高数(经济数学-微积分)第六章习题2

高数(经济数学-微积分)第六章

第六章

定积分及其应用

习 题 课(二 )主要内容 典型例题上页 下页 返回

高数(经济数学-微积分)第六章

经济数学

一、主要内容理名 称 释 译 微 元 法

论

依

据的 特 点 所 求 量

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1、微元法理论依据设 f ( x )在[a , b] 上连续 , 则它的变上限积分 U ( x ) = ∫ f ( t )dta x

(1)

是 f ( x ) 的一个原函数 ,即 dU ( x ) = f ( x )dx , 于是

∫

b

a

f ( x )dx = ∫ dU = Ua

b

( 2)

这表明连续函数的定积 分就是 (1) 的微分的定积分 .

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2、名词释译由理论依据 ( 2) 知, 所求总量 U 就是其微分 dU = f ( x )dx 从 a 到 b 的无限积累(积分 ) : U = ∫ f ( x )dxa b

这种取微元 f ( x )dx 计算积分或原函数的 方法称微元法 .

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3、所求量的特点) (1)U 是与一个变量 x 的变化区间[a, b ]有关 的量； 的量；

( 2 ) U 对 于 区 间 [a, b ] 具 有 可 加 性 ， 就 是 分成许多部分区间， 说，如果把区间[a, b]分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量 ， 而U 等于所有部 相应地分成许多部分量， 分量之和； 分量之和； (3)部分量 U i 的近似值可表示为 f (ξ i ) x i ; )

就可以考虑用定积分来表达这个量U .

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4、解题步骤1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a , b ]; 个小区间， 2 )设想把区间[a , b]分成n 个小区间，取其中任一小 区间并记为[ x , x + dx ], 求出相应于这小区间的部 的近似值. 分量 U 的近似值 . 如果 U 能近似地表示为[a , b] 的乘积， 上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与dx 的乘积，就 把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU , 即 dU = f ( x )dx ; 为被积表达式， 3 )以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在区间上作定积分， [a , b]上作定积分，得U = ∫a f ( x )dx , 即为所求量U .b

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5、定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积直角坐标情形yy = f ( x)

y

y = f2 ( x)

Ao

Ay = f1 ( x )

ab

b

x

ob

a

b

x

A = ∫a f ( x )dx

A = ∫a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx

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(2) 体积y

oyd

x + dx

x

V = ∫a π [ f ( x )]2 dx

b

x = ( y)

cox

V = ∫c π [ ( y )] dy2

d

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平行截面面积为已知的立体的体积A( x )

o

a

x

x + dx

b

x

V =

∫a A ( x ) dx

b

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二、典型例题例1π x = 0, y = sin x , y = cos x 0 ≤ x ≤ 由 4

所围的平面图形如图所示 1、求其所围成的图形的 面积. 面积.y 1y = cos x

2、它绕x 轴旋转而成的 它绕 . 旋转体体积0

y = sin xπ4

x

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解 1、 A =

∫ (cos x sin x )dx4

π

0

4 = [sin x + cos x ]0 = 2 1

π

2、 V = π

∫ (cosπ4

2

0

x sin 2 x dx

)

= π ∫ cos 2 xdx4

π

0

π 4 π =

sin 2 x = 2 0 2

π

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例2 某 电视 设备 厂生 产某 种室 内天 的边 线 际成 本为

C′( x) = 2(元/件)(固定成本设为 0) 而边 (固 设为0 , ,而边 ， .求 际 收入R′( x) = 20 0.02( /件 . : 元 )求1 时， 大. ( ) 产量 为多 少件 ， 时 总利 润最 . 大 2 了50 , 利 为 少 少. ( ) 以 润 大 产 又生 了 50 件 总 润 多 . 利 最 的 量 产 ( ) 生 800 件时 3 产800 少. 产 的总 利润 为多 . 少

解

方法一

(1)边际利润 L′( x ) = R′( x ) C ′( x ) 故得L′( x ) = 20 0.02 x 2 = 18 0.02 x

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令L′( x ) = 0得驻点 x = 900 Q L′′( x ) = 0.02 < 0 件时， ∴ 当产量为 900件时，总利润最大 . 件时

( 2) L(900 + 50) = (18 0.02 x )dx = 8075(元 )0

∫

950

即从900件又多生产50件，总利润为8075元.

( 3) L(800) = (18 0.02 x )dx = 8000(元 )0

∫

800

即生产800件时的总利润为8000元.方法二

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先求总成本函数 C ( x ) = C (0) + 2dx = C (0) + 2 xQ固定成本为 C (0) = 0 ∴C( x) = 2 x0

∫

2

总收入为 R( x ) = R(0) + ( 20 0.02 x )dx0

∫

x

= R(0) + 20 x 0.01 x 2

Q R( 0 ) = 0

∴ R( x ) = 20 x 0.01 x 2

∴ 总利润函数为 L( x ) = R( x ) C ( x ) = 20 x 0.01 x 2 2 x 即L( x ) = 18 x 0.01 x 2

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(1) L′( x ) = 18 x 0.01 x 2 令L′( x ) = 0解得x = 900 Q L′′( x ) = 0.02 < 0

件时，总利润最大. ∴ 当产量为 900 件时，总利润最大.( 2) L(900 + 50) = 18 × 950 0.01 × 950 2 = 8075(元 )

即从产量为 900 件多生产 50 件时， 件时， 总利润为 8075 元.( 3) L(800) = 18 × 800 0.01 × 800 2 = 8000(元 )

即生产 800 件时的总利润为 8000 元.

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例3某企业购置一台设备需购置成本 1000 元， 10 年中 在 5%, 每年收益为 200 元，若连续利率为 5%,假设购置的 年后完全失去价值，求价值的资本价值. 设备在 10 年后完全失去价值，求价值的资本价值.

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解

v=

∫

10

0

200e 0.05 t dt 1000

200 0.05 (1 e × 10) 1000 = 0.05 ≈ 573.88(元)

即收益的资本价值为 573.88元.若收益流量是无限期的 , 而资本价值仍 是有限的， 是有限的，为

b 200 v = a = 1000 = 3000(元 ) r 0.5

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测验题选择题： 一、 选择题：1 1、 曲线 y = ln x 与直线 x = , x = e 及 y = 0 所围成 e 的区域的面积 S = ( ) ; 1 1 ( B) e ; (A) 2( 1 ) ; e e 1 1 ( C) e + ; ( D) + 1 . e e 2、由球面 x 2 + y 2 + z 2 = 9 与旋转锥面 x 2 + y 2 = 8z 2 之 ); 间包含 z 轴的部分的体积V = ( ); π (A)144π ; (B)36 ; (C) 72π ; (D) 24π .

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经济数学的球， 3、用一平面截半 径为 r 的球，设截得的部分球体高 为 h (0 < h < 2r ) 体 积为 V ,则 V =

( ) ;

πh ( 2r h) ; (A ) 32

( C ) π h ( 2 r h) ;2

πh ( 3r h) ; ( B) 3 πh2 ( 3r h) . (D ) 42

4、曲线 y = x 2 2 x + 4 上点 M 0 ( 0 , 4 ) 处的切线 M 0T 与曲线 y 2 = 2 ( x 1) 所围图形的面积 S = ( ) ; 4 9 ( A) ; (B ) ; 4 9 13 21 ( C) ; (D ) . 12 4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4wch.html