导数概念及应用详讲

高考 倒数概念的详细讲解

1文．函数 Ａ.

Ｂ.

是减函数的区间为(D)

Ｃ. Ｄ.

1（理）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（B ） A (

2．若曲线 A．

C． 3.函数

A.2 B.3 C.4 D.5

，已知

在

时取得极值，则=（B）

D．

B．

的一条切线与直线

垂直，则的方程为A

) B (π,2π) C (

) D (2π,3π)

4.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个

数是 （ D ）

A．3 B．2 C．1 D．0

3

5．曲线y x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x 2所围成的三角形的面积为______8/3____

6.设a为实数,函数

(Ⅰ)求

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线

轴仅有一个交点.

的极值.

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【解答】：(I)

=3－2－1

若

=0，则=－，=1

当变化时，，变化情况如下表：

的极大值是，极小值是

(II)函数

由此可知，取足够大的正数时，有所以曲线

结合

的单调性可知：

=

与轴至少有一个交点

>0，取足够小的负数时有<0，

当此曲线

当

=

的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因

与轴仅有一个交点，它在(1，+≦)上。

的极小值－1>0即(1，+≦)时，它的极大值也大于0，因此曲

线=与轴仅有一个交点，它在(－≦，－)上。

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当∪(1，+≦)时，曲线=与轴仅有一个交点

【考点透视】（理科）

1 了解导数概念的实际背景,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2 熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。

3 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

4 会求一些实际问题的最值。

（文科）

1 了解导数概念的某些实际背景。

2 理解导数的几何意义。

3 掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。

4 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

5 会利用导数求某些简单实际问题的最值。

【热点透析】

1.考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。

2.导数的简单应用，利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

3.综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。

【范例选讲】

【范例1】已知函数

在

处取得极值.

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（1）讨论

（2）过点

（1）解：

和是函数的极大值还是极小值；

作曲线的切线，求此切线方程.

，依题意，，即

解得

令

若

若

所以，

（2）解：曲线方程为

设切点为 因

，则

在在

，得

. .

.

，则，故

上是增函数，

上是增函数.

，故在上是减函数.

是极大值；是极小值.

，点不在曲线上.

，则点M的坐标满足.

，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

高考 倒数概念的详细讲解

所以，切点为

【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.

，切线方程为

.

化简得

，解得

.

【文】已知函数f（x）＝x＋ax＋bx＋c在x＝－

32

与x＝1时都取得极值

（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间

2

（2） 若对x 〔－1，2〕，不等式f（x） c恒成立，求c的取值范围。

322

解：（1）f（x）＝x＋ax＋bx＋c，f （x）＝3x＋2ax＋b

由f （

）＝，f （1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2

f （x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（－ ，－1）

）与（1，＋ ），递减区间是（－，

（2）f（x）＝x3－

x－2x＋c，x 〔－1，2〕，当x＝－

2

时，f（x）＝＋c

2

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x） c（x 〔－

2

1，2〕）恒成立，只需c f（2）＝2＋c，解得c －1或c 2

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【范例2】设函数

间

上是单调函数。

，求a的取值范围，使函数f(x)在区

解：

是减函数。

(1)当

时，

恒成立， f(x)在区间上

（2）当

时，解不等式得

上f(x)是单调递减速函数

得

综合得：当且仅当a

上f(x)是单调递增函数

时，f(x)在区间上是单调函数。

【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视 【文】设

（Ⅰ）用表示a，b，c；

，点P（，0）是函数

的图象的一个公共

点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

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（Ⅱ）若函数

解：（I）因为函数

即

又因为

而

将

代入上式得，.因为

，

在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

的图象都过点（，0），所以，

所以.

在点（，0）处有相同的切线，所以

因此故，，

（Ⅱ）解法一

当

时，函数

单调递减.

.

由

，若；若

由题意，函数

在（－1，3）上单调递减，则

所以 又当

时，函数

在（－1，3）上单调递减.

高考 倒数概念的详细讲解

所以的取值范围为

解

法

二

因为函数1，3）上的抛物线，

在（－1，3）上单调递减，且

是（－

：

所以

即解得

所以的取值范围为

4

3

2

【范例3】设定义在R上的函数f(x)＝a0x+a1x+a2x＋a3x(其中ai∈R，i＝0，1，2，

3)，当

时，f(x)取得极大值，并且函数y＝f′(x)的图象关于y轴对称。

⑴求f(x)的表达式；

⑵试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；

⑶求证：|f(sinx)－f(cosx)|≤)(x∈R)．

32

解：≧f′(x)＝4a0x＋3a1x＋2a2x+a3为偶函数。

3

a0＝a2＝0， f(x)＝a1x＋a3x

又当x＝

时，f(x)取得极大值

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解得 f(x)＝

2

x3－x，f′(x)＝2x2－1

2

⑵解：设所求两点的横坐标为x1、x2，则(2x1－1)(2x2－1)＝－1

又≧x1，x2∈[－1，1]， 2x1－1∈[－1，1]，2x2－1∈[－1，1]

2x1－1，2x2－1中有一个为1，一个为－1，

2

2

2

2

x1＝0，x2＝±1， 所求的两点为(0，0)与(1，－

⑶证明：易知sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]。

)或(0，0)与(－1，)。

当0<x<

时，f′(x)<0；当<x<1时，f′(x)>0。

f(x)在[0，

]为减函数，在[，1]上为增函数，

又f(0)＝0，f(

)＝－

，f(1)＝－，而f(x)在[－1，1]上为奇函数，

f(x)在[－1，1]上最大值为

，最小值为－，

f(sinx)∈[－

，]，f(cosx)∈[－，]，

|f(sinx)－f(cosx)|≤|f(sinx)|＋|f(cosx)|≤

【点晴】本题证明不等式的关键是转化为求最值问题

…

高考 倒数概念的详细讲解

【文】已知最大值是12。

（I）求

是二次函数，不等式的解集是且在区间上的

的解析式；

（II）是否存在实数

不等的实数根？若存在，求出

解：（I

）

由已知，得

可设

使得方程

在区间内有且只有两个

的取值范围；若不存在，说明理由。

是二次函数，且的解集是

在区间上的最大值是

（II）方程

设

等价于方程

则

当

时，是减函数；

当

时，是增函数。

高考 倒数概念的详细讲解

方程在区间

内分别有惟一实数根，而在区间

内没有实数根，

所以存在惟一的自然数内有且只有两个不同的实数根。

【范例4】已知函数

（1）求函数

（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.

解：（1

）

的反函数

使得方程在区间

.

的导数

；

（2）

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令：

所以

都是增函数.因此当

时，

的最大值为

的最小值为而不等式②成立当且仅当

即解法二：由

设

，于是得

得

于是原不等式对于

恒成立等价于 ③…7分

由

上单调递增，因此不等式③成立当且仅当

故有

，注意到

，从而可均在

即

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【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.

【文】如图所示，曲线段OMB ：交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA

(I)试用t表示切线PQ的方程；

(II)求

在（m ，n）上单调递减时

在点

轴于A，

（即点M）处的切线PQ

QAP的面积g（t）的最大值. 同时指出g（t）

的最小值。

2

解：（I）

K=

2

= 2 t,切线方程为 y–t = 2t(x-t),

即y = 2 t x - t( 0 < t < 6 )

(II)在切线方程中

令y = 0得 x =

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依题知

故

【自我提升】

的最小值是

的最大值是6，

函数

在

上单调递增；在

上单调递减

1函数 A．

2．过点（－1，0）作抛物线 A.

B. B．

有极值的充要条件是（ B ）

C． D．

的切线，则其中一条切线方程为（D）

C. D.

3．（浙江卷11）设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

高考 倒数概念的详细讲解

4（理）．函数

A．

4（文）.函

数

在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别

B．

C．

及

D．

的单调减区间是（ A ）

是 ( )

A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-19 5．当

时，

在

上是减函数．（

）

32

6．过点A（2，－1）作曲线y=x+x－2x的切线，则切线的方程 （ x+y=0或x+4y+2=0或31x－y－63=0）

7.已知函数

（Ⅰ）对满足

（Ⅱ）设只有一个公共点。

，当实数

在什么范围内变化时，函数

的图象与直线

的一切的值，都有

，求实数的取值范围； ，其中

是的导函数

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解：（Ⅰ）由题意

对

，恒有

，即

，令，

即，解得

故

（Ⅱ）

①当 ②当

时，对满足的一切的值，都有

时，的图象与直线只有一个公共点

时，列表：

又≧

当

当

由题意得

，即

，解得

时，恒有

时函数

的图象与直线

只有一个公共点。

的值域是

，且在

上单调递增

高考 倒数概念的详细讲解

综上，

的取值范围是

8.（理）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

a－1

令g′(x)＝0，解得x＝e－1， ……5分

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9分

a－1a－1

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e－1)是减函数，

a－1

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e－1，都有g(x)＜g(0)，

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． ……3分

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

a－1

令g′(x)＝0，解得x＝e－1， ……6分

a－1

当x＞ e－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

a－1

当－1＜x＜e－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分

a－1

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e－1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．

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8（文）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差

数列，且a＞0,d＞0.

设

，

在

A， B， C

［

1-，

］上

，将

点

(I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为

【解析】(I):

，求a ,d的值

令

,得

当

时, ; 当时,

所以f(x)在x=-1处取得最小值即

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(II) 的图像的开口向上,

对称轴方程为

由

即

知在

上的最大值为

又

由

当时

, 取得最小值

为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所

以

又由三角形ABC的面积为

得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得

.

解法

2:

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又c>0知

在上的最大值为即:

又

由

当时

, 取得最小值

为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所

以

又由三角形ABC的面积为

得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得 注：所有答案均为参考答案

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