江苏省无锡市洛社高级中学2011-2012学年高二下学期期中考试试题

江苏省无锡市洛社高级中学2011-2012学年高二下学期期中

考试数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷共有4页，分为填空题和解答题，共20道小题．

2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号写在答题卷的密封线内，试题的答案写在答

题纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题纸．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1． 若复数Z满足 Z?i?i?1，(i为虚数单位)，则Z的虚部为 ▲ ． 2. 已知向量a?(2,?3,5)与向量b?(?4,x,y)平行，则x?y? ▲ ．

x3x?6?C18，则x? ▲ ． 3． 若C18

4．已知二项分布满足X～B（3，

5．曲线y?xex?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 ▲ ．

23），则P(X=2)= ▲ ．（用分数表示）

6．若(1?i)n?N(i是虚数单位)，则正整数n的最小值是 ▲ ．

7．从3名男生和2名女生中选出2名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 ▲

种．（用数字作答）

8．已知函数f(x)的定义域为??2,???，部分对应值如下表，f(x)的导函数图像如下图所示，若f(2a?3)?1，则a的取值范围为 ▲ ．

9．若随机变量x的分布表如表所示，则V(x)? ▲ ．

1

10．函数f(x)?x3?ax2?bx?a2，在x?1时有极值10，则a-b= ▲ ．

11．利用数学归纳法证明“(n?1)(n?2)???(n?n)?2?1?3?????(2n?1),n?N ”

时，从假设n?k推证n?k?1成立时，可以在n?k时左边的表达式上再乘一个因

式，多乘的这个因式为 ▲ ．

122nn?7Cn???7Cn除以9的余数为 ▲ ． 12．设n为奇数，则7Cnn*

13．若f(n)为n2?1(n?N*)的各位数字之和，如142?1?197，1?9?7?17，则

f(14)?17；记f1(n)?f(n)，f2(n)?f(f1(n))，?，fk?1(n)?f(fk(n))，k?N，则f2012(8)? ▲ .

14．已知t为常数，函数f(x)?x?3x?t?1在区间??2,1?上的最大值为2，则实数

3*t? ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本小题15分）已知复数z?m(m?1)?mi，i为虚数单位，m?R. （1）当复数z纯虚数，求m的值；

（2）当复数z在复平面上的对应点位于第二、四象限角平分线上，求m的值； （3）若(1+i)z=1+3i，求z.

2

16．（本小题15分）在(1?x)n的展开式中，已知第三项与第五项的系数相等． 1??（1）求?x2??展开式中的系数最大的项和系数最小的项；

x??n（2）求(x2?x?2)n展开式中含x2项的系数．

17．（本小题15分）某次考试共有8道选择题，每道选择题有四个选项，只有一道是正确的，

评分标准为：“选对得5分，不选或选错得0分。”某考生已确定有5道题的答案是正

确的，其余3道题中，有一道题可以判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道是乱猜的，试求该考生 （1）得40分的概率；

（2）所得分数?的分布及期望．

18. （本小题15分）如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，

点P在直线A1B1 AA1?AB?AC?1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，上，且满足A1P??A1B1.

（1）当?取何值时，直线PN与平面ABC所成的角?最大？

（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，试确定点P的位置.

B P B1A1C1?A M C

N

3

19．（本小题15分）若n?N*，?1?2?n?2an?bn（an、bn?Z）.

（1）求a5?b5的值； （2）求证：数列?bn?各项均为奇数.

20．（本小题15分）已知x??0,1?，函数f(x)?x2?ln(x?（1）求f(x)的单调区间和值域；

（2）设a??1，若?x1??0,1?，总?x0??0,1?，使得g(x0)?f(x1)成立，求a的取值

范围；

（3）对于任意的正整数n，证明：ln(

1n?12)?1n212),g(x)?x?3ax?4a．

32?2n?1．

2011—2012学年第二学期高二期中考试数学（理科）

参考答案及评分标准

一． 填空题

二．简答题

解答题有不同解法请酌情评分

?m(m?1)?0?m??1，当m??1时，z是纯虚数；??5分 15．解：（1）由题意得?m?0?2 （2）由题意得m?m??m，解之得m?0或m??2 ????????10分

（3）?(1+i)z=1+3i

4

?(1?i)z?1?3i?2z?10?z?5 ??????15 分

16．解：由已知得Cn2?Cn4?n?6 ????????2分

11??（1）?x2??的通项Tr?1?C6r(x2)6?r(?)r?(?1)rC6rx12?3r

xx??6当r?3时，展开式中的系数最小，

即T5??20x3为展开式中的系数最小的项；?????????????6分 当r?2或4时，展开式中的系数最大，即T3?15x6,T5?15为展开式中的 系数最大的项 ?????????10分

15224?(?2)?C6?1?(?2)?48． （2）(x2?x?2)6展开式中含x2项的系数为C6?????????15分

18．解：（1）以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A?xyz，则

PN?(12??,12?,?1)，平面ABC的一个法向量为n?(0,0,1)????2分

PN?n则sin??cos?PN,n??PNn?11?5??????2?4?2 ???????5分

于是问题转化为二次函数求最值，而??[0,?2],当?最大时，sin?最大，所以当??12 5

时，(sin?)max?255.???????7分

（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45?，即可得到平面ABC的一个???????法向量为n?A1A?(0,0,，1)设平面PMN的一个法向量为m?(x,y,z)，

????1MP?(?,?1,).

211?(??)x?y?z?0???m?NP?0?22由?得? ，???????9分

1??m?MP?0??x?y?z?0??22??1?y?x??3解得?.???????10分

?z?2(1??)x?3??????令x?3,得m?(3,2??1,2(1??))这样m和n就表示出来了，于是由

m?ncos?m,n??mn?2(1??)9?(2??1)?4(1??)22?22，?????13分

解得???

12,故点P在B1A1的延长线上，且A1P?12.???????15分

（2）证：由数学归纳法（i）当n?1时，易知b1?1，为奇数；

（ii）假设当n?k时，1?则当n?k?1时，

?2?k?2ak?bk，其中bk为奇数；

?1?2?k?1?1??2???1?k2???2ak?bk?1???2??2?ak?bk???bk?2ak?

所以bk?1?bk?2ak，又ak、bk?Z，所以2ak是偶数，

6

而由归纳假设知bk是奇数，故bk?1也是奇数. 综上（i）、（ii）可知，bn的值一定是奇数. 证法二：因为?1?2?n?Cn?Cn012?Cn2??242???Cn4n??2n?1n

n?1当n为奇数时，bn?Cn?Cn02??22?Cn??2???Cn??2

则当n?1时，b1?1是奇数；当n?3时， 因为其中C2n?2?2?C4n2?2?4???C4n?1n?2?4n?1中必能被2整除，所以为偶数， 必为奇数；

nn于是，bn?Cn0?Cn2?2??Cn4?2????Cnn?1?2?当n为偶数时，bn?C?C其中C2n0n2nn?1?2?2?Cnn4n?2?n???C?2?n

?2?2?C4n?2?4???C?2?均能被2整除，于是bn必为奇数.综上可

知，?bn?各项均为奇数.

20题：解 （1）令f?(x)?0，解得 x1?

12,x2??1（舍去），

x

0

(

0,12)

12

0

1(21) +

,1

f?(x) f(x)

ln2

__

↘

14

↗

1?ln32

???３分 f(x)单调减区间?0,??1??2?，f(x)单调增区间??1?,1??2?，

3??1f(x)??,1?ln?；??????? 4分

2??4 7

（3）构造函数：h(x)?(2x?1)?f(x)??x?2x?1?ln(x? 则h?(x)?2?2x?22x?1?2(1?x)?22x?1212)，

，??????? 11分

当x??0,1?时，h?(x)?0，

∴函数h(x)在?0,1?上单调增，??????? 12分

h(0)?1?ln2?0∴x??0,1?时，恒有h(x)?h(0)?0，??13分

即 2x?1?x?ln(x?212)恒成立，???????14分 1n??0,1?

故对任意正整数n，取x?有ln(

1n?12)?1n2?1n?1．???????15分

8

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