数一模拟5答案

数一模考五答案

一、选择题

（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）D （7）C （8）C 二、填空题

（9）10ln3 （10）2 （11）dx?12dy

（12）?2 （13） ?2 （14）[1?(1?2p)n]

2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）设连续函数f(x)在[1,??)单调减少，且f(x)?0，若

nnun??k?1f(k)??1f(x)dx，证明：limun存在

n??n?1n证明：un?1?un??k?1f(k)??f(k)?k?1?n?11f(x)dx??n1f(x)dx

?f(n?1)??n?1nf(x)dx

?f(n?1)?f(?)??(n,n?1)由f(x)在x?1时连续且单调减小知f(n?1)?f(?)，即un?1?un，{un}单调减小， 又un?f(1)?f(2)???f(n)??f(x)dx

1n?[f(1)??[f(1)???212f(x)dx]?[f(2)?f(1)dx]?[f(2)???32f(x)dx]???[f(n?1)?f(2)dx]???[f(n?1)???nn?1f(x)dx]?f(n)f(n?1)dx]?f(n)

32nn?11?f(n)?0即{un}有下界，故limun存在

n??（16）求f(x,y)?xy在圆周L:(x?1)?y?1?0上的最大值和最小值 解：令F(x,y)?xy??[(x?1)?y?1] ?F?y?2?(x?1)?02222由

?x?F?y解得????x?2?y?0y2x?2??x2y

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所以有y2?x2?x，代入(x?1)2?y2?1?0，得x?32,y??32或x?0,y?0（舍去）

故xy??334?1，所以f(x,y)在圆周上的最大值是334y，最小值是?334

（17）过点??',0?且满足关系式?arcsinx?y??2?y1?x21?x2?1的曲线方程。

解：整理微分方程?arcsinx?y'??1，得到

1?y1?x2 y?'arcsixn??1?xyy2?arcsxin1arcxsin

先解方程y'??1?xarcsinx2

即

dyy??1?xdx2 arcsxin lny??ln(arcxsi?nC )故有y?C(x)arcsinx

C(x)arcsinx'带入原微分方程得到?1arcsinx

得到C(x)?x?c 则微分方程的通解为：y??1x?carcsinx

又因为该曲线过点?1?,0?，即y()?0

2?2?12带入微分方程的通解，可解出c??x?1

故曲线方程为y??2

arcsinxn?1n2（18）求幂级数?n?1x的收敛域及和函数

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解：因为an??2n?1n?2，而milan?1an，且x??1时，级数均发散，所以级数的以收敛域为(?1,1)，

n???n?1n?1n?x?n?n?1nx?1n?n?11nx0x?x(?1dx

nx0??n?1nxn?1dx)???(?0x?1nx)?dx

nn?1?x(1?x)???1?x?x(1?x)2?ln(1?x)，x?(?1,1)

（19）设函数f(x)连续且恒大于零，

??? F(t)??(t)f(x?y?z)dv222??，G(t)?D(t)f(x?y)d?22??D(t)f(x?y)d?22?t，

f(x)dx2?1其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2}，D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.

（1） 讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. （2）证明当t?0时，F(t)?解：（1）因为

2G(t).

? F(t)??2?0d????02?d??f(r)rsin?dr0t220d??t?2?f(r)rdr0t220f(r)rdr2?，

t，

0f(r)rdr2 F?(t)?2tf(t)?f(r)r(t?r)dr0t2t2[?f(r)rdr]022所以在(0,??)上F?(t)?0，故F(t) 在(0,??)内单调增加.

（2） 因

? G(t)???t0tf(r)rdr2，

f(r)dr2G(t)?0，即

20要证明t>0时F(t)?

2?2G(t)，只需证明t>0时，F(t)?t2t22??t0f(r)rdr?f(r)dr?[?f(r)rdr]?0.

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令 g(t)??t022f(r)rdr?f(r)dr?[?f(r)rdr]，

002t22t2t则 g?(t)?f(t)?f(r2)(t?r)2dr?0，故g(t)在(0,??)内单调增加.

0因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,

因此，当t>0时，F(t)??2（20）假设A??0???1Ax?b的通解.

2?G(t).

11a13c?1?2?0?????1???1,b?1,????. 如果?是方程组Ax?b的一个解, 试求????1?1?0?????????1??1????1【解】：将????代入Ax?b, 得到1?a?c?1?0,a?c.

?1?????1??2?0???111a13a21112????0?2??1??0??0???0?11a?1213a?12210?????1? ?0??0i）、 a?c??2??0??1?11121312 ?????2??1??0???0??0?0110130210???0??2??1?0??0????0010?230110????1??1 ?0??211于是 r(A)?r(A)?2, 基础解系所含解向量个数为: 4?r(A)?2. ?2x1?2x3?x4?0 齐次方程: ?,

x?3x?x?034?2T令 x3?1,x4?0,解得x2??3,x1?1, 解向量为: (1,?3,1,0)

T令 x3?0,x4?2,解得x2??2,x1??1, 解向量为: (1,?2,0,2)

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?1??1???1????????1?3?2? 所以通解为: ???k1???k2??1??1??0???????102??????ii)、a?c??2?0???111a13a12

?0?2??1??0??0???0?11a?1213a?12210??1? ?0??0211???????2??0???0010?23?211???1??1??1 ??1??于是 r(A)?r(A)?3, 基础解系所含解向量个数为：4?r(A)?1. ??2x1?2x3?x4?0? 齐次方程: ?x2?3x3?x4?0,

?1?(1?a)x3?(?a)x4?0?2令 x4?2,解得x3??1,x2?1,x1??2, 解向量为: (?2,1,?1,2)T ?1???2??????11? 所以通解为: ???k??1???1?????12?????3?（21）设矩阵A?2???22322??0??2，P?1???3???01000??1，B?P?1A*P，求B?2E的特征值与特?1??征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵. 解： 方法一：

经计算可得

?5? A*??2????2?25?2?2??0???1?2， P?1???5??0?100?1??0， ?1??您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心

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?7? B?P?1A*P=?2????205?20???4. ?3??从而

?9? B?2E??2????207?200???4， ?5??04?(??9)(??3)，

2??9?E?(B?2E)?22??72??5故B?2E的特征值为?1??2?9,?3?3.

当?1??2?9时，解(9E?A)x?0，得线性无关的特征向量为 ??1???2????? ?1?1, ?2?0,

???????0???1??所以属于特征值?1??2?9的所有特征向量为

??1???2??????k11?k20，其中k1,k2是不全为零的任意常数.

???????0???1?? k1?1?k2?2当?3?3时，解(3E?A)x?0，得线性无关的特征向量为

?0??? ?3?1，

????1???0???所以属于特征值?3?3的所有特征向量为k3?3?k31，其中k3?0为任意常数.

????1??方法二：设A的特征值为?，对应特征向量为?，即 A????. 由于A?7?0，所以??0.

又因 A*A?AE，故有 A*??A??.

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于是有 B(P?1?)?P?1A*P(P?1?)?A?(P?)，

?1 (B?2E)P??(?1A??2)P?.

?1因此，

A??2为B?2E的特征值，对应的特征向量为P?.

?1??3由于 ?E?A??2?2?2?2?2?(??1)(??7)，

2??3?2??3故A的特征值为?1??2?1,?3?7.

??1???1?????当?1??2?1时，对应的线性无关特征向量可取为?1?1， ?2?0.

???????0???1???1???当?3?7时，对应的一个特征向量为?3?1.

????1???0??1???0100?1??1???1??0?????????1?1?10，得P?1??1，P?2??1，P?3?1. ??????????1???0???1???1??由 P?1因此，B?2E的三个特征值分别为9，9，3.

对应于特征值9的全部特征向量为

?1???1??????k1?1?k2?1，其中k1,k2是不全为零的任意常数；

???????0???1?? k1P?1?k2P?2?1?1对应于特征值3的全部特征向量

?0????1 k3P?3?k31，其中k3是不为零的任意常数.

????1???1（22）设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为X~??0.3?2??,而Y的概率分布为0.7??f(y),试求随机变量U?X?Y的概率密度g(u)

解：

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P{U?u}?P{X?Y?u}?P{X?Y?uX?1}P{X?1}?P{X?Y?uX?2}P{X?2}?P{Y?u?1X?1}P{X?1}?P{Y?u?2X?2}P{X?2}由于X与Y独立，可知P{Y?u?1X?1}?P{Y?u?1},P{Y?u?2X?2}?P{Y?u?2}则P{X?Y?u}?P{Y?u?1}?0.3?P{Y?u?2}?0.7?0.3F(u?1)?0.7F(u?2)因此FU(u)?0.3F(u?1)?0.7F(u?2),从而g(u)?0.3f(u?1)?0.7f(u?2)

（23）设总体X的概率密度为f(x)???2e?2(x??),若x??，

?0,若x??其中??0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，^??min(X1,X2,...,Xn)，

（1） 求总体X的分布函数F(x)；

（2） 求统计量^?的分布函数F^(x)；

?（3） 如果用^?作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.

解： （1）F(x)??x，F(x)?0；

??f(t)dt，当x??当x??时，F(x)??x?2(t??)?2edt?1?e?2(x??).

^（2）??min(X1,X2,...,Xn)，所以

F????(x)?P??x??P?min(X1,X2,...,Xn)?x??1?P?min(X1,X2,...,Xn)?x??1?P?X1?x,X2?x,?,Xn?x??1?P?X1?x?P?X2?x??P?Xn?x?

?1??1?F(x)?n?1??0, x???n?n?1??1???1, x?????????1?e?2(x??), x????????e?2(x??), x??????1??1, x???0, x????e?2n(x??), x?????1?e?2n(x??), x??您所下载的资料来源于kaoyan.com考研资料下载中心

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记

?0, x??'?（3）?的概率密度为f??(x)?F??(x)??，所以 ?2n(x??)2ne, x?????E??????xf??(x)dx????0x2ne?2n(x??)dx???12n???，即??不是?的无偏估计. ，可见E?

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