§3 柯西积分公式及其推广

第三章 复变函数的积分(II)

§3-3 柯西公式【教材P36-42】

(一) 单连通区域中的柯西公式

柯西公式： 设复变函数f?z?在闭单连通区域D（?D?l）中解析(l是区域

D的边界线)， 则f?z?在区域D内任一点? ???D?的值可由沿边界线的积

分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）: f?????2?i?1f?z?lz??dz，

??f?z?lz??dz?2?if(?)，

柯西公式说明： 解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定。这是解析函数的重要性质之一。

证明： 对于任意固定的??D，由前面的例子知:

两边乘以f???，得: 因此只要证明: ??l??2?if11z???1ldz?1 f????????2?i???f?z?z??lz??dz,

f?z??fz???0，即得:

??ldz???f???lz??dz?2?if???，

这就证得柯西积分公式。

22

f?z??f???作为z的函数在D内除z??点外均解析。以z??为圆心，很小

z??的?为半径，作圆周c?。由复连通区域的柯西定理，得:

??f?z??f???lz??dz???f?z??f???cz??dz，

?上式表明右边的积分是与c?的半径?无关的，所以:

??f?z??f???cz??dz?limf?z??f??????0??cz??dz

?而 ??f?z??f????z??f???f?z??f???c?cz??dz?maxfz??2???max?c?z??2??

c? maxf??z??f???c??2???2?maxf?z??f???c

?当??0时，c???（z??），由于f?z?是连续的，则:

lim??0maxf?z??f???c?0??lim?z??f?????0??fcdz?lim?2??0maxf?z??f????z??c?0，

??limfz??f???z??dz?0?limf??f?????。?0??c??0???zc?z??dz?0从而 ??f?z??f???lz??dz?lim??0??f?z??f???cz??dz?0。

????fz?lz??dz???f???lz??dz?f?????dzlz???2?if???，

f????1f?z?2?i??lz??dz。

23

，

例1：利用柯西公式证明:

??dzz?al?2?i，l为以z?a为圆心，?为半径

的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。 证明：设f(z)?1, 则??

例2：设l代表圆周x2dzz?al???f(z)z?aldz?2?if(a)?2?i

?y?32?z?3?，计算积分??l3?2?7??1??zd?。（z为圆周

内的任意点，z?????解： 由柯西积分公式： ??fl3 ）

??????z2d??2?if?z? ， 得：

??3??7??12l??zd??2?i?3z?7z?1?, (当 z?????3 时 ) ?

例3： 计算 ??z?4sinzzdz (沿圆周正向)

dz?2?if解： 由柯西公式??lf?z?z?a?a?, 得:

??

sinzz?4z?0dz ?2?i sinzz?0?0

例4: 计算

?zz???z?4?z?1z?3?dz???2 (沿圆周正向)

dz?2?if?a?, 得：

zz?4解： 由柯西积分公式

2??f?z?z?al?zz???z?4?z?1z?3?dz ??????z?1dz???zz?42z?3dz

2?2?i?(?1)?2?i?(3)?16?i.

24

例5: 设F?z??z?6z?42，证明积分??cF?z?dz

y?1时，等于02a. 当c是圆周x2?；

；

b. 当c是圆周?x?2?2?y2c. 当c是圆周?x?2?2?y2证明：F?z??z?6z?42?1时，等于4?i?1时，等于?2?i。

?z?6?z?2??z?2?2的奇点为z1?2及z2及z2??2??2。

a. 当c是圆周x2?y?1时，z1?2均在圆外，F?z?在圆内

解析。由柯西定理: ??c?z?2??z?2??dz?0。 b. 当c是圆周?x?2?得: ??cz?62z?6?y?1时，仅z1?22在圆内。由柯西积分公式

。

?z?2??z?2?2?dz?2?iz?6z?2z?2?2?i?2?4?ic. 当c是圆周?x?2?得：??cz?6?y?1时，仅z2??22在圆内。由柯西积分公式

?z?2??z?2??dz?2?iz?6z?2z??2?2?i???1???2?i。

25

(二) 复连通区域中的柯西公式

__

设函数f?z?在闭复连通区域D中解析，D的边界由外边界线C0和内边界线，，Cn组成。 则函数fC1，C2，

?z?在闭复连通区域D内任意一点?的函数值

_可以用它在边界上的值表示出来：

f????12?i??f?z?lz??dz ， ?z?D?

说明：在上述积分公式中积分路径包括复连通区域的全部边界，

l?C0?C1?C2?....?Cn???，全部积分均沿所有边界线的正方向进行。 （对

外边界线，其正方向为沿逆时钟方向； 对内边界线，其正方向为沿顺时钟方向，用Ln等表示.）

f??????11??2?i?ffC01f?z?lz??dz?dz?dz?2?i??2?i??z??z?z??z???2?i??2?i?11ff?z??z??C1z??z??dz?.......?dz?.......??2?i??2?i?11ff?z??z??Cnz??z??dzdzC0?C1?Cn

26

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4wjt.html