2012年数学一轮复习精品试题第47讲 直线、平面垂直的判定及其性质

第四十七讲 直线、平面垂直的判定及其性质

班级 姓名 考号 日期 得分

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线

( )

A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直

解析：这支铅笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，则C排除；若与地面平行则B排除；若与地面相交，则A排除，选D.

答案：D

2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )

A.若m β，α⊥β，则m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

解析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直，故A为假命题；以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题；若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ或β∥γ，故D为假命题；若m∥α，则α中必存在直线l与m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故选C. 答案：C

3.(改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC( )

A.是非等腰的直角三角形

B.是等腰直角三角形

C.是等边三角形

D.不是A、B、C所述的三角形

解析：设O是点P在平面ABC内的射影，因为P到△ABC各顶点的距离相等，所以O是三角形的外心，又P到△ABC各边的距离也相等，所以O是三角形的内心，故△ABC是等边三角形，选C.

答案：C

4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则BD与平面ABC所成角的正切值为 ( ) 2 23 C.1 D. 23

解析：如图，在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.

连接BE，因为二面角B—AD—C为直二面角，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC. 由以上可知，AC⊥平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝

答案：B

5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ACB所在平面，那么(

) 2B. 2

A.PA＝PB>PC

B.PA＝PB<PC D.PA≠PB≠PC C.PA＝PB＝PC

解析：∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.选C.

答案：C

6.(2010·郑州质检)在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为(

)

11223 C. D.3232

解析：在原图中连接AC与BD交于O点，则AC⊥BD，在折起后的图中，由四边形

ABCD为菱形且边长为1，则DO＝OBAC－D的平面角，由BD＝1 3，由于DO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－2

33＋－144OD＋OB－DB1得cos∠DOB＝＝＝，故选A. 2OD·OB33322222

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)

7.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为 .

解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接

EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，

∴GH⊥平面ABCD，

∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，

故点P的轨迹是△EFG，

26.

26

8.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A

1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝ 时，CF⊥平面B1DF.

解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.

要使CF⊥平面B1DF，

只需CF⊥DF即可.

令CF⊥DF，设AF＝x，

则A1F＝3a－x.

由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得

即2axa 3a－xACAF A1FA1D

整理得x2－3ax＋2a2＝0，

解得x＝a或x＝2a.

答案：a或2a

9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .

解析：由题意构作四个命题：

(1)①②③ ④；(2)①②④ ③；(3)①③④ ②；(4)②③④ ①.

易判断(3)、(4)为真，应填m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n(或m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β). 答案：①③④ ②；②③④ ①

评析：本题为条件和结论同时开放的新颖试题.

10.(2010·东城目标检测)过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则cosθ的值是 .

解析：本题考查二面角的求法.

设侧面与底面所成的角为θ，如图，

O为中心，∴θ＝∠SPB，又△SPB为等腰三角形，有两种情况：

OP11(1)SP＝PB，∴OP＝ cosθ＝SP＝ 33

(2)SB＝PB，则SPSC－PCSB－PC ＝PB－PC＝ (312)2－)2＝， 222

又BP＝3， 2

OP16OP＝BP，∴cosθ＝， SP63

16综上可得：cosθ的值是. 36

答案：或 36

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤.)

11.如图(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，如图(2)，将△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱

BC

的中点.

(1)求证：AE⊥BD；

(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；

(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.

分析：由条件可知△ABE为正三角形，要证AE⊥BD，可证明AE垂直于BD所在的平面BDM，即证AE⊥平面BDM；可用判定定理证明平面PEF⊥平面AECD；对于第(3)问可采用反证法证明.

解： (1)证明：取AE中点M，连接BM，DM.

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点， △ABE与△ADE都是等边三角形.

∴BM⊥AE，DM⊥

AE.

∵BM∩DM＝M，BM，DM 平面BDM.

∴AE⊥平面BDM.

∵BD 平面BDM，∴AE⊥BD.

(2)证明：连接CM，EF交于点N，连接PN，如图.

∵ME∥FC，且ME＝FC，

∴四边形MECF是平行四边形.

∴N是线段CM的中点.

∵P是线段BC的中点，∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.

又∵PN 平面PEF，

∴平面PEF⊥平面AECD.

(3)DE与平面ABC不垂直，

证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，

∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.

∵AB∩BM＝B，AB，BM 平面ABE，

∴DE⊥平面ABE.

∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾.

∴DE与平面ABC不垂直.

评析：翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些不变，哪些变化，这是至关重要的.

12.如图所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB

AEAF＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AC＝AD＝λ(0<λ

<1).

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，

∴CD⊥平面ABC.

又AEAF＝λ(0<λ<1)， ACAD

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，

∴EF⊥平面ABC，又∵EF 平面BEF，

∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.

(2)由(1)知，BE⊥EF，

又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC，

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

∴BD2，AB2tan60°6，

∴ACAB＋BC7，

由AB2＝AE·AC得AEAE6∴λ＝AC， 7

6故当λBEF⊥平面ACD. 7

13.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD

的中点，EP⊥平面ABCD. 6， 7

(1)求证：DP⊥平面EPC；

FP(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出. AP

解：(1)证明：∵EP⊥平面ABCD，

∴EP⊥DP，

又ABCD为矩形，AB＝2BC，

P、Q为AB、CD中点，

1∴PQ⊥DC且PQ＝DC， 2

∴DP⊥PC，

∵EP∩PC＝P，

∴DP⊥平面EPC.

(2)如图，假设存在F使平面AFD⊥平面BFC， ∵AD∥BC，AD 平面BFC，

BC 平面BFC，

∴AD∥平面BFC，

∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.

∵EP⊥平面ABCD，

∴EP⊥AD，而AD⊥AB，AB∩EP＝P，

∴AD⊥平面EAB，

∴l⊥平面FAB，

∴∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角， ∵P是AB的中点，且FP⊥AB，

∴当∠AFB＝90°时，FP＝AP，

∴当FP＝AP，即

FP＝1时，平面AFD⊥平面BFC. AP

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