工业系统工程层次分析

工业系统工程重点部分课件

层次分析法建模

Analytic Hierarchy Process ( AHP )T.L.saaty

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一 问题的提出 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的

标准选择某一种方案。例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价

格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因

素选择某种饭菜。

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例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷 人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般

会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。 例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业 等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资

待遇、发展前途、住房条件等因素择业。

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例4 科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课

题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用

数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。

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层次分析法(Analytic Hierarchy Process, AHP)是一种定性和定量相结合的、系统化的、层 次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法 两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后 者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。

近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。

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层次分析法的基本思路：

选择钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 质量、颜色、价格、外形、实用进行排序

将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔

与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。

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二 层次分析法的基本步骤1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层(指标层)。买钢笔

目标层

质 量

颜 色

价 格

外 形

实 用

准则层

可供选择的笔

方案层

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例2 层次结构模型

选择旅游地

目标层Z

景色

费用

居住

饮食

旅途

准则层A

苏 州

杭

州

桂 林

方案层B

若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。

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2 构造成对比较矩阵设某层有n个因素，X x1 , x2 , , xn ,要比较它们对上一层某 一准则(或目标)的影响程度，确定在该层中相对于某一 准则所占的比重。(即把n个因素对上层某一目标的影响 程度排序)

上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。 用aij表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，则

1 aij a ji

A aij n n

a11 a 21 a n1

a12 a22 an 2

a1n a2 n ann

A则称为成对比较矩阵。

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比较尺度：(1~9尺度的含义) 尺度 3 5 7 9 含义 第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明显强 第i个因素比第j个因素的影响绝对地强

1 第i个因素与第j个因素的影响相同

2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述 两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义， 根据 aij

1 。 a ji

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由上述定义知，成对比较矩阵 A a ij 满足以下性质

n n

1 aij 0

则称为正互反阵。 的影响两两比较结果如下： Z A1 1 A2 1/2 A3 4

1 2 aij a ji

3 aii 1

比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z A4 3 A5 3

A1 , A2 , A3 , A4 , A5分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。

A1A2 A3

2

1

71 2 3

5

5

1/4 1/7 1/3 1/5 1/3 1/5

1/2 1/3 1 1 1 1

A4A5

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由上表，可得成对比较矩阵

1 2 1 A 4 13 1 3

1

2 1 1 7 1 5 1 5

4 7 1 2 3

3 5 1 2 1 1

3 5 1 3 1 1

旅游问题的成对比较矩阵共有6个(一个5阶，5个3阶)。 问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？

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3 层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。 例如:一块石头重量记为1,打碎分成n小块，各块的重量分别 记为： w1 w1 w1 , w 2 , , w n 1 w2 wn w w2 2 1 则可得成对比较矩阵 A w1 wn wn wn 由右面矩阵可以看出， 1 w 1 w2

wi wi wk wj wk w j

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即， a ik a kj a ij

i, j 1,2, , na23 a21 a13

a 但在例2的成对比较矩阵中， 23 7, a 21 2, a13 4在正互反矩阵A中，若aik·kj=aij,则称A为一致阵。 a 一致阵的性质：1 1. aij , aii 1, i, j 1,2, , n a ji3. A的各行成比例，则rank A 12. AT 也是一致阵

4. A的最大特征根(值)为λ n, 其余n-1个 特征根均等于0。 5. A的任一列(行)都是对应于特征根n的特征向量。

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若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根n的归一化特征向量{w1,w2, … ,wn},且 wi 1i 1 n

wi表示下层第i个因素对上层某因素影响程度的权值。 若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最

大 特征根对应的归一化特征向量作为权向量W,则

Aw w

w w1, w2 , , wn

这样确定权向量的方法称为特征根法. 定理：n阶互反阵A的最大特征根 n ,当且仅 当

时，A为一致阵。 n

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由于 连续的依赖于aij ,则 比 n大得越多，A的不一致性越 严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层 某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断 误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量A的不一致程度。 n

定义一致性指标

CI

nn 1

其中n为A的对角线元素之和，也为A的特征根之和。

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定义随机一致性指标 RI

随机构造500个成对比较矩阵则可得一致性指标

A1, A2 , , A500

CI1, CI 2 , , CI500

CI1 CI 2 CI 500 RI 500

1 2 500500 n 1

n

随机一致性指标 RI 的数值：n RI 1 2 0 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 11 1.51

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CI 一般，当一致性比率 CR 0.1 时，认为A RI 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对A加以 调整。一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1

及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。

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4 层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，

称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行。设：

ZA1 B1A2B2

A层m个因素A1, A2 , , Am ,对总目标Z的排序为

Am

a1, a2 , , amB层n个因素对上层 中因素为 j A A的层次单排序为

Bn

b1 j , b2 j , , bnj

( j 1,2, , m)

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B层的层次总排序为： B : a b a b a b 1 1 11 2 12 m 1m 即B层第i个因素对总 B : a b a b a b 2 1 21 2 22 m 2m 目标的权值为：

a bj 1 j

m

ij

Bn : a1bn1 a2bn 2 ambnmB层的层次 总排序

A B

A , A2 , , Am 1

a1 , a2 , , am

B1 B2 Bn

b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2

b1m b2 m bnm

a bj 1 m j 1 m j

m

j 1j

b1 b2 bn

a b a bj 1 j

2j

nj

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层次总排序的一致性检验设B层B1,B2,…,Bn对上层(A层)中因素Aj(j=1,2,3…,m) 的层次单排序一致性指标为CIj,随机一致性指为RIj, 则层次总排序的一致性比率为：

a1CI1 a2CI 2 amCI m CR a1 RI1 a2 RI2 am RIm当CR< 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到此， 根据最下层(决策层)的层次总排序做出最后决策。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4x61.html