《微分几何》答案1B

课程考核

参考答案及评分标准

考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1 试卷类型：B 考试时间：2006-12- 适用专业：民族学院数学与应用数学专业2004级1班 层次：本科

一、选择题（每小题2分共10分） 1 (A)；2 (C)；3 (B)；4 (D)；5 (C)。

二、填空题（每小题2分共10分）

1、已知r=(2x?2,2x?2,3x),0

2、已知曲面r=(ucosv, usinv,6v),u>0, 0≤v<π/2, 则它的高斯曲率K= ?36/(u2+36)2 ；

3、Γ：r=(acost, asint, et)的切向量是 (?asint, acost, et) ；

4、曲面上切向du:dv是主方向的条件，用dn与dr的关系表示为，沿方向du:dv成立 dn=λdr ； 5、极小曲面的中曲率为 0 。

三、判断题（每小题2分共10分） 1 (?)；2 (╳)；3 (╳)；4 (?)；5 (?)。

四、计算题（每小题5分共40分）

1、计算z=xy上的曲率线方程；

(提示：曲率线的方程为： dv2 ?dudv du2 )

E F G =0 L M N

解：r=(x,y,xy), rx=(1,0, y), ry=(0,1,x), rxx=(0,0,0), ryy=(0,0,0), rxy=(0,0,1), E=1+y2 , F=xy, G=1+x2 , L=0, M=1, N=0;

曲率线的方程为： dy2 ?dxdy dx2

1+y2 xy 1+x2 =0, 即 (1+x2)dy2= (1+y2) dx2 , 即 dy2 / (1+y2) =dx2 /(1+x2) , 0 1 0

(2分)

解得 y+?(1+y2)= c(x+?(1+x2))±1 , c为常数； (3分)

2、计算半径为a球面上半径为b的圆的测地曲率, (0

3、已知曲面的第一基本形式为I=v(du2+dv2), v>0，求u-线的坐标曲线的测地曲率； （提示：利用公式kgu=?(lnE)v/2?G）

解：kgu=?(lnE)v/2?G=?(lnv)v/2?v = ?1/2v3/2；

4、求曲线Γ：r=(at2, at3, et)在t=0的切线方向上的一个非零矢量； 解：r'=(2at, 3at, e)，r'(0)= (0, 0, 1)；

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 民族学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字）

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涪陵师范学院课程考核参考答案及评分标准 微分几何 2006-2007-1

5、求曲面族Γα：xcosα+ysinα?zsinα=1的包络面方程；

解：Γα的包络面方程为xcosα+ysinα?zsinα=1，且?xsinα+ycosα ?zcosα=0, (2分) 即x+(y?z)=1；(3分)

6、求曲线Γ：x=cost,y=sint, z=t的曲率；

解：r'=(?sint,cost,1); ds/dt=?2; r''=(?cost, ?sint,0)=β; k=|dβ/ds|=| dβ/dt|/?2=1/?2;

7、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的第一基本量；

解：ru=(cosv,sinv,0), rv=( ?usinv,ucosv,1), E=1,F=0,G=1+u2 ；

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8、设曲面?的I=u(du+dv), u,v>0, 试计算?的Gauss曲率K。(提示：K= ? (((√G)u/√E)u+((√E)v/√G)v )/ √EG) 解：K= ? (((√G)u/√E)u+((√E)v/√G)v )/ √EG= ? ((√G)u/√E)u/ √EG = ? ((√G)u/√E)u/u=1/u。

五、证明题（每小题6分共30分）

1、证明曲面?：r=(a(u+v),b(u?v),cuv), abc≠0, 不可展； 证明：?是直纹面：r=(au,bu,0)+ (a, ?b,cu)v, 由于 a b 0

a ?b cu = ?2abc≠0 , 故曲面?不可展； 0 0 c

2、证明曲面?：r={φ(t)cosθ, φ(t)sinθ, φ(t)}的参数网是正交网；

证明：rt=(φ' (t)cosθ, φ' (t)sinθ, φ' (t)), rθ=(?φ(t)sinθ, φ(t)cosθ, 0) , F=0, 故命题成立；

3、证明挠率=0的曲线是平面曲线；

证明：设曲线r=r(s)取弧长参数，其挠率τ=0，由Frenet公式得dγ/ds=0， 于是γ=γ0为常矢量，α·γ0=0， (r-r0)·γ0=0，故该曲线是平面曲线；

4、证明球面?：r=(acosucosv, acosusinv ,asinu)上曲线的测地曲率kg=dθ/ds-sinudv/ds, 其中θ表示曲线与经线，即u?线的夹角的； （提示：kg=dθ/ds+?E·kgu du/ds+?G·kgv dv/ds, kgu=?(lnE)v/2?G, kgv=(lnG)u/2?E）

证明： ru=( ?asinucosv, ?asinusinv ,acosu), rv=(?acosusinv, acosucosv ,0), E=a , F=0, G= acosu , (2分) 故 kg=dθ/ds+?G·(lnG)u/2?E·dv/ds = dθ/ds?sinu·dv/ds ； (3分)

5、求证旋转面?：r={φ(t)cosθ, φ(t)sinθ, φ(t)}的子午线是测地线。（提示：利用公式kgu=?(lnE)v/2?G） 证明：rt=(φ'(t)cosθ, φ'(t)sinθ, φ'(t)), rθ=(?φ(t)sinθ, φ(t)cosθ, 0), F=0, E=2φ'(t)2 , G=φ(t)2， (2分) 子午线的测地曲率 kgt=?(lnE)θ/2?G = 0，命题得证。(3分)

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