高中物理竞赛教程《质点的圆周运动》

§2.4质点的圆周运动

刚体平面平行运动与定轴转动

2．4．1、质点的圆周运动

(1)匀速圆周运动

如图2-4-1所示，质点P在半径为R的圆周上运动时，它

的位置可用角度θ表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：

????lim?t?0?t

y v2 v1 R ?? ?lP O θ x 质点P的速度方向在圆的切线方向，大小为

R??lv?lim?lim0??R?t?0?t?t?0?t

图2-4-1

ω（或v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。

?n?v2/R??2R??v

向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

(2)变速圆周运动 ω（或v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度

??lim?

质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量?v分解为??????v?vvvv与2平行的分量//和2垂直的分量1，如图2-4-2。1相当于匀速圆周运动个的

???t?0?t

???v?v,11的大小为

?v12?v2?v1??2R??1R=R??

质点P的加速度为

- 1 -

????v//?v???va?lim?lim?lim?t?0?t?0?t?0?t?t?t

?v2 ??v ???a??an

??a其中r,an就是切向加速度和法向加速度。

???v// v? ?? ?v1 ?v1

a?r??R

an?v2/R??2R

?? R P 图2-4-2

β为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有

???0??t

???0t?12?t2

v0??0R

v??R?v0??Rt?v0?art

(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图2-4-3一个质点A在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上

x?Rcos?t

y v vy vx vx??vsin?t???Rsin?t

ax??acos?t???Rcos?t

2O ?t R A v x 在y方向上：

y?Rsin?t?Rcos(?t??)2

图2-4-3 )vy?vcos?t???Rsin(?t??2

ay??asin?t???2Rcos(?t??)2

从x和y方向上的位移、速度和加速度时间t表达的参数方程可以看出：匀速圆周

?运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差2

2．4．2、刚体的平面平行运动

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刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。

刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。

确定瞬心的方法有两种：如图2-4-4(a)所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图2-4-4(b)所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速度vA，则在与

（A a） B S S A vA vA/w （b） vA v

B图2-4-4

速度垂直的直线上，与A点距离为vA/?的点即为瞬心。

注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。

2．4．3、刚体的定轴转动

刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。

2．4．4、一些求曲率半径的特殊方法

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x2y2?2?12AB先看椭圆曲线，要求其两

顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法：

(1)将椭圆看成是半径R=A（设A＞B）的圆在?平面上的投影，圆平面和?平面的夹角?满足关系式（如图2-4-5）

BBcos???RA

y

Q Φ p x 如图2-4-5

v2a?A，设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动，则向心加速度从上图中

可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴（x轴）上的P点时，其速率和加速度分别为：

v2Bvx?vcos??vax?AA ，

当质点的投影在椭圆的短轴（y轴）上的Q点时，其速率和加速度分别为：

v2s?B2vy?v ay?aco?A。

因此椭圆曲线在P、Q的曲率半径分别为：

v2xB2?p??axAv2yA2?Q??ayB

(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭

y

圆的参数方程（设A＞B）（如图2-4-6）

B Q A P x

st?x?Aco???x?Acos???y?Bcoswt(?)??y?Bsin?2?? 可改写为

图2-4-6

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即可进一步写出x，y二个方程的速度v和加速度a：

?vx??A?sin?t?2?ax??A?coswt

??v??B?sin(?t?)y??2??a??B?2cos(wt??)y?2?0那么在长轴端点P处（?t?0）的曲率半径：

?p?v2pap(B?)2B2??2AA?

在短轴端点Q处（

?t??2）的曲率半径

?Q?2vQaQ2(A?)2A2??2BB?

y ana at再把抛物线y=Ax，要求其任意一点的曲率半径（如图2-4-7）因为抛物线可以写作参数方程

?x?v0t??12y?at?2?

a?A其中2vo，这样就可以导出

?vx?vo?ax?0和??v?at?y?ay?a? vyv vx x

图2-4-7

对任意一个t值： v=

2222vx?vy?v0?（at）

a=acos?=a

Nvx?vav022v0?（at）

所以这一点的曲率半径

2?at）v2（v0???aNav0

3222xa222a??（1?4x）/2vv0v0 将t=0代入，可得

32A?因为

a22v0，所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径

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??（1?4A2x）/2A

322

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