z?iz?ezz?z?1?i?zzi22i其中用到了欧拉公式：eiz?cosz?isinz。

解法五 （贺福利）

【定理2.4】设u?x,y?是单连通区域D内的调和函数，则在D内以u?x,y?为实部的解析函数为f?z??2?证明：x??udz?iC ?zz?zz?z，y?。根据复合函数的求导法则得：

2i2

?u?u?x?u?y1?u1?u1?ui?u???????z?x?z?y?z2?x2i?y2?x2?y?v?v?x?v?y1?v1?v1?vi?v； ???????z?x?z?y?z2?x2i?y2?x2?y，

?u?u?u?i?2?x?y?z；

?u?v?u?v?v1??u?u?由C-R方程：?，??有????i?

?x?y?y?x?z2??y?x?所以

f??z?????u?1?????i?????????z?z2?x?y??y?x??udz??z. ?z????? ?????x?y?x?y?zv故f?z??2?下证

???f?0，即证明：如果f?z??u?x,y??iv?x,y?为解析函数，那么它一定能?z单独用z来表示。

?f?u?x?u?y??v?x?v?y?1?u??1??u?1?v1?v????i??????i??????z?x?z?y?z??x?z?y?z?2?x?2i??y?2?x2i?y?1??u?v?i??u?v?????????2??x?y?2??y?x??f?u?v?u?v?0. ，??，则由C-R方程：??x?y?y?x?z

从而??z?0，?z?iC,得证f?z??2??????udz?iC ?z推论：v?x,y?是单连通区域D内的调和函数，则在D内以v?x,y?为虚部的解析

?vdz?C，（C?R） ?z?v?u(证明过程只需在f??z?的表达式中用代换即可)

?z?z总结步骤：

函数为f?z??2i?（1）在确定为单连通区域下，对已知的调和函数u?x,y?（或v?x,y?），令x?z?z，代入原函数式； 2iz?z、2y?（2）由（1）将已知的调和函数化为uz,z（或vz,z）；

????

（3）求出

?u?v（或）； ?z?z（4）根据代换公式f?z?与u?x,y?（或v?x,y?）的关系，得出f?z?的函数式； （5）结合初值条件，确定常数项；

例子2.5：已知调和函数u?x,y??ex?xcosy?ysiny?，求解析函数f?z??u?iv，使f?0??0。 解：令x?z?z2z?zz?z，y?，代入调和函数u?x,y??ex?xcosy?ysiny?中

2i2z?z?z?z?z?zz?zz?zz?z?z?zz?zz?z?2u?e?cos?sin?ecos?isin???22i2i2i22i22i????z?zz?z?zz?zzz?z???zz?zzz?zzz?zzz?z?e2?cos?isin?cos?isine2?e2? ??e2???2i22i22i22i?2?2?2??zzzze?e22?uezzz??e?z22，所以

?ezzz?f?z??2???e?dz?C????z?dez?C?iez??z??ez?C?zez?C1，由

?22?f?0??0，得C?0，所以f?z?=zez

解法六

定理2.5：设D为含原点的单连通区域，u?x,y?是D内的调和函数，则在D内以

u?x,y?为实部的解析函数f?z?=u?z,0?+iv?z,0?，其中v?z,0????0z?u?ydx+Cy?0（C?R） 证明：设fv?x,y????x,y??z???u,x??yi?v,?，x借y助解法一的证明过程可得

??u?udx?dy?C，D为含原点的单连通区域，所以取

?x0,y0??y?x?x,y???u?x0,y0???0,0?，有v?x,y????0,0??ydx??udy?C，因积分与积分路径无关，故?x

??u取路径：?0,?0??x,??0?x?y,，有v?x,y????y0v?x,0???0xxy?0dx???udy?C,所以?x0y??u?ydx?Cy?0;当z在实数轴上取值时，有

f?z??f?x??u?x,0??iv?x,0?， 由f?z?在D内解析，根据引理：解析函数的唯一性，得f?z??u?z,0??iv?z,0?，且v?z,0???0z??u?ydx?C；

y?0总结步骤：

（1）在确定区域D为含原点的单连通区域的情况下，求出

?u?y?v?y?u?v（或），再令y?0，?y?y得出?（或

y?0）值；

y?0??u（2）根据公式v?z,0????y0zy?0dx?C（或u?z,0????v?y0zdx+C）得出另一调和

y?0函数

（3）令z?x,y?0，得u?z,0?（或v?z,0?）

（4）由f?z?=u?z,0?+iv?z,0?，把（3）所得式子带入得所求解析函数； 例子2.6：已知f?z?的实部为调和函数u?x,ysin，y求解析函数??shxf?z??u?iv 解：??u?u??shxcosy，??y?yz??shx；

y?0??u所以v?z,0????y0y?0dx?C???shxdx?C??chz?C，而u?z,0??0；

0z则f?z?=u?z,0?+iv?z,0?=?ichz?iC； 根据

chz?ch?x?iy??chxchiy?shxshiy=chxcosy+ishxsiny， 有f?z??shxsiny－ichxcosy?iC

解法七

定理2.6：设u?x,y?是单连通区域D内的调和函数，f?z??u?iv为解析函数，则表达式u?x,y??f?z??f?z?中的f?z?除相差一个纯虚数外是唯一的。(理解2上借助文献：《由调和函数求对应解析函数的几个方法----曾招云》)

证明:设g(z)?u?x,y??iV?x,y?也是以u?x,y?在D内所确定的调和函数，由C—R条

件

可

得

：

??u?u??v??v,?????x???x?y???????u????????V?,v?????????x???y??V??v?????dy????????x?y??x??????V???x???V???dy???????x?????x??????uy?x ?u???y?xdudx所以有：???x?????x??0???x????x?+c；所以f?z??g?z??ic 由

?f?0（解法五）即f?z?为关于z的函数，所以f?z?关于z的偏导数为0，?z从而可以把函数f?z?看成是z的函数，记为fz；

注意事项:理解函数f?z?与f?z?（或fz）表达式之间联系 函数f?z?（或fz）可由f?z?经如下替换得到：

代换为（1）函数f?z?中的z????z记为fz

????????（2）求fz的共轭函数fz（加号与减号之间的替换） 总结步骤：

（1）在确定D为单连通区域情况下，令x?uz,z；

????z?zz?z，y?把u?x,y?转化为

2i2??（2）由公式u?x,y??联系，求出f?z?；

f?z??f?z?或及根据f?z?与f?z?（或fz）表达式之间2??例子2.7：已知调和函数u?x,y??x2?y2?xy，求以其为实部的解析函数

f?z??u?iv；

解：令x?z?zz?z，y?，代入调和函数u?x,y??x2?y2?xy中，有

2i22222?z?z??z?z?z?zz?zz2?zf?z??f?z?z2?zuz,z????????；所以???22i22i24i2??????2z2z2f?z?=z?,f?z??z??fz；

2i2i2??解法八 不定积分法（8）

（1）f??z??ux?ivx?ux?iuy?vy+ivx （2）f?z???f??z?dz

此方法的关键之处在于怎么将ux?iuy（或vy+ivx）化为f??z?的形式，这里介绍最简单的方法：归零法

令ux?iuy（或vy+ivx）中的y?0，得到f??x?，再写成z的函数f??z? 例2.8：已知调和函数u?x,y??ex数f?z??u?iv 解：ux?2xex22?y2sin2xy，f?0??0；求以其为实部的解析函

?y2sinxy?2yex2?y2cos2xy；uy??2yexcos2xy?i?2yex2?y2sin2xy?2xex2?y2cos2xy；

由导数公式得：

f??z??2xex2?y2sin2xy?2yex22?y2?2?y2sin2xy?2xex2?y2cos2xy

?令y?0，得f??x???2ixex，所以f??z???2izez，于是

f?z???f??z?dz???2izezdz??iez?C,由f?0??0，得C?i；所以 f?z???iez?i

2222

第三章 对已有构造解析函数方法的推广

3.1 解法六的推广

定理3.1：设D为含原点的单连通区域，v?x,y?是D内的调和函数，则在D内以

v?x,y?为虚部的解析函数f?z?=u?z,0?+iv?z,0?，其中u?z,0???（C?R）

证明：证明：设f?z??u?x,y??iv?x,y?，

?v?y0zdx+Cy?0C?R条件?x,y??v?u?u??vu?x,y???dx?dy?C??dx?dy?C，由D为含原点的单

x,y?x0,y0??x??00?y?y?x?x,y?连通区域，所以取?x0,y0???0,0?，有u?x,y????x,y??v?0,0??ydx???vdy?C，因积分与?x积分路径无关，故取路径：?0,0???x,0???x,y?，有

?vu?x,y????y0x?v??vdx??dy?C,所以u?x,0????y?x00y?0yxdx?C;当z在实数轴上取

y?0值时，有f?z??f?x??u?x,0??iv?x,0?， 由f?z?在D内解析，根据引理：解析函数的唯一性，得f?z??u?z,0??iv?z,0?，且u?z,0????v?y0zdx?C；

y?0例3.1：已知v?x,y??2cosxchy?x2?y2，f?0??2，求解析函数f?z??u?iv

?v?v解：?2cosxshy?2y，

?y?y?0；所以u?z,0???y?0?v?y0zdx?C?C；

y?0f?z??u?z,0??iv?z,0??C?i?2cosz?z2?，由f?0??2，有C?2?2i；

于是f?z??i?2cosz?z2?2?+2

3.2 解法七的推广

定理3.2：设v?x,y?是单连通区域D内的调和函数，f?z??u?iv为解析函数，则表达式v?x,y??f?z??f?z?中的f?z?除相差一个纯虚数外是唯一的；

2i证明:设h(z)?U?x,y??iv?x,y?也是以v?x,y?在D内所确定的解析函数，由C—R条件可得：

???v??U?v?u????u?v?v???ux,y?dx??y??????dx??y??????y???x?y?x????y??y?x???????? ???U???v??u?U?x,y???vdx???y???U??v??v???dx??y????????y???y??x?y?y??y??x???两式相减得:???y?????y??0???y????y?+C；所以f?z??h?z??iC 由

?f?0即f?z?为关于z的函数，所以f?z?关于z的偏导数为0，从而可以把?z函数f?z?看成是z的函数，记为fz；

例3.2：已知v?x,y???2sin2xsh2y?y，f?0??2，求解析函数f?z??u?iv 解：令x?z?zz?z，y?，代入v?x,y???2sin2xsh2y?y中，得

2i2?z?z????i????v?x,y???2sin?z?z?sh??z?zz?z??2sin?z?z?shizch??iz??sh??iz?chiz?2i2i??z?zz?z??2i?sinzcosz?sinzcosz??sinzcosz?sinzcosz??2i2iz?zz?zf?z??f?z???2isin2zcos2z?sin2zcos2z??icos2z?icos2z??2i2i2i??2sin?z?z??isinzcosz?isinzcosz????其中f?z??2cos2z?z?C,f?z??2cos2z?z?C;由f?0??2，得C?0； 于是f?z??2cos2z?z

第四章 在流体力学上的应用

平面向量场的相关概念：（苏）

（1）不可压缩流体：密度不因压力而改变的流体。

当空气流速不超过声速的0.6-0.8倍时，可视为不可压缩流体；

（2）平面流动：在流动中，垂直于某平面的每一垂线上所有各项质点的速度相同，且与此平面平行。当各质点的速度仅与其位置有关，而不随时间变化时，称其为平面稳定流动；

（3）稳定平面向量场：在平面稳定流动中，若对于某平面某区域D内的每一点，有一个方向和大小都不随时间变化的速度向量与它对应而形成的场；

（4）流量N：在区域D内任取一条简单曲线C，以C为准线，垂直于C的直线为母线，做一个高为1的柱面，单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流体质量；

当流体是不可压缩的，上述流量可以用所流过的流体在D上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向C的某一侧的流量为正，则流体向相反一侧流动的流量为负；

（5）环量?：单位时间内流体沿曲线C旋转了多少；

（6）无源无汇：若在区域D内任何部分，都无流体放出，也无流体吸入，则称D内流速场v既无源又无汇；

问题阐述：假定飞机以不变速度在填空飞行，其速度不超过音速的0.6?0.8倍。为了方便，把坐标系取在飞机上，此意味着对坐标系而言，飞机是不动的，而空气则冲向飞机而流动。离飞机很远处的空气的速度可以看成是不变的，把它算作是无穷远处的速度。设想机翼很长，并且考虑垂直机翼的诸平行平面与机翼相交的截面（记为机翼剖面）。只要这些截面离机身及翼端较远，就可以把它们看成是全等的，而且在它们所在的平面上，空气流动的情形也可看成是相同的，这样，在上述条件下，研究飞机飞行时围绕机翼的气流情况问题，就化为不可压缩流体的平面稳定流动问题。这一流动是无源无汇的，结合已知实验，这一流动也可看作是无旋的。

分析：取离机身及翼端较远的一个机翼剖面所在平面作为z平面，剖面边界是带有尖端点的一条简单闭曲线C，这时空气可以看做沿着曲线C流动，即气体质点沿着C运动，从而C是一条流线。只要知道了曲线C的形状以及气流在无穷

远处的速度，就可以再在曲线C的外部求出上述流动复势f?z?以及环量?，即

f?z?、?只与曲线C的形状、无穷远处的速度有关。

一：复环流：（路）

设C为平面上去定从A到B为正方向的简单逐段光滑曲线，在C上取弧微元ds，在其上任意一点作单位切向量?（与C正方向相同）以及单位法向量n（切

?向量右侧，?按顺方向旋转可得到n）

2dxdy???i；

dsdsn???e??i2??i??dydx?i； dsds设M处v?vx?ivy在?、n上的投影分为v?、vn，则

dxdy?vy； dsdsdydxvn?v?n?vx?vy；

dsds求通过ds的流量N v??v???vxdN??hvnds； 求通过ds的环量?

d???hv?ds

不妨设：h?1,??1；

以上流量与环量的正负取决于v与?、n的夹角，当夹角为锐角（钝角），环量、流量为正（负）

有: N??vnds???vydx?vxdy;???v?ds??vxdx?vydy;

CCCC称P???iN为曲线C上的复环流，P???vx?ivy??dx?idy???v?z?dz

CC称v?vx?ivy为复速度，因此C上的复环流是复速度的共轭沿C的积分； 设z0?G,z0有限或为?，作z0任意充分校的领域B?z0?，边界为C，取C关于B?z0?的正向，以N?0,N?0,??0分别称z0为源点、汇点、涡点，其共性为复还流非0；

在G中除去上述点得一区域D，称D为无源、无汇、无旋域；因对D内任意封闭光滑曲线C，若C?0,就有P??v?z?dz=0，由Morera定理得：v?z?是D内

C

解析函数。此意为：不可压缩流体作无源、无汇、无旋定常平面流动时的特征是：任意作D内同伦于零的封闭曲线，其复还流为0，且复速度之共轭为区域D内的解析函数；

二：复势：

设区域D存在函数f?z?，使f??z??v?z?，称f?z?为流动的复势；按定义，作为复势的函数其导数必须是单值的，记f?z????x,y??i??x,y?，??x,y?、

??x,y?分别为势函数（速度势）和流函数；

??x,y??常数，??x,y?=常数

分别称为等势线和流线；在v?0处，f??z??0，从而等势线与流线是正交的。而每点的速度在流线的切向上，从而流线是质点运动的轨迹。

流动速度v?f??z?，即v?f??z?，argv??argf??z? 三：圆盘绕流：（最简单情况）

设圆盘静止不动，横截面z?1，边界为C,设流体是不可压缩的无源、无旋定常平面流动，流体在无穷远处的速度为???0。因为流体不会离开C，故C为流线，现求流动复势f?z?使得在C的环量为?。

f??z??v?z?在z?1解析，在z?1上连续（因速度是连续的），因

f???????，则在C外部有洛朗展式：

f??z??????c?n nn?1zc?2c?3??... z2z2?积分后去掉不影响流动的常数项后有：f?z????z?c?1logz?设C1为z?R??1?,由多连通区域的柯西定理及复环流的定义，有

C?f??z?dz??f??z?dz?2?icC1n0?1?PC??C?iNC??，（其中

C??z?z?dz?0,n?1??；z0为不解析点）, NC?0,表示没有流体出入，于是2?i,n=1?c?1??； 2?i

f?z????z?cc?logz??2??32?... 2?iz2z?logz,显然2?i因C为流线，当z?C时，Imf?z??常数m，令F?z??f?z??F?z?具有与f?z?相同的解析与连续性质，且当z?C时，ImF?z??常数m;由解析开拓定理得：F?z?可开拓到0?z?1，于是当0?z??时，

有F?z????z?c?2c?3?2?... z2z考虑在z?1上，令z?ei?，c?n?a?n?ib?n（n?2,3...），按虚部对应整理带入后的等式，有m?b?2cos??????a?2?sin??b?3acos2???3sin2??...?0 22由傅里叶展式的唯一性得：m?0,b?2?0,a?2????,a?n?b?n?0,?n?3?

??logz?? 2?iz?1???则v?z??f??z????? 2?izz2?z????0的点，根据一元二次函数的求根先求??0的点，即满足??z2?2?i公式得：

所以f?z????z?????2????4????i?2?i?2?i?z??2??2?4??????24???2

?z????0，两边同乘2?i当??4???时，此时z?1，设z?ei?，代入??z2?以z，化简得：??4???sin?；由此可确定满足上式的?1,?2，z1?ei?1（?1??2），

，为临界点。当z1?z2时，流向z2的流线经z2后分成两条，z2?ei?2（?2????1）

分别沿上、下圆周流动然后在z1处回合；当z1?z2时则合二为一。

???2??4????4???2当??4???时，临界点在虚轴上，z?，两个点的积为1，一个点在圆外。一个点在圆内（事实证明不存在）；

四：一般截面绕流

设柱体横截面为E，边界为C，则C为流线，流体在无穷远处的速度记为??，在C上的环量为?，求复势f?z?；

利用共性映照化为上述问题。不妨取原点在E内，E的外部记为D,下证：求出把D共性映照为??1的函数??g?z?，且满足g?????，g?????0；

首先作?1?1把D映为含有原点的有界域D1，由黎曼映照唯一性定理，存z在?2?F??1?把D1映照为D2:?2?1，且F?0??0,F??0??A?0,则F??1?在

?1?0附近有：

F??1??A?1??2?12?...??n?1n?... 最后做??1?2把D2映为D3:??1;经过上述映射有g?z??1，将D映1??F???z??1?F????z?，在z??时,F??1??A在?领为??1，且g?????，而g??z????2?z???1??zF??z???????n??1?域内有：zF???zF??1??z?A?1??2?12?...??n?1n?...??A?2?...?n??... 1zz?z?1?1?从而z??时，zF???A，g?????。

A?z?验证：?????f?z??f?g?1????

是?平面单位圆盘绕流的复势，这是因为????显然是??1中的解析函数，同时

f????g?????????=?A??；映照??g?z?将周界C映为L: ??1，当z?C时，

（C为流线）。所以当??L时，可确定????为复势：Imf?z??常数Im?????常数

L为一流线，L上的??????dz??f??z?dz?2?ic?1?PC??C?iNC??

LC1复环流为：

利用上一问得：?????A??????log??A?,则一般截面绕流复势为： 2?i?f?z???g?z??????1?1??g?z??logg?z?????logg?z??g????2?ig????g?z?g????2?ig????g?z?其中映照??g?z?为茹科夫斯基映照的反函数??z?z2?1；

对于不可压缩的平面稳定流动，考虑在每一点与流动平面相垂直的任一具有

单位面积的矩形。其所受压力大小服从伯努利公式：

?2p?A??

2其中?：在这点流动的速度向量；?：流体密度；A：实常数；

在曲线C上，压力方向沿法线向内，所以弧长ds?dz所受压力向量的模为

p?dz，其辐角是dz的辐角加

i?，则压力向量是： 2?2??p?dz?e2??A????i?dz

2??作用在曲线C上的压力向量P是作用在各弧长元素上的压力向量的向量和：

??2??2?P=??A????idz?????idz；(其中根据柯西积分定理?A?idz?0,C

22?CC?C为闭曲线)

由于C是一条流线，在曲线C上每一点，速度向量在这点的切线上，设其上正方向与x轴的夹角为?，则dz?dzei??ei?ds（复数的指数形式）且????ei?，又因为??f??z?；所以

P=??C?i2?f??z??e22?2i?dz=??C?i2?f??z??e2-i?ds=??C?i2?f??z??dz；

2其中dz?dze-i?；两边取共轭复数有：

P=?C?if??z??dz（积分按正方向取） ?2由于limf??z????（选适当的坐标轴可使无穷远点的速度向量为正实数），

z??

即无穷远点是f??z?的可去奇异点；在以原点为心的某一圆的外部（在?的领域内），f??z?有洛朗展式为f??z??????c?n， nn?1zc?2c?3??... z2z2?积分后去掉不影响流动的常数项后有：f?z????z?c?1logz?设C1为z?R??1?,由多连通区域的柯西定理及复环流的定义，有

C?f??z?dz??f??z?dz?2?icC1n0?1?PC??C?iNC??，（其中

C??z?z?d1z?0n?,??；z0为不解析点）, NC?0,表示没有流体出入，于是

i,n=1?2?c?1??； 2?i??c将f??z?平方并将c?1?带入f??z???????nn中得：

2?in?1z?f??z??P=?C2???22???11?i??c??...；代回P=?f??z?dz，有 ?iz?2z22C???i2?f??z?dz?P=?2?i???1?i???（除了第二项，其dz?2?i?i????，??iz2C2?i余项的积分都为0）

所以Ｐ＝－i????

四、阅读文献：

[1] 李汉龙、繆淑贤. 复变函数. 国防工业出版社，2010

[2] 苏变萍、陈东立．复变函数与积分变换第二版．高等教育出版社，2010． [3] 路可见、钟寿国、刘士强．复变函数．武汉大学出版社.2007． [4] 路见可. 平面弹性复变方法. 武汉大学出版社，2005. [5] 吴敏、洪毅、刘深泉.复变函数. 华南理工大学出版社，2006.

[6] 夏爱桃. 复变函数论的物理意义及其在工程力学中的应用.数学学习与研究，2012 [7] 杨巧林、孙福树、刘锋．复变函数与积分变换第二版．机械工业出版社，2008． [8] 孙清华、孙昊．复变函数疑难分析与解题方法．华中科技大学出版社，2010． [9] 贺福利．复变函数中由调和函数求解析函数的方法．数学理论与应用第30卷第4期，2010. [10] 张燕勤、张琳、王安．由调和函数构造解析函数的一种方法．首都师范大学学报第30卷第4期，2009.

[11] 曾招云、胡琳．由调和函数求对应解析函数的几种方法.高等数学研究第15卷第4期，,2012.

[12] 盖云英、包革军．复变函数与积分变换第二版．科学出版社，2006．

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