2009-2011年高考数学（理）试题及答案(全国卷1)

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第错误！未找到引用源。卷（选择题）和第错误！未找到引用源。卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。卷1至2页，第错误！未找到引用源。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意：

1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

．．．．．．．．．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

球的表面积公式

S?4πR

2P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A，B相互独立，那么

P(A?B)?P(A)?P(B)

其中R表示球的半径 球的体积公式

V?43πR

3

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

Pn(k)?CnP(1?P)kkn?k 其中R表示球的半径

(k?0，1,2，?，n)

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A?B，则集合[u（A?B）中的元素共有

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 （2）已知

Z1＋i=2+I,则复数z=

（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式

X?1X?1＜1的解集为

（A）｛x0?x?1???xx?1? (B)?x0?x?1?

（C）?x?1?x?0? (D)?xx?0?

xa22(4)设双曲线率等于

?yb22?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心

2

（A）3 （B）2 （C）5 （D）6

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

（6）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则?a?c???b?c?的最小值为 （A）?2（B）

2?2 （C）?1 (D)1?2 （7）已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

34547434（A）（B） （C） (D)

?4?（8）如果函数y＝3cos?2x＋??的图像关于点?（A）

?6?，0?中心对称，那么?的最小值为 ?3? （B）

?4 （C）

?3 (D)

?2

(9) 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为 (A)2 (B)2 (C) 23 (D)4

（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，则 (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)?f(x?2) (D) f(x?3)是奇函数

（12）已知椭圆C:

x22右准线为L，点A?L,线段AF 交C与点B。?y?1的又焦点为F，

2????????????若FA?3FB,则AF=

(A)2 (B)2 (C)

3 (D)3

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理科数学（必修?选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，

在试题卷上作答无效． ．．．．．．．．．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

(13) (x?y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 .

(14)设等差数列?an?的前n项和为sn.若s9=72,则a2?a4?a9= . (15)直三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在同一球面上.若AB?AC?AA1?2,∠

BAC=120?，则此球的表面积等于 .

(16)若

?4＜X＜?2,则函数y?tan2xtanx的最大值为 .

3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知

sinAcosC?3cosAsinC，求b.

a?c?2b，且

18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=600.

(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设

在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设? 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求? 的分布列及数学期望。（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

在数列?an?中，

ann1?n＋1?a1＝1’an＋1＝?1＋?a’＋n.

n?2????设bn＝，求数列?bn?的通项公式；

????求数列?an?的前n项和sn.

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，已知抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r＞0）相交于A、B、C、D四个点。

2222（I）求r的取值范围： (II)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线

A、B、C、D的交点p的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)?x3?3bx2?3cx有两个极值点x1，x2???1，0?，且x2??1,2?. （Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；

(Ⅱ)证明：?10≤f(x2)≤-12

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理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R

2如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?343?R

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

Pn(k)?Cnp(1?p)kkn?k(k?0,1,2,…n)

一．选择题 (1)复数

3?2i2?3i?

(A)i (B)?i (C)12-13i (D) 12+13i

1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】

3?2i2?3i?(3?2i)(2?3i)(2?3i)(2?3i)?6?9i?4i?613?i.

(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

1?kk2A. B. -1?kk2 C.

k1?k2D. -k1?k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析】sin80??sin80cos80??1?cos80?22?1?cos(?80)?2?1?k2,所以tan100???tan80?

????1?kk.

?y?1,?(3)若变量x,y满足约束条件?x?y?0,则z?x?2y的最大值为

?x?y?2?0,?(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为zmax?1?2?(?1)?3.

x?y?0

?2 y

y?x A 1 l0:x?2y?0O 2 x A x?y?2?0

（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则(A) 52aaa=

(B) 7 (C) 6 (D) 42 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

【解析】由等比数列的性质知

1a1a2?a3(a?)a3?13，a2?5a2a7a8a9?(a7a9)?a8?a?3810,所以a2a8353?503,

13所以a4a5a6(5)(1?2?(a4a6)?a5?a?(a2a8)?(506)?5233

x)(1?x)5的展开式中x的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

【解析】(1?2x)3(1?3x)?(1?655x?12x?8xx)(1?3x)5 x

的

项

为

故

3(1?2x)(1?333x)的

0展开式中含

1?C5(?3x)?12xC5??10x?12x??2x,所以x

的系数为-2.

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4121种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C4种不同的

1选法.所以不同的选法共有C31C42+C32C4?18?12?30种.

(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A

23 B

33 C D

3263

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

A A1 D O

C B

?VD1?ACD,即

D1

B1

C1

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与

平面ACD1所成角相等,设DO⊥平面ACD1，由等体积法得VD?ACD13S?ACD1?DO?13S?ACD?DD1.设DD1=a,

1则S?ACD?112AC?AD1sin60??12?(2a)?232?32a,S?ACD?212AD?CD?12a.

2所以DO?S?ACD?DD1C1DS?A33?a323a?33a,记DD1

与平面AC

D1所成角为?,则

sin??DODD1?,所以cos??1263.

（8）设a=log32,b=In2,c=5?,则

A a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=log32=

121log23, b=In2=

1log2e,而log23?log2e?1,所以a

c=5?=

15,而5?2?log24?log23,所以c

022 (9)已知F1、F2为双曲线C:x?y?1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60，则

P到x轴的距离为 (A)

32 (B)62 (C) 3 (D) 6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

a(?c2|PF?|1e[0x?)?]a?0ex?1?，2|xPF2|?e[x0?0a2c)]?ex0?a?2x0?1.由余

弦定理得 cos∠F1PF2=

|PF1|?|PF2|?|F1F2|2|PF1||PF2|32222,即cos60?0(1?2x0)?(2x0?1)?(22)2(1?2x0)(2x0?1)222,

解得x0?252,所以y0?x0?1?22，故P到x轴的距离为|y0|?62

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b?a?A,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?又0f(1)=1+

212a1a2a?22,从而错选

，所以a+2b=a?2a

,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?(0,1)上

=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).

????????（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的

最小值为 (A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

【解析】如图所示：设PA=PB=x(x?0),∠APO=?,

O 则∠APB=2?，PO=1?x，sin??2A 11?x2P ，

B 2242????????????????????????x(x?1)x?x22=2，令PA?PB?y，PA?PB?|PA|?|PB|cos2?=x(1?2sin?)=2x?1x?1则y?x?x242x?12，即x4?(1?y)x2?y?0，由x2是实数，所以

2??[?(1?y)]?4?1?(?y)?0，y?6y?1?0，解得y??3?22或y??3?22.

????????故(PA?PB)min??3?22.此时x?2?1. （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A)

233 (B)

433 (C) 23 (D)

833

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

V四面体ABCD?13?2?12?2?h?23h,当直径通过AB与CD的中点时,hmax?22?1?23,故

22Vmax?433.

绝密★启用前

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理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2x?1?x?1的解集是 .

2

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. ?2x2?1?(x?1)2,解析:原不等式等价于?解得0≤x≤2.

?x?1?0(14)已知?为第三象限的角，cos2???14．?1735,则tan(?4?2?)? .

【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为?为第三象限的角,所以2??(2(2k?1)??,?cos2???352k(2??1)k)?(Z，又

45<0, 所以2??(?2?2(2k?1)?,??2(2k?1)?)(k?Z),于是有sin2??,

tan2??sin2?cos2???43,所以tan(?4tan?2?)??4?tan2?1?tan?4?tan2?3??1.

471?31?4(15)直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 .

15.(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形

452结合的数学思想.

【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线y?1与曲线y?x?x?a,观图可知，a的?a?15?,解得1?a?. 取值必须满足?4a?14?1??4122y x??x?12 y?x?x?ay=1 2a (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段

uuruurBF的延长线交C于点D，且BF?2FD，则C的离心率为 . 16.

23x O y?4a?14

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，|BF|?b?c?a,

22y B uuruur作DD1?y轴于点D1,则由BF?2FD，得

O F D x D1 |OF||DD1|?|BF||BD|?23,所以|DD1|?32|OF|?322c,

即xD?3c2,由椭圆的第二定义得|FD|?e(ac?3c2)?a?3c22a

又由|BF|?2|FD|,得c?2a?3ca2,整理得3c2?2a2?ac?0.

23两边都除以a2,得3e2?e?2?0,解得e??1(舍去)，或e?.

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．． 已知VABC的内角A，B及其对边aC．

，b满a?b?acotA?bcotB，求内角

17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．． 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望． 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面

角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.

（Ⅰ）若xf'(x)?x2?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0 .

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

????????8（Ⅱ）设FA?FB?，求?BDK的内切圆M的方程 .

9【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?521an?21an .

（Ⅰ）设c?,bn?，求数列?bn?的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式an?an?1?3成立的c的取值范围 .

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

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理科数学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数

（A）?352?i1?2i的共轭复数是

35i （C）?i （D）i

i （B）

（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A）y?x2 (B) y?x?1 （C）y??x2?1 (D) y?2?x （3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A） （B）

334112 （C） （D）

32

（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则

cos2?=

（A）?4545 （B）? （C） （D）

5533

（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为

（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3

a??1?（8）?x?2x?????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

x??x??5（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线y?（A）

103x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为

163 （B）4 （C） （D）6

（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题

?2???2?? P1:a?b?1????0,P:a?b?1???,?2???3???3???????P3:a?b?1????0,? P4:a?b?1????,???3??3?

其中的真命题是

（A）P1,P4 （B）P1,P3 （C）P2,P3 （D）P2,P4 （11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,??且f(?x)?f(x)，则 （A）f(x)在?0,?????2)的最小正周期为?，

??2??单调递减 （B）f(x)在???3????44?,单调递减

（C）f(x)在?0,(12)函数y?之和等于

1??2??单调递增 （D）f(x)在???3????44?,单调递增

x?1的图像与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像所有焦点的横坐标

（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）若变量x,y满足约束条件??3?2x?y?9,?6?x?y?9,则z?x?2y的最小值为 。

（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在 x轴上，离心率为

22。过l的直线 交于A,B两点，且?ABF2的周长为16，那么C的方程

为 。

（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB?6,BC?23,则棱锥O?ABCD的体积为 。

（16）在?ABC中，B?60?,AC?3，则AB?2BC的最大值为 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6. 求数列?an?的通项公式.

?1?b?loga?loga?......?loga,设 n?的前项和. 31323n求数列?b?n?(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B

配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） （20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 （21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?。 x?2y?3?0（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?lnxx?1?kxalnxx?1?bx，曲线y?f(x)在点(1,f(1处)的切线方程为

，求k的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2?14x?mn?0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。 (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

?x?2cos???y?2?2sin?（?为参数）

?????????M是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB. (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集

（Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试卷参考答案

一、选择题

?3与C1的异于

（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题

（13）-6 （14）三、解答题 （17）解：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32?9a2a6得a33?9a42所以q2?可知a>0,故q?1319x216?y28?1 （15）83 （16）27

。有条件

。

13由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?（Ⅱ ）bn?log1a1?log1a1?...?log1a1

??(1?2?...?n)??n(n?1)2。故数列{an}的通项式为an=

13n。

故

1b11bn???2n(n?1)1bn??2(1n?1n?1)

1b2?...???2((1?12)?(12?13)?...?(1n?1n?1))??2nn?1

所以数列{}的前n项和为?bn12nn?1

(18)解：

（Ⅰ ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD 从而BD+AD= AB，故BD?AD 又PD?底面ABCD，可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故PA?BD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则

2

2

2

A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。

????????????AB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)????

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 即 ?x?3y?0

3y?z?0因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC

????m?PB?0 的法向量为m，则 ????m?BC?0

可取m=（0，-1，?3） cosm,n?277?427??277

故二面角A-PB-C的余弦值为 ?（19）解

（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

22?8100=0.3，所

32?10100?0.42，所以

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

?90,9?4?,94,?1?02,102,110?

的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为

X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解：

????MB(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=(0,-3-y),

????AB????MA=（-x,-1-y）, ）?

????AB=(x,-2).再由愿意得知（

????MA+

????MB=0,即

（-x,-4-2y）? (x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=

14x2-2.

14(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=率为

12x2-2上一点，因为y'=

12x,所以l的斜

x0

122因此直线l的方程为y?y0?则O点到l的距离d?1d?2x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x?0。

2|2y0?x0|x?420.又y0?14x0?22，所以

x0?4x?4202?12(x0?4?24x?420)?2,

当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2. （21）解：

?(x?1?lnx)bx? 22(x?1)x（Ⅰ）f'(x)?

?f(1)?1,?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即

2?f'(1)??,?21

?b?1,??a1 ?b??,??22 解得a?1，b?1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

lnxx?1?1x，所以

?kx2f(x)?(lnxx?1)?11?x2(2lnx?(k?1)(x?1)x2)。

2考虑函数h(x)?2lnx?(k?1)(x?1)x2(x?0)，则h'(x)?(k?1)(x?1)?2xx2。

(i)设k?0，由h'(x)?故

k(x?1)?(x?1)x22知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，

当x?(0,1)时，h(x)?0，可得

11?x2h(x)?0；

12当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得从而当x>0,且x?1时，f（x）-（（ii）设0

11?k11?k1?xlnxk h（x）>0 ）>0，即f（x）>

2

x?1+

lnxx?1x+

kx.

）时，（k-1）（x+1）+2x>0,故h’ （x）>0,

11?x2）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设

（iii）设k?1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得

11?x2 h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-?，0] （22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 即

ADAC?AEAB.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.

故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 （23）解：

（I）设P(x,y),则由条件知M(

X2,Y212(12-2)=5.

).由于M点在C1上，所以

???x?4cos??? 即 ?? ?y?4?4sin???????x?2cos?,??2??y?2?2sin??2从而C2的参数方程为??x?4cos??y?4?4sin?（?为参数）

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为??8sin?。 射线??射线???3与C1的交点A的极径为?1?4sin与C2的交点B的极径为?2?8sin?3， 。

?3?3所以|AB|?|?2??1|?23. （24）解：

（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。 由此可得 x?3或x??1。

故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。 ( Ⅱ) 由f(x)?0的 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组

?x?a?x?a或? ?x?a?3x?0a?x?3x?0???x?a?x?a???a即 x? 或?a??a

???4?2a2因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??由题设可得?

a2?

= ?1，故a?2

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