高一数学期末复习提纲

仁寿中学高2017届上学期期末复习专题一

仁寿中学高一数学组

知识点一：集合

考点1：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性 例1 已知集合A??x|ax2?3x?2?0?

（1）若A是单元素集合，求集合A ； （2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围.

考点2：集合的表示方法：自然语言法、例举法、描述法

例1 下列各集合是用描述法表示的，请读懂各集合中的元素，并用列举法表示下列集合：

(1)?x|(2x?1)(x?2)(x2?1)?0,x?Z? (2)?不大于10的非负偶?数 (3)????x,y?|??2x?y?8??x?y?1??(3)A???x|x?a?b,a,b为非零实数??6?Z,??ab? (5)B?x?N*???x|3?x??

考点3 子集、真子集、非空真子集

例1 （判断关系） 判断下列两个集合之间的关系

1

（1）A??1,2,4?,B??x|x是8的约数? （2）A??x|x?3k,k?N?,B??x|x?6z,z?N?

（3）A??x?N?|x是4与10的公倍数?，B??x|x?20m,m?N??

例2（子集、真子集个数） （1）已知集合A??1,2?，集合B满足A?B??1,2?，则集合B有 个. （2）已知??1??A??1,2,3?，求满足条件的所有的集合A有 个.

例3（方程子集的问题）注：考虑空集

若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．

例4（不等式子集问题）注：考虑空集

集合A??x|x2?3x?1?0?若B?A,B??x|m?1?x?2m?1,m为常数?，求实数m的取值范围

考点四：集合的交集、并集、补集

例1 （venn图 ）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

例2（venn图 ）

设全集U??1,2,3,4,5,6,7,8,9?,CU(A?B)??1,3?,A?(CUB)??2,4?，求集合B

例3（画数轴）已知集合A??x|x?a?,B??x|1?x?2?,A?(CRB)?R，实数a的取值范围 例4（有关方程与集合）注：A?B?B?B?A;A?B?B?A?B;A?B?A?B?A?B

设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．

知识点二：函数的概念 考点1：函数概念的理解

例1 （函数的概念与图像关系） 设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( )

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②

例2 （同一函数） 在下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)①y＝1，y＝x

x；②y＝x－1x＋1，y＝x2－1；③y＝x，y＝5x5；④y＝|x|，y＝(x)2

. 例3 （求定义域）

（1）求下列函数的定义域：f(x)?x2?5x?6?(x?1)0x?x的定义域 ．

（2）已知函数f(x)的定义域是(1,2)，求函数F(x)?f(3x?1)?f(3x?1)的定义域 ．（3）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域 .

例4（求值域）(1)y??x?4x?2，x?[0,3)；（2）y?x22x2?1(x?R)；（3）y?x?2x?1．

例5（映射的概念）集合A??a,b,c?,B??0,1?，试问：从A到B的映射共有几个？并将它们分别表示出来。

2

知识点三 函数的表示方法 例1 （求解析式）

（1）复合函数的解析式 已知f(4x?3)?x2,x??1,2?,那么f(x)?

（2）有关对称的解析式 已知f(x)?x2,g(x)的图像与f(x)图像关于x?2对称，g(x)? 如果g(x)的图像与f(x)图像关于(2,0)对称g(x)?

（3）用奇偶性求解析式 已知f(x)是R上的偶函数，且x?0,f(x)?x2?2x，f(x)解析式 （4）有关周期函数的解析式

定义在R上的函数f(x)，满足f(x?4)?f(x)且f(x)?x2,x???2,2?,那么f(x)? （5）有关函数方程求解析式

Ⅰ.已知f(x)?2f(1x)?2x，那么f(x)? Ⅱ.已知f(x)?2f(?x)?2x2，那么f(x)?

Ⅲ.f(x)是R上的函数，满足f(0)＝1，对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，f(x)的解析

式 ．

（6）已知函数模型求解析式

二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根的平方和为10，图象过(0,3)点，f(x)的解析式 ．

?x?1,x?0例2（分段函数） 已知函数f(x)???1x)?2，则x? ?,x?0，若f(?x例3（二次函数根的分布）对于关于x的方程x2?(2m?1)x?4?2m?0，求满足下列条件的m的取值范围：

（1）两个正根； . ????,?5??（2）有两个负根； . ??3,2???2??2?

（3）两个根都小于?1； . ?（4）两个根都大于

12； . ?????,?5?2?? （5）一个根大于2，一个根小于2 ； . ???,?3?（6）两个根都在?0,2?内； . ?

（7）两个根有且仅有一个在?0,2?内 ； . ???,?3??2,???

（8）一个根在??2,0?内，另一个根在?1,3?； . ? （9）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； . ? （10）一个根小于2，一个根大于4. . ???7,?5???22? 例4（抽象函数）

（1）、已知函数f(x)对任意实数x，y，均有f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，f(x)?0，

f(?1)??2，求f(x)在区间[－2，1]上的值域。

（2）．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n，总有f(m?n)?f(m)?f(n)，且当x?0时，0?f(x)?1．（1）试求f(0)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明你的结论；

（3）、已知函数f(x)满足定义域在(0,??)上的函数，对于任意的x,y?(0,??)，都有

f(xy)?f(x)?f(y)，当且仅当x?1时，f(x)?0成立，设x1,x2?(0,??)，若f(x1)?f(x2)，试比较x1与x2的大小；

（4）定义在?-?,0???0,+??上的函数f(x)对任何x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1.

（1）判断f(x)的奇偶性 （2）判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.

仁寿中学高2017届上学期期末复习专题二

3

知识点一：函数的单调性与最值（值域）

例1 （二次函数定区间的单调性——找对称轴与区间的位置关系）

若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) A. a<－3 B．a≤－3 C．a>－3 D．a≥－3

例2 （复合函数单调性——找外层函数与内层函数单调性“同增异减”）注意定义域 函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( ) （3）(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) 例3（分段函数单调性——分段讨论，并找分界点处的性质）

（1）已知函数f(x)＝???x2＋4x，x≥0，

?

若f(2－a2?

4x－x2

，x＜0.)＞f(a)，则实数a的取值范围是( ) （2）(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

（2）函数f(x)＝???ax2＋1，x≥0

??

?a2－1?eax

，x<0

在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是________．

例4（不同类型函数单调性）

1给定函数①y＝x2；②y＝log＋

1x；③y＝|x－1|；④y＝2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的

2序号是( )

（4）①② B．②③ C．③④ D．①④ 例5（数形结合寻找单调性）

函数f(x)＝－x2＋|x|的递减区间是___ _____． 例6（利用单调性解不等式）

已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|1

x

|)

A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 例7（函数单调性定义的变形）

函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( ) A.．

f?x1?－f?x2?x>0 B．(xxx1－x2

1－x21－2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)

>0

例6（定义证明函数的单调性）注意定义域 讨论函数f(x)?axx2?1在??1,1?的单调性，其中a为非零常数

例7（抽象函数的单调性）

函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.

例8 函数的最值（值域）

（1）指数函数与二次函数的复合 求函数y?(1)x?(1)x42?1在x???3,2?上的值

域 ．

（2）对数函数与二次函数的复合求函数 y?12log21x+log1x?5在区间?2,8?上的最大值 ，22最小值

(3)换元法求最值函数y＝x＋2x－1( )

A．有最小值111

2，无最大值 B．有最大值2，无最小值 C．有最小值2，最大值2 D．无最大值，

也无最小值

(4)含绝对值的函数的最值（零点分段或数形结合） 函数y＝|x－3|－|x＋1|的( ) A．最小值是0，最大值是4 B．最小值是－4，最大值是0 C．最小值是－4，最大值是4 D．没有最大值也没有最小值

（5）告诉最值找区间函数 f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是( )

A．[2，＋∞) B．[2,4] C．(－∞，2] D．[0,2]

（6）图像法求最值已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)

A．有最大值3，最小值－1 B．有最大值3，无最小值 C．有最大值7－27，无最小值 D．无最大值，也无最小值 知识点二：函数的奇偶性（注意定义域）

例1（判断奇偶性）．（1）下列函数中，有奇偶性的函数是

①y＝ex－e－

x ②y＝lg1＋x1－x

③y＝cos2x ④y＝sinx＋cosx ⑤y?log2(x?1?x2) x?xx?x2⑥y?e?eex?e?x ⑦y?e?eex?e?x ⑧y?log22(sinx?1?sinx) ⑨y?1?x2?x?x?2 （2）设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )

A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数

例2（多项式的奇偶性）

设f(x)＝ax5＋bx3＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2011)＝－17，则f(2011)＝________.

4

例3（利用奇偶性求值）设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，

则f(－1)＝

A．3 B．1 C．－1 D．－3

例4（利用奇偶性求范围）设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( ) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 例5（利用奇偶性找对称）函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象关于________点对称．

例6（利用奇偶性判断大小——判断到对称中心或对称轴的距离大小）12．定义在(－∞，＋∞)上

的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(51

2

)的大小关

系是__________．

例7（利用奇偶性求解析式）f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．

（利用奇偶性求参数）已知定义域为R的函数f(x)＝－2x例8＋b

2x＋1＋a

是奇函数，求a= ，b= 的值；

知识点三——函数的零点与函数模型

例1．（方程根与函数零点关系）如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( )

A．(－2,6) B．[－2,6] C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)

D．{－2,6}

例2（零点存在定理）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是

A. 若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

例3（分段函数的零点）函数f(x)＝???x2

＋2x－3， x≤0，

??

－2＋ln x， x>0

零点的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

?例4（图像法找参数值）已知函数f(x)＝?2?x， x≥2，

若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的

???x－1?3， x<2.

实根，则实数k的取值范围是________．

例5（二分法）对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 010)<0，f(2 011)<0，f(2 012)>0，

则下列叙述正确的是( )

A．函数f(x)在(2 010,2 011)内不存在零点 B．函数f(x)在(2 011,2 012)内不存在零点 C．函数f(x)在(2 011,2 012)内存在零点，并且仅有一个 D．函数f(x)在(2 010,2 011)内可能存在零点

例6（二分法求零点）若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数

据如下表：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的最接近一个近似根为( )

f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 A．1.2

B．1.3 C．1.4 D．1.5 例8（利用零点存在定理及函数单调性求零点个数及二分法求零点）证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)

例9（利用零点存在定理解综合题）已知a,b,c 满足

a3?b2?c?0，f(x)?ax2?bx?c. （1）如果a?0，证明af(12)?0；（2）如果a?0，试判别方程f(x)?0在(0,1)内是否有解，并说明理由；

（3）如果a?0，方程f(x)?0在(0,1)必有解，试证明之。

5

例10 函数模型 据气象中心观察和观测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当t＝4时，求s的值；

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

知识点四：函数图像（平移，翻折，伸缩） 例1.已知函数f(x)?ax?1x?2在区间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____ 例2. 不等式f(x)?ax2?x?c?0的解集为{x|?2?x?1}, 则函数y?f(?x)的图象为

例3. 关于x的方程

x2?4x?5?m?0，（1）m为何值时，

方程有两个不同的实根？

（2）m为何值时，方程有三个不同的实根？

1、指数运算性质例4. 直线y?1与曲线y?x2?x?a有四个交点，则a的取值范围是 am?an?am?n例5.设函数f(x)?|lgx|，若0?a?b，且f(a)?f(b)，证明：ab?1 amm?n ?a an

例6、对于任意x?R，函数f?x?表示?x?3，31?mnmn2?a???a2x?2，x?4x?3中的较大者，则??f?x?的最小值是________________

仁寿中学高2017届上学期期末复习专题三

一、知识架构 1、知识网络

2、指对关系：

3、指、对数运算公式： ax?N?x?logaN(a?0,且a?1) 2、对数运算性质 如果a?0,且a?1,M?0.N?0,那么 （

1）loga(M?N)?logaM?logaN (2)logMa?logaM?logaN N

(3)lognaM?nlogaM(n?R)3. 其他公式

(1) 常用重要公式(2)换底公式log aa?1;loga1?0;alogaN?Nloglogcbab?（a?0,且a?1,clog ?0且c?1) ambn?nloglogcaab

m4、指、对函数图象及性质

6

1、

lg2?lg5?lg12lg1(lg32?lg2)?_____________.

2?lg82、已知m?0.95.1,n?5.10.9,p?log0.95.1,则这三个数的大小关系是_____________. 3、函数f(x)?log1(x?4)的定义域是_____________

24、函数y?2x2x?1(x?0)的值域是_____________ 5、设a????11，，，13??，则使函数y?xa?2?的定义域为R且为奇函数的所有a值为（ ）

． A．1，3

B．?1，1 C．?1，3 D．?1，1，3

26、已知a3?49(a?0)，则log2a?____________. 37、设g(x)???ex,x?0.则g(g(1))?__________

?lnx,x?0.2三、典例分析 例1、2log3232?log3?2log3938?52log5?log964=___________. 例2、函数f(x)?log1(x2?2x?5)的值域是_____________ 2

例3、若偶函数f(x),x?R满足f(x?2)?f(x)且x?[0,1]时， f(x)?x, 则方程f(x)?log3x的根的个数是

例4、求函数y?(1)x?(1)x42?1在x???3,2?上的值域．

例5、设函数f(x)?lg1?2x?4x?a2(a?R)，如果当x?(??,1)时f(x)总有意义，求a的取值范围．

四、课时作业 一、选择题：

1．下列关系中，成立的是（ ）．

A．log101034?(5)?log110 B．log110?(5)?log34

33C．log101034?log110?(5) D．log110?log34?(5)

332．设x?(log1?11?11)?(log1)，则x属于区间（ ）．

2353A．(?2,?1) B．(1,2) C．(?3,?2) D．(2,3) 3．如果幂函数y?(m2?3m?3)xm2?m?2的图象不过原点，则m取值是（ ）．

A．?1?m?2 B．m?1或m?2 C．m?2 D．m?1

4．已知x,y,z都是大于1的正数，m?0，且logxm?24,logym?40,logxyzm?12，则logzm的值为（ ）．

A．

160 B．60 C．20033 D．20 5．已知函数f(3x)?log9x?522，那么f(1)的值为（ ）． 7

A．log127 B．2 C．1 D．2 二、填空题： 6．函数y?ln(x?1)?x2的定义域为_________．

?3x?47．若函数f(x)?logm(m?x)在区间[3,5]上的最大值比最小值大1，则实数m?__________． 8. 若a?b?1，且log10ab?logba?3，则logab?logba?_____________． 三、解答题：

9．lg5(lg8?lg1000)?(lg23)2?lg16?lg0.06；

10．求函数y?12log21x+log1x?5在区间?2,8?上的最大值和最小值. 22

复合函数专题训练

复合函数定义域问题：

（1）已知f(x)的定义域，求f?g(x)?的定义域 例1. 设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。

（2）、已知f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域 2例4. 已知f(x2?4)?lgxx2?8，则函数f(x)的定义域为______________。

（3）、已知f?g(x)?的定义域，求f?h(x)?的定义域

例5. 若函数f(2x)的定义域为??1，1?，则f(log2x)的定义域为____________。 变式练习

1．函数f（x）＝log1(x－1)的定义域是（ ）

2 A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D．(1，2] 2．函数y＝log22（x－3x＋2）的单调递减区间是（ ） A．（－∞，1） B．（2，＋∞） C．（－∞，

332） D．（2，＋∞） 3．定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（ ） A．（0，12） B．（0，1） C．（

12，＋∞） D．（0，＋∞）

高一期末复习 三角函数专题复习（四）

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角??负角:按顺时针方向旋转形成的角?

?零角:不作任何旋转形成的角2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．

第一象限角的集合为??k?360???k?360?90,k???

第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k???

8

终边在x轴上的角的集合为????k?180,k??? 终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???

3、与角?终边相同的角的集合为????k?360??,k???

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??lr． 6、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1??180，1???180??????57.3． 7、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，

C?2r?l，S?12lr?12?r2． 8、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是

r?r?x2?y2?0?，则sin??y，cos??x，tan??y?x?0?．yrrx 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， PT第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

10、三角函数线：sin????，cos????，tan????． OMAx11、角三角函数的基本关系：

?1?sin2??cos2??1?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；

?2?sin??cos?tan???sin??tan?cos?,cos??sin???tan???．

12、函数的诱导公式：

?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?．

?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

?5?sin????2??????cos?，cos????2??????sin?．?6?sin????2??????cos?，cos????2???????sin?．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

13、①的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数

y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1?倍（纵坐标不变），得到函数

y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来

的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． ②数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1?倍（纵坐标不变），得到函数

y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移??个单位长度，得到函

数y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 14、函数y??sin??x??????0,??0?的性质：

①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1???2?；④相位：?x??；⑤初相：?．

函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则??12?y1?max?ymin?，??2?ymax?ymin?，2?x2?x1?x1?x2?．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

9

性 函 数 质 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 ?定义域 R R ??xx?k????2,k???? 值域 ??1,1? ??1,1? R 当x?2k???2?k???当x?2k??k???时， 时，ymax?1；当最值 ymax?1；当既无最大值也无最小值 x?2k???2 ?k??? x?2k??? 时，y?k???时，ymin??1． min??1． 周期性 2? 2? ? 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 在???2k???2,2k????2? ?在?2k???,2k???k???上在?k???上是增函数；是增函数；在?单调性 ??k???2,k????在?2?? 2k?2k?,2k????? ???2,2k??3?? 2????k???上是减函数． ?k?? ???上是增函数．k??上是减函数． 对称中心对称中心对称中心?k?,0??k??? 对称性 ?对称轴???k???2,0????k??? ?k??2,0????k??? x?k???2?k??? 对称轴无对称轴 x?k??k??? 【例题选讲】

例1．求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m）图中长度单位为：m

解： ∵ 60???63

∴ l???R???45?3.14?15?47(m) R=45 3例2． 已知?是第三象限角且cos?2?0，问

?2是第几象限角？ 解：∵(2k?1)????(2k?1)???2 (k?Z)

∴k???2??2?k??3?4 (k?Z) 则?2是第二或第四象限角 又∵cos?2?0 则

?2是第二或第三象限角 ∴

?2必为第二象限角 例3．已知sin??2cos?，求

sin??4cos?5sin??2cos?及sin2??2sin?cos?的值。

解：?sin??2cos??tan??2

?sin??4cos?tan??45sin??2cos??5tan??2??212??16

22sin2??2sin?cos??sin??2sin?cos?tan??2tan?4?sin2??cos2??tan2??1?24?1?65 例4．函数y?tan?????3x?3??的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。解：由3x???k???32得x?k?3?5?18，

? 所求定义域为??k??x|x?R,且x?3?5?18,k?z??? 值域为R，周期T??3，是非奇非偶函数。

10

在区间??k??3??k?5??18,3?18???k?z?上是增函数。

基础题

1．将函数y?f?x?sinx的图象向右平移

?4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数

y?1?2sin2x的图象，则f?x?可以是

（ ） A．cosx B．2cosx C．sinx D．2sinx

2．函数f?x??asinx?bcosx图象的一条对称轴是直线x??4

，则常数a与b满足（ ）

A．a?b?0 B．a?b?0 C．a?3b?0 D． a?3b?0

3．如果?、??????2,????，且tan??cot?，那么必有 （ ）

A．??? B．??? C．????3?3?2 D．????2

4．函数f?x?????sinx,?sinx?cosx?x,?sinx?cosx?，给出下列四个命题，其中正确的是 （ ） ??cos A．f?x?的值域为??1,1?

B．f?x?是以?为周期的周期函数

C．当且仅当x?2k???2?k?Z?时f?x?取得最大值 D．当且仅当2k????x?2k??3?2?k?Z?时f?x??0

5．函数y?3sin??3x?????4??4cos???3x???4??的最小正周期是 ． 6．如果?、?、?均为锐角，sin??13，tan??2，cos??34，则?,?,?从小到大的顺序

为 ． 7．设甲：“sin??12”，乙：“???6”，则甲是乙的 条件。 三、例题分析：

例1 已知函数f?x??6cos4x?5sin2x?4cos2x，求f?x?的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。

①把函数y＝sinx的图象向左平移πy＝sin(x+π

4 个单位，得到函数4 )的图象；

②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的1π2 倍（纵坐标不变），得函数y＝sin(2x＋4 ）的图象； ③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变），得函数 y＝2 sin(2x＋π4 )的图象；

④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到 y＝2 sin(2x＋π4 )+2的图象. 【说明】 以上变换步骤不唯一！

19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝log1(sinx－cosx)

2（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间； （3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.

【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系.

【解】 （1）由题意得sinx－cosx＞0，即2 sin(x－π

4 )＞0

从而得2kπ＜x－ππ5π

4 ＜2kπ＋π，所以函数的定义域为（2kπ＋4 ，2kπ＋4 ）(k∈Z) ∵0＜sin(x－π

4 )≤1，∴0＜sinx－cosx≤2 即有log1(sinx－cosx)≥log2 ＝－111222 .故函数的值域是［－2 ，

（2）∵sinx－cosx＝2 sin（x－π)在f(x)的定义域上的单调递增区间为（2kπ＋π3π

4 4 ，2kπ＋4 ）(k∈Z)，函数f(x)的递减区间为（2kπ＋π3π

4 ，2kπ＋4 ）(k∈Z). (3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， ∴函数f(x）是非奇非偶函数.

（4）f(x＋2π)＝log1［sin(x＋2π)－cos(x＋2π)］＝log1（sinx－cosx)＝f(x).

22∴函数f(x)是周期函数，2π是它的一个周期. 20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

【分析】 本题中水与水渠壁的接触面最小，即是修建的

成本最低，而水与水渠壁的接触面最小，实际上是使水渠横断

16

面的周长最小

【解】 设水渠横断面的周长为y，则： (y－2×313×3

sinα )×3＋2×2 ·2tanα ＝m 即：y＝m

2－cosα3 ＋3·sinα (0°＜α＜90°).

欲减少水与水渠壁的接触面，只要使水渠横断面周长y最小，即要使t＝2－cosα

sinα (0°＜α＜90°)最小， ∵tsinα＋cosα＝2.

∴sin(α＋φ)＝21

t2＋1

，(其中φ由tanφ＝t ，φ∈(0°，90°))

由22t2＋1

≤1得：t≥3?t≥3

当且仅当t＝3 ，即tanφ＝3

3，即φ＝30°时，不等式取等号，此时sin(α＋30°)＝1?α＝60°. 【答】 水渠侧壁的倾斜角α＝60°时，修建成本最低.

21． (本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（3π0)对称，且在区间［0，π

4 ，2 ］上是单调函数，求φ和ω的值. 【解】 由f(x)是偶函数，得f(x)＝f(－x) 即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)

∴－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立.

且ω＞0，∴cosφ＝0，依题设0≤φ≤π，∴φ＝π

2 由f(x)的图象关于点M（3π

4 ，0）对称，得， 取x＝0，得f(3π3π3π

4 )＝－f(4 )，∴f(4 )＝0 ∴f(3π3ωππ3ωπ

4 )＝sin(4 ＋2 )＝cos4 ＝0，又ω＞0

∴3ωππ ＋kπ，k＝0，1，2，?，ω＝2

4 ＝23 (2k＋1)，k＝0，1，2，? 当k＝0时，ω＝2(x)＝sin(2ππ

3 ，f3 x＋2 )在区间［0，2 ］上是减函数； 当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋ππ

2 )在区间［0，2 ］上是减函数； 当k≥2时，ω≥10x)＝sin(ωx＋ππ

3 ，f(2 )在区间［0，2 ］上不是单调函数；

所以，ω＝2

3 或ω＝2.

三角函数练习（二）

一、选择题（本大题共10，每小题5分，共50分） 1、sin600?的值是（ ）

(A)12; (B)32; (C)?312; (D)?2;

2、P(3,y)为?终边上一点，cos??35，则tan??（ ） (A)?34 (B)4343 (C)?4 (D)?3

3、已知cosθ＝cos30°，则θ等于（ ）

A. 30° B. k2360°＋30°(k∈Z) C. k2360°±30°(k∈Z) D. k2180°＋30°(k∈Z) 4、若cos??0,且sin2??0,则角?的终边所在象限是( )

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限（ ）

5、函数的递增区间是

6、函数y?5sin(2x??6)图象的一条对称轴方程是（ ）

(A)x???12; (B)x?0; (C)x??6; (D)x??3;

7、函数

的图象向左平移

个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的

，

那么所得图象的函数表达式为

17

8、函数f(x)?|tanx|的周期为( )

A. 2? B. ? C.

??2 D. 4 9、锐角?，?满足sin??sin???134，cos??cos??4，则cos(???)?（ ）

A.?1116 B.55118 C.?8 D.16

10、已知tan(α＋β)=25，tan(α＋?4)=322, 那么tan(β－?4)的值是（ ）

A．1 B．1 C．1318 D．135422

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11、sin10?sin50?sin70?=____________________.

12、若函数f(x)具有性质：①f(x)为偶函数；②最小正周期为?2，则函数f(x)的解析式可以是（只要写出满足条件的一个解析式即可）。

13、函数

的值域是____________。

14、已知θ是第二象限角，则sin2??sin4?可化简为_____ _______。

三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15、（本小题满分12分）简化1-2sin4cos4

16、（本小题满分12分）求lg[sin(3x-?6)-12]的定义域

17、（本小题满分14分）已知sin?3?????14， 求cos(???)cos(??2?)cos?[cos(???)?1]?cos(??2?)cos(???)?cos(??)的值

18、（本小题满分14分）设cos（α－?2）=－

19，sin（?2－β）=2ππ3，且2＜α＜π，0＜β＜2，求cos（α+β）.

18

19、（本小题满分14分）求函数y?sin4x?23sinxcosx?cos4x的取小正周期和取小值；并写

出该函数在[0,?]上的单调递增区间.

20、（本小题满分14分）设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴是直线x??8.

（Ⅰ）求?；

（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调增区间；

（Ⅲ）画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像。

(答案) 三角函数及恒等变换测验

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C D A C C B D B 11、

18 12、f(x)=cos4x 13、[-3，3] 14、sin2??sin4?＝sin2?(1?sin2?)?sin2?cos2???sin?cos?

15、sin2-cos2 16、sin(3x-

?6)>12 ?6+2kπ<3x-?5?6<6+2k π ?2k9??3?x??3?2k?3 17、32 18、解：∵

π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－?π?π2＜π，－4＜2－β＜2. 故由cos（α－?2）=－1?459，得sin（α－2）=9.

由sin（?2－β）=2?53，得cos（2－β）=3.

∴cos（

???752）=cos［（α－

?2）－（

?2－β）］=?=

27. ∴cos（α+β）=2cos2???2392－1=?=－729.

19、解：y?sin4x?23sinxcosx?cos4x

?(sin2x?cos2x)(sin2x?cos2x)?3sin2x ?3sin2x?cos2x

?2sin(2x??6)故该函数的最小正周期是?；最小值是－2；

单增区间是[0,13?]，[56?,?]

20、解析：本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识,考查推理和运算能力解: （Ⅰ）x?

?8

是函数y?f(x)的图象的对称轴

19

?sin(2??)??1???k???

8??4??2,k?Z

?????0????3?4（Ⅱ）由（Ⅰ）知???3?3?4,因此y?sin(2x?4) 由题意得2k???3?2?2x?4?2k???2,k?Z 所以函数y?sin(2x?3?4)的单调递增区间为 ???5???k??8,k??8??,k?Z （Ⅲ）由y?sin(2x?3?4)可知 ?x 0 3?5?7?88 8 8? 2 y ?2 ?1 0 1 0 ?22 故函数y?f(x)在区间?0,??上的图象是

y 1 1 2 0 ???5?x 8 4 3?8 2 3?7?? 8 4 8 ?1 2 ?1

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