03 第三节 随机变量的分布函数

第三节 随机变量的分布函数

当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.

内容分布图示

★ 随机变量的分布函数

★ 例1 ★ 例2

★ 离散型随机变量的分布函数

★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 课堂练习

★ 习题2-3

内容要点：

一. 随机变量的分布函数

定义 设X是一个随机变量, 称

F(x)?P(X?x)为X的分布函数.有时记作X~F(x)或FX(x).

分布函数的性质

1. 单调非减. 若x1?x2, 则F(x1)?F(x2)； 2. F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1;

x???x???(???x???)

3. 右连续性. 即limF(x)?F(x0).

?x?x0 二、离散型随机变量的分布函数

设离散型随机变量X的概率分布为

Xx1x2?xn?

pip1p2?pn?则X的分布函数为

F(x)?P(X?x)??P(X?xi)??pi.

xi?xxi?x

例题选讲：

随机变量的分布函数

例1（讲义例1）等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点, 记X为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X的分布函数.

解 当x?a时, {X?x}是不可能事件, 于是, F(x)?P{X?x}?0.

当a?x?b时, 由于{X?x}?{a?X?x}, 且[a,x]?[a,b], 由几何概率得知,

x?a. b?a当x?b时, 由于{X?x}?{a?X?b}, 于是 F(x)?P{X?x}?P{a?X?x}?F(x)?P{X?x}?P{a?X?b}?b?a?1. b?ax?a?0,?x?a综上可得X的分布函数为F(x)??,a?x?b.

?b?ax?b?1,

例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?

?0,x??2,?(1)F(x)??1/2,?2?x?0,?1,x?0;??0,x?0,?(2)F(x)??sinx,0?x??,?1,x??;??0,x?0,?(3)F(x)??x?1/2,0?x?1/2,?1,x?1/2.?

解 (1)由题设, F(x)在(??,??)上单调不减, 右连续, 并有

F(??)?limF(x)?0, F(??)?limF(x)?1,

x???x???所以F(x)是某一随机变量X的分布函数.

(2)因F(x)在(?/2,?)上单调下降, 所以F(x)不可能是分布函数. (3)因为F(x)在(??,??)上单调不减, 右连续, 且有 F(??)?limF(x)?0, F(??)?limF(x)?1,

x???x???所以F(x)是某一随机变量X的分布函数.

离散型随机变量的分布函数

例3（讲义例2）设随机变量X的分布律为 解 F(x)?P{X?x}

当x?0时，{X?x}??,故F(x)?0 当0?x?1时，F(x)?P{X?x}?P{X?0}?当1?x?2时, F(x)?P{X?0}?P{X?1}?X012pi1/31/61/2, 求F(x).

1 3111?? 362当x?2时，F(x)?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?1

x?0?0,?1/3,0?x?1?, 故F(x)??1/2,1?x?2??x?2?1,F(x)的图形是阶梯状的图形, 在x?0,1,2处有跳跃, 其跃度分别等于

P{X?0},P{X?1},P{X?2}.

例4 X具有离散均匀分布, 即

P(X?xi)?1/n,i?1,2,?,n,

求X的分布函数.

解

将X所取的n个值按从小到大的顺序排列为x(1)?x(2)???x(n)

则x?x(1)时，F(x)?P{X?x}?0,

x(1)?x?x(2)时，F(x)?P{X?x}?1/n, x(2)?x?x(3)时，F(x)?P{X?x}?2/n, ……

x(k)?x?x(k?1)时，F(x)?P{X?x}?k/n, x?x(n)时，F(x)?P{X?x}?1

当x?minx(?0,1,?,xn)??k/n,当x?minx(1,?,xn)且xj(j?故 F(x)?.

1,2,?,n)中恰好有k个不大于x??当x?maxx(1,?,xn)?1,

例5（讲义例3）设随机变量X的分布函数为

x?1,?0,?9/19,1?x?2,?F(x)??

15/19,2?x?3,??x?3.?1,求X的概率分布.

解 由于F(x)是一个阶梯型函数, 故知X是一个离散型随机变量, F(x)的跳跃点分别为1, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图.

故X的概率分布为 X123.

pi9/196/194/19

课堂练习

设随机变量X的概率分布为

X?124 ,

pi1/41/21/4求X的的分布函数，并求

P?X?1/2?, P?3/2?X?5/2?, P?2?X?3?.

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