课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题

数字信号处理 第三版

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

习题

1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定义为

(1) x(n)=1

(2) x(n)=δ(n)

(3) x(n)=δ(n－n0) 0<n0<N

(4) x(n)=Rm(n) 0<m<N

(5) n ) jNmn < N  x(=e,0 <m

π  2 (6) n ) x(=cos mn ,0<m<N2π

(7) x(n)=ejω0nRN(n)

(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)

(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)

(10) x(n)=nRN(n)

2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］

Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ

2

0 N k=m k=N m其它k

Njθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k

其中， m为正整数， 0<m<N/2, N为变换区间长度。

3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：

做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 

， 4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］

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证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k)

5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理

1x(0)=N∑X(k)

k=0N 1

6． 设x(n)的长度为N， 且

X(k)=DFT［x(n)］ 0≤k≤N－1

令

h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数

H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1

求H(k)与X(k)的关系式。 

7． 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列， 即X(k)=X*（N－k)； 若x(n)实偶对称， 即x(n)=x(N－n)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=－x(N－n)， 则X(k)为纯虚函数并奇对称。

8． 证明频域循环移位性质： 设X(k)=DFT［x(n)］， Y(k)=DFT［y(n)］， 如果

lnY(k)=X((k+l))NRN(k)， 则 y(n)=IDFT[Y(k)]=WNx(n)

9． 已知x(n)长度为N， X(k)=DFT［x(n)］，

mN-1

求Y(k)与X(k)的关系式。

10． 证明离散相关定理。 若X(k)=X1* (k)Ｘ2(k)

则

*x(n)=IDFT[X(k)]=∑x1(l)x2((l+n))NRN(n)

l=0N 1

11． 证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFT［x(n)］， 则

1N 1|x(n)|=∑|X(k)|2∑Nk 0n=02N 1

12． 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。 设

F(k)=DFT［f(n)］N 0≤k≤N－1

N（1） F(k)=1 a+j1 bN

kk1 aWN1 bWNa,b为实数

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（2） F(k)=1+jN

试求X(k)=DFT［x(n)］N，Y(k)=DFT［y(n)］N以及x(n)和y(n)。

13．已知序列x(n)=anu(n)， 0<a<1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样

N点， 采样序列为

X(k)=X(z)|z=ej2πk/Nk=0,1,L,N 1

求有限长序列IDFT［X(k)］N。

14．两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为

x(n)=0 n<0, 8≤n

y(n)=0 n<0, 20≤n

对每个序列作20点DFT， 即

X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19

Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19

试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等，为什么？

15．已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25，0.125-j0.3018，0，

0.125-j0.0518，0。 

（1） 求X(k)的其余3点的值；

（2） x 1 ( n ) = x ( n + 5 + 8 m ) R 8 ( n ) ，求X1(k)=DFT［x1(n)］8

m= ∞ ∑+∞

jπn/4（3） x 2 ( n ) = x ( n )e ，求 X2(k)=DFT[x2(n)]8

16．x(n)、x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、(b)和(c)所示，已知X(k)=DFT[x(n)]8。

X2(k)=DFT[x2(n)]8求 X 1 ( k ) = DFT[ x 1 ( n )] 8 和

［注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)。］

17． 设x(n)是长度为N的因果序列， 且 X(ejω)=FT[x(n)]

∞ y(n)= x(n+mM) RM(n) m= ∞ ∑Y(k)=DFT[y(n)]M

试确定Y(k)与X(ejω)的关系式。

18． 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F≤50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数：

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(1) 最小记录时间Tp min； 

(2) 最大取样间隔Tmax； 

(3) 最少采样点数Nmin； 

(4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 

19． 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： 

(1) 最小记录时间Tp min;

(2) 最低采样频率fs min;

(3) 最少采样点数Nmin。

20． 在下列说法中选择正确的结论。 线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h(n)在z平面实轴上诸点{zk}的Z变换H(zk)， 使

(1) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a为实数， a≠1; 

(2) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a为实数， a≠1; 

(3) (1)和(2)都不行， 即线性调频Z变换不能计算H(z)在z平面实轴上的取样值。

21． 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理， 要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现。 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)， 但相邻两段必须重叠V个点， 然后计算各段与h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积， 得到输出序列ym(n)， m表示第m段循环卷积计算输出。 最后， 从ym(n)中选取B个样值， 使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n)。

(1) 求V；(2) 求B；(3) 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些样点。  22． 证明DFT的频域循环卷积定理。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4vli.html