数学分析六章不定积分(1)

第六章 不定积分

第一节 不定积分的概念

正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法，我们已经知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数，提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等，本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学.

一、原函数与不定积分

定义6-1 设函数f与F在区间I上都有定义.若

F?(x)?f(x),x?I,

则称F为f在区间I上的一个原函数. 例如

112x是x在(??,??)上的一个原函数，因为(x2)??x；又如sinx与sinx?1都是

22cosx在(??,??)上的原函数，因为(sinx)??(sinx?1)??cosx.如果这些简单的例子都可

以从基本求导公式反推而得的话，那么

1F(x)?xarctanx?ln(1?x2)是f(x)?arctanx

2的一个原函数，就不那样明显了.事实上，研究原函数必须解决下面两个重要问题：

1. 满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存在，是否唯一? 2．若已知某个函数的原函数存在，又怎样把它求出来?

关于第一个问题，我们用下面两个定理来回答；至于第二个问题，其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法．

定理6-1 若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F,即F?(x)?f(x),x?I.

由于初等函数在其定义区间上为连续函数，因此每个初等函数在其定义区间上都有原函数(只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数)．当然，一个函数如果存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数． 定理6-2 设F是f在区间I上的一个原函数，则

① F?C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；

② f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数． 证明 ① 这是因为[F(x)?C]??F?(x)?f(x),x?I.

② 设F和G是f在I上的任意两个原函数，则有

[F(x)?G(x?)?]?(x?)?G(x F?)f(?x)f?(x)?0x,I根据第五章拉格朗日中值定理的推论，知道

F(x)?G(x)?C,x?I.

定义6-2 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，

记作：

其中称

?f(x)dx, （1）

?为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量．

尽管记号(1)中各个部分都有其特定的名称，但在使用时必须把它们看作一整体． 由定义6-2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F是f的一个原函数，则f的不定积分是一个函数族{F?C}，其中C是任意常数．为方便起见，写作

?f(x)dx?F(x)?C. （2）

[?f(x)dx]??[F(x)?C]??f(x), （3） d?f(x)dx?d[F(x)?C]?f(x)dx. （4）

这时又称C为积分常数，它可取任意实数值．于是又有

按照写法(2)，本节开头所举的几个例子可写作

13x?C, 31sin2xdx??cos2x?C, ?21arctanxdx?xarctanx?ln(1?x2)?C. ?22x?dx?此外，一个函数“存在不定积分”与“存在原函数”是等同的说法．

不定积分的几何意义： 若F是f的一个原函数，则称y?F(x)的图像为f的一条积分曲线．（如图6-1）于是，f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族．显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行．

图6-1

在求原函数的具体问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件它由具体问题所规定)的原函数，它就是积分曲线族中通过点F(x0)?y0(称为初始条件，

例如，质点作匀加速直线运动时，a(t)?v?(t)?a,则 (x0,y0)的那一条积分曲线．

v(t)??adt?at?C.

若已知v?t0??v0，代入上式后确定积分常数C?v0?at0于是就有

v(t)?a(t?t0)?v0

又因s?(t)?v(t)所以又有

s(t)??[a(t?t0)?v0]dt

?1a(t?t0)2?v0t?C1. 2若已知s(t0)?s0，则C1?so?v0t0代入上式得到 s(t)?1a(t?t0)2?v0(t?t0)?s0 2二、基本积分表

怎样求原函数?读者很快就会发现这要比求导数困难得多．原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性，即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数厂，而没有指出怎样由厂求出它的原函数的具体形式和途径因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探．

首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：

1.0dx?C. 2．?1dx??dx?x?C.?

x??13．?xdx??C(???1,x?0).

??1?4．

1?xdx?ln|x|?C(x?0).

xx5．edx?e?C.

?ax6．?adx??C(a?0,a?1).

lnax7．cos?xdx???1?sin?x?C(??0).

8．sinaxdx??1cosax?C(a?0). a29．secxdx?tanx?C.

?210．cscxdx??cotx?C.

?11. secx?tanxdx?secx?C. 12. cscx?cotxdx??cscx?C.

??13.

?dx1?x2?arcsinx?C??arccosx?C1.

14.

dx?1?x2?arctanx?C??arccotx?C1.

上列基本积分公式，必须牢牢记住，因为其他函数的不定积分经运算变形后，最后归为这些基本不定积分，当然，仅有这些基本公式是不够用的，即使像lnx,tanx,cotx,secx,

cscx,arcsinx,arctanx这样一些基本初等函数，现在还不知道怎样去求得它们的原函数，

所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则，并逐步扩充不定积分公式. 最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则：

定理6-3 若函数f与g在区间I上都存在原函数，则k1f?k2g在Ik1,k2为两个任意常数，上也存在原函数，且当k1和k2不同时为零时有

?[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1?f(x)dx?k2?g(x)dx. (5)

证明 这是因为

[k1?f(x)dx?k2?g(x)dx]'?k1(?f(x)dx)'?k2(?g(x)dx)'

?k1f(x)?k2g(x)

线性法则(5)的一般形式为

?(?kf(x))dx??k?f(x)dx. (6)

iiiii=1i=1nn根据上述线性运算法则和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分. 例1 p(x)?a0xn?a1xn?1?L?an?1x?an

?p(x)dx?a0n?1a1nax?x?L?n?1x2?anx?C. n?1n2x4?12例2 ?2dx??(x2?1?2)dx

x?1x?1?13x?x?2arctanx?C. 3dxcos2x?sin2x例3 ??dx.

cos2xsin2x?cos2xsin2x??(csc2x?sec2x)dx??cotx?tanx?C.

例4 cos3x?sinxdx??1(sin4x?sin2x)dx 2?111?(?cos4x?cos2x)?C 2421??(cos4x?2cos2x)?C.

8x?x22x?2x例5 (10?10)dx?(10?10?2)dx

????[(102)x?(10?2)x?2]dx

?1(102x?10?2x)?2x?C. 21n10例6 求不定积分|x?1|dx.

解 设

??x?1,x?1, f(x)?|x?1|???1?x,x?1.因为f(x)在(??,??)上连续，所以不定积分

?x?1dx在(??,??)上存在.

12x?x是f(x)在[1,??)上的一个原函数.设F(x)为f(x)的一个原函数，且满足 21F(x)?x2?x,x?[1,??)

2则当x?(??,1]时，F?(x)?1?x.所以存在常数C1,使得

1F(x)??x2?x?C1,x?(??,1].

2易见

因为F(x)在(??,??)上连续，所以在x?1处连续，从而有

11??1?C1??1 22即C1??1，因此

?12x?[1,??)x?x,??2F(x)??

??1x2?x?1,x?(??,1]??2?x?1dx?F(x)?C.

第二节 换元积分法与分部积分法

虽然我们给出了不定积分的一些性质和积分运算法则以及基本积分公式，但我们仅对较简单的函数易求不定积分，而对较复杂的就较难求了。例如

?xsinxdx就不能用运算法则

来求，所以我们要另辟途径来求不定积分。这里我们介绍两种方法：换元积分法和分部积分

法。

一、换元积分法（凑微分法和变量置换法）

由复合函数求导法，可以导出换元积分法．

?(t)在区间J上可导，且定理6-4 (换元积分法) 设函数f(x)在区间I上有定义，

?(J)?I．

① 如果不定积分

?f(x)dx?F(x)?C在I上存在，则不定积分

?f(?(t))??(t)dt在J上也存在，且

?f(?(t))??(t)dt?F(?(t))?C. （1）

?1 ② 如果x??(t)在J上存在反函数t??(x),x?I，且不定积分?f(x)dx在I上存

在，则当不定积分

?f(?(t))??(t)dt?G(t)?C在J上存在时，在I上有

?f(x)dx?G(??1(x))?C. （2）

证明 ㈠ 用复合函数求导法进行验证：因为对于任何t?J,有

d(F(?(t)))?F?(?(t))??(t)?f(?(t))??(t), dt所以f(?(t))??(t)以F(?(t))为其原函数，（1）式成立；

㈡ 设

?f(x)dx?F(x)?C.对于任何t?J有

d(F(?(t))?G(t))?F?(?(t))??(t)?G?(t) dt?f(?(t))??(t)?f(?(t))??(t)?0.

所以存在常数C1，使得F(?(t)?)G?t()C于任何t?J成立，从而1对

x?I成立，因此对于任何x?I有 G(??1(x)?)F?(x1)对于任何的Cd(G(??1(x)))?F?(x)?f(x), dx?1即C(?(x))为f(x)的原函数，(2)式成立.

注意1 定理中“不定积分结论可能不成立，例如：设

?f(x)dx存在”是②成立的一个必需条件，否则

?1,x?[0,8],3 ?(t)?t,t?[0, 2].f(x)???0,x?0,则x??(t)在[0,2]上存在反函数，且在[0,2]上不定积分

?f(?(t))??(t)dt??3tdt?t?f(x)dx不存在

23?C

存在.但是f(x)在[0,8]上有第一类间断点x?0，所以在区间[0,8]上不定积分

注意2 如果在②中将条件“x??(t)在J上存在反函数t??(x),x?I”换成更强的条件 “??(t)?0,x?J且?(J)?I”， 则当不定积且有

?1?f(?(t))??(t)dt?G(t)?C在J上存在时，

?1?f(x)dx?G(?(x))?C.

这是因为在条件“??(t)?0,x?J且?(J)?I”下，x??(t)在J上存在反函数

t???1(x),x?I，然后直接用复合函数和反函数求导法可得

d(G?(??1(x)))?G?(??1(x))(??1(x))? dx

?f(?(t))??(t)|t=??1(x)?1|?1?f(x). ??(t)t=?(x) 上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分 别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式.

下面的例1至例5采用第一换元积分法求解，在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：

?f(?(x))?'(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C. (1')

例1 求tanxdx.

解 由

??tanxdx??可令u?cosx,g(u)?sinx(cosx)'dx???dx, cosxcosx1,则得 u1tanxdx????udu??lnu?C

??ln|cosx|?C.

11例2 ?2exdx

x解 设

11?t,dx??2dt,有 xt11112ttt?x2exdx??te(?x2)dt???edt??e?C??ex?C.

dx?a2?x2（a?0）.

xd()dx1a?令u?x)? 解?2???a?x2a?1?(x)2?a?a1du1???arctanu?C 2a1?ua1x?arctan?C. aa例3 求

对换元积分法较熟练后，可以不写出换元变量u,而直接使用公式(1'). 例4求

?dxa?x22(a?0).

解

?dx??x22?1a?dxx1?()2ax?arcsin?C.

a??xd()a x1?()2a例5求

dx?x2?a2(a?0).

dx111?(?)dx 解?22?x?a2ax?ax?a1?d(x?a)d(x?a)? ?????2a?x?ax?a?1?[ln|x?a|?ln|x?a|]?C 2a1x?a?ln||?C.2ax?a

例66x?24?3x3dx.

解 x?24?3x3dx?11334?3xdx??4?3x3d(4?3x3) ??39231223332???(4?3x)?C??(4?3x)?C9327

例7 求secxdx.

解 解法一 利用例4的结果可得

??secxdx??解法二

cosxd(sinx)dx??1?sin2x cos2x11?sinx?ln||?C. 21?sinx?secxdx??secx(secx?tanx)dx

secx?tanxd(secx?taxn)??

secx?taxn

txan?C|

xc? ?ln|se这两种解法所得结果只是形式上的不同．

从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式凑成

f(?(x))??(x)dx的形式，以便选取变换u??(x),化为易于积分的?f(u)du.最终不要忘

记把新引入的变量(u)还原为起始变量(x).

第二换元积分法从形式上看是第一换元积分法的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)．以下例8至例10采用第二换元积分法求解． 例8 求

?du. 3u?u解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令

u?x6,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分：

?du6x512?dx?6(x?x?1?)dx 32??3x?xx?1u?ux3x2?6(??x?lnx?1)?C

32?2u?33u?66u?61n|6u?1|?C.

例9 求

?a2?x2dx(a?0).

解 令x?asint,|t|?于是

?2 (这是存在反函数t?arcsin的一个单调区间)．

xa?a2?x2dx??acostd(asint)?a2?cos2tdt

a2a21??(1?cos2t)dt?(t?sin2t)?C 222

a2xxx?(arcsin?1?()2)?C 2aaa 1x?(a2arcsin?xa2?x2)?C.

a 2有些不定积分还可采用两种换元方法来计 例10 求

?xdx2x?12

解 [解法一] 采用第一换元积分法：

22?d?1?t(t?tan) ????dt221?t2?cos?2?1?t2???由于

22tdt?arctan?C t2?33322?arctan(tan)?C.

233tan?2?sin?tan??

1?cos?sec??1u()2?1?2?u?12因此

x2?2x?3,

x?12x2?2x?3I?arctan?C.

33(x?1)[解法二] 若令x?2x?3?x?t,则可解出

2t2?3t2?2t?3x?,dx?dt,

2(t?1)2(t?1)2t2?3?(t2?2t?3)x?2x?3??t?.

2(t?1)2(t?1)2于是所求不定式积分直接化为有理函数的不定积分：

2(t?1)2(t?1)t2?2t?3I??2??dt

t?3?(t2?2t?3)2(t?1)2???2dt2t?3

??2tarctan?C 332x2?2x?3?x?arctan?C.

33注意1 可以证明

x2?2x?3?xx2?2x?3?arctan?arctan?,

333(x?1)所以两种解法所得结果是一致的，此外，上述结果对x?0同样成立.

注意2 相比之下，解法二优于解法一，这是因为它所选择的变换能直接化为有理形式(而解法一通过三次换元才化为有理形式).如果改令

x2?2x?3?x?t,

显然有相同效果——两边各自平方后能消去x项，从而解出x为t的有理函数. 一般地，二次三项式ax?bx?c中若a?0,则可令

22ax2?bx?c?ax?t;

若c?0,还可令

ax2?bx?c?xt?c.

这类变换称为欧拉变换.

二、三角函数的积分法

由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.

?R(sinx,cosx)dx是三角函数有理式的不定积分.一般通过变换t?tan有理函数的不定积分.这是因为

x，可把它化为2xxx2sincos2tan22?2?2t, （8） sinx?21?t2x2x2xsin?cos1?tan222xxxcos2?sin21?tan21?t2222(9) cosx???,2xxx1?tsin2?cos21?tan2222

dx?2dt, （10） 1?t22t1?t22,)dt. 所以?R(sinx,cosx)dx??R(1?t21?t21?t2

例4 求

1?sinx?sinx(1?cosx)dx.

x,将(8)、(9)、(10)代人被积表达式， 2解 令t?tan2t1?sinx21?t2dx??dt 22?sinx(1?cosx)?2t1?t1?t(1?)221?t1?t11??(t?2?)dt

2t1?

1t2?(?2t?ln|t|)?C22 ?1xx1xtan2?tan?ln|tan|?C. 42222x对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味2注意 上面所用的变换t?tan着在任何场合都是简便的. 例5 求

dx?a2sin2x?b2cos2x(ab?0).

dxsec2xd(tanx)?dx?, 解 由于?2222222222??asinx?bcosxatanx?batanx?b故令t?tanx,就有

dxdt??a2sin2x?b2cos2x?a2t2?b2

?1d(at)a?(at)2?b2

?1atarctan?C abb?221aarctan(tanx)?C. abb通常当被积函数是sinx,cosx及sinxcosx的有理式时，采用变换t简便，其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换.

?tanx往往较为

至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积的求法，需要指出的是，通常所说的“求不定积分”,是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来，在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的.

例如e??x2dx,?dxsinx,?dx,?1?k2sin2xdx(0?k2?1)等等， lnxx虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示(这个结论证明起来是非常难的，刘维尔( Liouville)于1835年作出过证明).因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数，在下一章将会知道，这类非初等函数可采用定积分形式来表示.

最后顺便指出，在求不定积分时，还可利用现成的积分表，在积分表中所有 的积分公式是按被积函数分类编排的，人们只要根据被积函数的类型，或经过适 当变形化为表中列出的类型，查阅公式即可，此外，有些计算器(例如TI-92型) 和电脑软件(例如Mathemetica, Maple等)也都具有求不定积分的实用功能，但 对于初学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法.

习题六

1．计算下列不定积分：

1?x2x?23x2?1)dx; (3)?(1)?(3?x)dx; (2)?(dx;

4xx231x2x2(4)?(1?2)xxdx; (5)?dx; (6)?dx;

x1?x21?x2(7)?(2x?3x)2dx; (8)?(1?sinx?cosx)dx; (9)?1?sin2xdx;

x21(10)?tanxdx; (11)?(12)dx; ?(x?1)(x?3)dx; (1?x)1002(13)?1dx. 4sinx2.计算下列积分 （1）

dxdxdx?2x;; （2） （3）?x?a?2?3x2; （4）?edx; ?2?5x（5）

?xdxdxln2x; （7）?dx; ; （6）?dx; （8）?221?xxx(1+x)2?3xdx

（9）

dxdxdx5;sin （10）（11） （12）;;x?x?e?e?xcosxdx; ?xlnxln(lnx)?1?e2x（13）tanxdx; （14）3. 计算下列积分；

?dxdxdx;;（15） （16）?sinx?sin2x?2cos2x?(arcsinx)21?x2

(1)?x231?xdx; (2)?x2dx; (3)?(x?a)(b?x)dx; 2?xx2dxdxdx; (4)?; (5)?2; (6)?22(1?x2)3/2(x?a2)3/2a?x(7)?xxdx. 2a?x24. 计算下列积分；

(1)?xe?1dx; (2)?x3e?xdx; (3)?xcosxdx; (4)?arctanxdx; (5)?(lnx2)lnx?()dx; (6?x?1x2d x) (7)?arcsinxdx. x25. 计算下列积分；

(1)?(3)?2x?3dxdx; (2)?2;

(x?2)(x?5)(x?4x?4)(x2?4x?5)dxxdx;(4) ?x3?3x?2. x3?16. 计算下列积分；

sin2xdx(1)?; (2)?dx;

2sinx?cosx?5sinx?2cosx(3)?dxdx(i)0???1,(ii)??1; (4?)

21??cosxx?x?x?1(5)?

dx. 2[1?x?1?x)]

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