北师大版七年级上册数学 有理数同步单元检测(Word版 含答案)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧一点，且AB=20，动点从

点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间t(t>0)秒．

（1）写出数轴上点表示的数________；点表示的数________（用含的代数式表示）（2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于？

（3）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好又等于？

（4）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段的长．

【答案】（1）；

（2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：

①点P、Q相遇之前，

由题意得3t+2+5t=20，解得t=2.25；

②点P、Q相遇之后，

由题意得3t-2+5t=20，解得t=2.75．

答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2

（3）解：设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：

①点P、Q相遇之前，

则5x-3x=20-2，

解得：x=9；

②点P、Q相遇之后，

则5x-3x=20+2

解得：x=11．

答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2

（4）解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：

①当点P在点A、B 两点之间运动时：

MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=

×20=10，

②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP） AB=10，

则线段MN的长度不发生变化，其值为10

【解析】【解答】（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=20，

∴点B表示的数是8-20=-12，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，

∴点P表示的数是8-5t．

故答案为-12，8-5t；

【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-20；点P表示的数为8-5t；（2）设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（3）设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（4）分①当点P 在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．

2．阅读下面的材料：

如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB.线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a.

请用上面的知识解答下面的问题：

如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B

1个单位长度表示1cm.

点，然后向右移动7cm到达C点，用

（2）点C到点人的距离CA=________cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为________；

（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A.C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动.设移动时间为t秒，

试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由.

【答案】（

1）解：如图所示：

（3）﹣1+x

（4）解：CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：

根据题意得：CA=（4+4t）﹣（﹣1+t）=5+3t，AB=（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）=2+3t，

∴CA﹣AB=（5+3t）﹣（2+3t）=3，

∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化

【解析】【解答】（2）CA=4﹣（﹣1）=4+1=5（cm）；

设D表示的数为a，

∵AD=4，

∴|﹣1﹣a|=4，

解得：a=﹣5或3，

∴点D表示的数为﹣5或3；

故答案为5，﹣5或3；

（ 3 ）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；

故答案为﹣1+x；

【分析】（1）根据题意容易画出图形；（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为-1+x；（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论.

3．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.

（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）

（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.

①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；

②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.

老师点评：你的演算发现还不完整!

请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？

【答案】（1）2

（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，

∵AM＝2BM，

∴m﹣a＝2（b﹣m），

∴2﹣a＝2（b﹣2），

∴a+2b＝6，

∴a+2b+20＝6+20＝26；

②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.

当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，

∵AM＝3BM，

∴m+2＝3（b﹣m），

∴m+2＝3b﹣3m，

∴3b﹣4m＝2，

∴代数式3b﹣4m是一个定值.当点M在点B右侧时，

∵AM＝3BM，

∴m+2＝3（m﹣b），

∴m+2＝3m﹣3b，

∴2m﹣3b＝2，

∴代数式2m﹣3b也是一个定值.

【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，

故答案为：2.

【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.

4．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值： a=________； b=________； c=________．

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC—AB的值．

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和x（x>3）个单位长度的速度向右运动，请问：是否存在x，使BC－AB的值随着时间t的变化而不变，若存在求出x；不存在请说明理由．

【答案】（1）-1；1；4

（2）解：BC-AB

=（4-1）-（1+1）

=3-2

=1．

故此时BC-AB的值是1

（3）解：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为3t+1，点C对应的数为xt+4．

∴BC=（xt+4）-（3t+1）=(x-3)t+3，AB=（3t+1）-（-1-t）=4t+2，

∴BC-AB=(x-3)t+3-（4t+2）=（x-7）t+1，

∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变时，其值为7

【解析】【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，

∴b=1，

∵|c-4|+（a+b）2=0，

∴c-4=0，a+b=0，∴a=-1，c=4

【分析】（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到BC-AB的值；（3）先求出BC=4t+3，AB=4t+2，从而得出BC-AB ，从而求解．

5．观察下面的式子：

, , ,

（1）你发现规律了吗？下一个式子应该是________；

（2）利用你发现的规律,计算：

【答案】（1）

（2）解：

=

=

=

= .

【解析】【解答】（1）根据规律，下一个式子是：

【分析】（1）规律：两个自然数（0除外）的乘积的倒数等于这两个自然数倒数的差，据此写出结论即可；

（2）利用规律将原式转化为加减运算，然后利用加法结合律进行计算即可.

6．观察下面的等式：

回答下列问题：

（1）填空：________ ；

（2）已知，则的值是________；

（3）设满足上面特征的等式最左边的数为，则的最大值是________，此时的等式为________ .

【答案】（1）-4

（2）0或-4

（3）4；

【解析】【解答】解：根据观察可以知道，所有的式子符合

的形式，

所以（1）中此时2-a=6，解得a=-4，故答案为-4；

所以（2）中a=2，故2-2=0，所以x的值为0；根据绝对值的意义将原式化简可得，求得x=0或x=-4，所以x的值为0或-4；（3）根据

，可知，整理得，所以，所以y的最大值为4，此时的式子是

.

【分析】（1）根据即可求解；（2）由（1）的规律即可求解；（3）由（1）可得进行整理，根据绝对值意义求解即可.

7．把具有某种规律的一列数：1,－2,3,－4,5,－6，...，排列成下面的阵形：

........

探索下列事件：

（1）第10行的第1个数是什么数？

（2）数字2019前面是负号还是正号?在第几行?第几列?

【答案】（1）解：∵第1行第1个数1=（-1）2×（02+1）；

第2行第1个数-2=（-1）3×（12+1）；

第3行第1个数5=（-1）4×（22+1）；

第4行第1个数-10=（-1）5×（32+1）；

…

∴第10行第1个数为（-1）11×（92+1）=-82，

（2）解：由以上数列可知，绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负，

∴2019前面是正号；

∵第45行第1个数为（-1）46×（442+1）=1937，

第46行第1个数为（-1）47×（452+1）=-2026，

且2019-1937+1=83，

∴2019在第45行，第83列

【解析】【分析】（1）由每行的第一个数可知，第n行第一个数为（-1）n+1×[（n-1）2+1]，据此可得；（2）根据题意知绝对值为奇数的为正，绝对值为偶数的符号为负；求出第45行第1个数为1937，第46行第1个数为-2026知2021在第45行，再由每行中每个数的绝对值依次加1可得列数．

8．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB的中点．

（1）数轴上点C表示的数是________；

（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当P、Q相遇时，两点都停止运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

①当t为何值时，点O恰好是PQ的中点；

②当t为何值时，点P、Q 、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点（三等分点是把一条线段平均分成三等分的点）．（直接写出结果）

【答案】（1）-2

（2）解：①设t秒后点O恰好是PQ的中点．

根据题意t秒后，点

由题意，得-12+2t=-（8-t）

解得，t=4；

即4秒时，点O恰好是PQ的中点．

②当点C为PQ的三等分点时PC=2QC或QC=2PC，

∵PC=10-2t，QC=10-t ，

所以10-2t=2（10-t）或10-t=2（10-2t）

解得t= ；

当点P为CQ的三等分点时（t＞4）PC=2QP或QP=2PC

∵PC=-10+2t，PQ=20-3t

∴-10+2t=2（20-3t）或20-3t=2（-10+2t）

解得t= 或t= ；

当点Q为CP的三等分点时PQ=2CQ或QC=2PQ

∵当P、Q相遇时，两点都停止运动

∴此情况不成立．

综上，t= 秒时，三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点【解析】【解答】（1）解：∵点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB

的中点．

∴点C表示的数为：

故答案为：-2

【分析】（1）利用中点公式计算即可；（2）①用t表示OP，OQ，根据OP=OQ列方程求解；②分别以P、Q、C为三等分点，分类讨论．

9．如图，在数轴上A点表示的数是-8，B点表示的数是2。动线段CD=4（点D在点C的右

侧），从点C

与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t

秒。

（1）①已知点C表示的数是-6，试求点D表示的数；

②用含有t的代数式表示点D表示的数。

（2）当AC=2BD时，求t的值。

（3）试问当线段CD在什么位置时，AD+BC或AD-BC的值始终保持不变?请求出它的值并说明此时线段CD的位置。

【答案】（1）解：①∵点C表示的数是-6，CD=4且点C在点A的右边

∴点D表示的数为-6+4=-2；

②∵从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒。∴点C表示的数为-8+2t，

∵CD=4

∴点D表示的数为：-8+2t+4=-4+2t;

（2）解：∵运动t秒后，点C表示的数为-8+2t，点D对应的数为-4+2t，

∵AC=2BD，点B表示的数为2，点A表示的数为-8

∴-8+2t-（-8）=2|-4+2t-2|

∴t=-6+2t或t=6-2t

解之：t=6或2；

（3）解：①当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2)

AD+BC的值保持不变，且AD+BC=AB+CD=14

②当线段CD在点B的右侧时(图3)

ADBC的值保持不变，且ADBC=AC+CDBC=AB+CD=14

【解析】【分析】（1）①由点C表示的数及CD的长及点C在点A的右边，就可求出点D 表示的数；②根据线段的运动方向及运动速度，可得到点C表示的数为-8+2t，再由CD的长，就可用含t的代数式表示出点D表示的数。

（2）求出运动t秒后点C和点D表示的数，再根据AC=2BD，建立关于t的方程，解方程求出t的值。

（3）分情况讨论：当线段CD在线段AB 上时(图1)或当点B在线段

CD内时(图2) ；当线段

CD在点B的右侧时(图3)，分别利用绝对值的性质及两点间的距离公式就可求出AB+CD的值。

10．阅读材料：求的值.

解：设

将等式两边同时乘以2，得

将下式减去上式，得

即

请你仿照此法计算：

（1）

（2）

【答案】（1）解：根据材料，设M= ①，

∴将等式两边同时乘以3，则3M= ②，

由② ①，得：，

∴；

∴ .

（2）解：根据材料，设N= ③，

∴将等式两边同时乘以5，④，

由④ ③，得：，

∴；

∴ .

【解析】【分析】（1）设M= ，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=

，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.

11．同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：

（1）求|5－(－2)|=________.

（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________.

（3）由以上探索猜想对于任何有理数

x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小

值，如果没有说明理由.

【答案】（1）7

（2）-5，-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2

（3）解：|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3.理由如下：

当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x ﹣9＞3；

当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；

当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3.

故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3

【解析】【解答】（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7.

故答案为：7；（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；

当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在.

故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题.

12．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由运动，同时，点Q从点B出发以每秒1个单位长度的速度由运动，当点Q到达点A时P、Q两点停止运动，设运动时间为单位：秒．

（1）求时，求点P和点Q表示的有理数；

（2）求点P与点Q第一次重合时的t值；

（3）当t的值为多少时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度？【答案】（1）解：当时，

点P表示的数为：，

点Q表示的数为：

（2）解：

答：点P与点Q第一次重合时的t值为4

（3）解：点P和点Q 第一相遇前，

，

解得，；

当点P和点Q相遇后，点P到达点B前，

，

解得，；

当点P从点B向点A 运动时，

，

解得，；

由上可得，当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．

【解析】【分析】(1）根据题意可以得到当时，点P和点Q表示的有理数；(2)根据题意可以列出相遇关于t的方程，从而可以求得t的值；(3)根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

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