垂径定理、圆心角、圆周角- 副本

学科导学案

教师:李申国学生: 陈妍洁 日期:1230 星期:二 时段：17:30—19:30 课 题 学习目标与 考点分析 垂径定理、圆心角、圆周角 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 学习重点与难点 学习方法 难点：圆周角定理以及圆周角与圆心角的转化运用 分析法、综合法 学习内容与过程 要点1 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 垂径定理：_________________________________ ___________________________________________. 命题的题设与结论为： 题设：___________________________________ 结论:_____________________________________. 数学表达式表示为： _______________________________________________________ 讨论: 如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD. 如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？ 推论: (1)__________________________________________________________. (2)__________________________________________________________. (3)__________________________________________________________. 1

图1 C 图2 A M└ ●B O D 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。 要点2、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点3、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 2

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 例 如图4，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____． AODCEB (4) (5) 练习 1、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______． 2、如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） EACFOBD 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC． 【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理 3

举一反三： 【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证：AC?BD． 类型二、圆周角定理及应用 2.如图，?AOB?100，点C在O上，且点C不与A、B重合，则?ACB的度数为（ ） A．50 B．80或50 C．130 D．50 或130 【总结升华】考查分类讨论思想. 举一反三： 【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 . 3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________. 4

【总结升华】把圆周角转化到圆心角. 举一反三： 【变式】如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠1（的圆心角）和∠BAD的大小． 4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长. 所对 【总结升华】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解. 举一反三：【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（ ）． A．22 B．4 C．23 D．5 1例 如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=∠BOC, ∠BAC=45°，求∠ACB 3的度数． 5

练习 1、如图，AD是?ABC的高，AE是?ABC的外接圆的直径．试说明狐BE?CF。 D F 2、如图，AB, AC 是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC， 连结 DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径． 教学反思： 今天我学到了什么？ 学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定： 1、 学生上次作业评价： ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 2、 学生本次上课情况评价：○非常 好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 教师签字： 主任签字： 时间 ： 年 月 日

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