复习题1.2.3及解答

复习题一

一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生

3）A、B、C不多于一个发生

2．设A,B为随机事件，P(A)?0.5,P(B)?0.6，P(BA)?0.8. 则P(A?B)? .

3．设事件A,B相互独立, P(A)??,P(B)?0.3，P(A?B)?0.7. 则?? .

4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

k6.设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)(k?1,2,???则)A?______________.

?ax?b,0?x?1,

0,其它?且P{x?1/2}?5/8,则a?_______ _，b?___ _.

28.设X～N(2,?),且P?2?X?4??0.3,则P?X?0?? _______ .

809. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，

817. 已知随机变量X的概率密度函数为f(x)??则该射手的命中率为_________

10.若随机变量?在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+?x+1=0有实根的概率是

11.已知X~N(?2,0.4)，则E[(X?3)]? . 12.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则13.设X的概率密度为f(x)?22D(3X?Y)?

1?e?x，则D(X)＝

214.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为?=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

15.设D(X)?25,D?Y??36,?xy?0.4，则D(X?Y)?

1

16. 设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且均值为?,方差为

?特别是，当同为正态分布时，对于任意的n，都精确有X～

X??或n～ .

?

217.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2的)样本，令 Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2, 则当C? 时CY～?2(2)。18. 设容量n = 9的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

19. 设X1,X2,?Xn为来自正态总体X~N(?,?2)的一个简单随机样本，则

?2,那么当n充分大时,近似有X～ 或 nX??～ 。

1n样本均值????i服从

ni?120. 设总体X～b(n,p),0?p?1,X1,X2,???,Xn为其子样，n及p的矩估计分别是

21. 设总体X～U?0,??,(X1,X2,???,Xn)是来自X的样本，则?的最大似然估计量是

22. 设总体X～N(?,0.9)，X1,X2,???,X9是容量为9的简单随机样本，均值x?5，则未知参数?的置信水平为0.95的置信区间是 23.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

24.在上述23题的条件下，零件尺寸偏差的方差的无偏估计量是 25.设总体X～N(?,?)，?,?为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均值记为X，样本标准差为S，在显著性水平?下，检验假设

222H0:??80，H1:??80的拒绝域为 ，在显著性水平?下，检

验假设H0:?2??02（?0已知），H1:?1??02的拒绝域为 二、计算题

2

1.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。（8/15） 解：设A为事件“任意取两把钥匙能打开门”

2C78P(A)?1?2?

C10152.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂、乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取到正品的概率。（0.92） 解：用Ai表示“取到第i箱”（i?1,2,3），B表示表示“取到正品”

532，P(A2)?，P(A3)? 10101019114119P(BA1)?1????，P(BA2)?1?，P(BA3)?1?

101015852020P(A1)?由全概率公式得

3P(B)??P(Ai)P(BAi)?0.92

i?13.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产

品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回 （1）P{X?K}?(3/13)（2）

k?1(10/13)，k?1,2,3,?

2 3 4 X 1 P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11) x?1?0,?4.设随机变量X的分布函数为F(x)??axlnx?bx?1,1?x?e

?1,x?e? 试求：（1）常数a,b； （2）X的概率密度。

F(x)?limF(x)?F(1) 解：由 lim??x?1x?1F(x)?limF(x)?F(e) 得 lim??x?ex?e 3

?b?1?0 得a?1,b??1 ??ae?be?1?1概率密度函数 f(x)???lnx,?0,1?x?e其他

5. 对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内，求体积的密度函数。 解：设球的直径为X,体积为Y，Y?1?X3 6

?1?， fX(x)??b?a??0，a?x?b，其他Y的分布函数：FY(y)?P{Y?y}?P??X3?y?

?1?6???6y?3?P?X??

????FX(336y?)

6y 或 ?????fX(x)dx

Y的概率密度：

fY(y)?d6y1?6y?FY(y)?fX(3)???dy?3????23?6?

1?231?16?a3?b3??3?y，?y?，?? ??b?a???366

?0，其他?6. 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X~N(168,7),问车门的高度应如何确定？ 解：设车门的高度为h.依题意有

2P{X?h}?1?P{X?h}?0.01

4

即

P{X?h}?0.99

因为P{X?h}??(h?168)，查标准正态分布表得7?(2.33)?0.9901?0.99，所以得

h?168?2.33 7即h?184.31，故车门的设计高度至少应为184.31cm方可保证男子与车门碰头的概率在0.01以下。

x??a,?0,?x7. 设随机变量X的分布函数为：F(x)??A?Barcsin,?a?x?a,

a?x?a.?1 求：（1）系数A与B； （2）P??2a?X?率密度。

解: (1) ?F(a)???a??； （3）X的概2?limx?aF(x)?1, ?1?A??2B

?F(?a)?limF(x)?0, ?0?A??2B

x??a ?A?11,B? 2?(2) P??2a?X? ???a?a?a???P??2a?X???F(?2a)?F(?) 2?2?2?11a/22?arcsin?0? 2?a3??11x??? (3) f(x)???2??arcsina??a?x?a

???0其它? 5

??11??22?????a?x?0????a?x?a? ?其它

8.把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。

X0 1 3/8 2 3/8 3 Y 1 3 Pj 3/4 1/4 1 0 1/8 1/8 0 1/8 1/8 0 3/8 0 3/8 Pi

9.设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0, f(x,y)??其他0,?求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。

解：（1） 利用 即

??0??????????f(x,y)dxdy?1

???0dx?Ce?(3x?4y)dy?1，解得 C?12

（2）D??(x,y):0?x?1,0?y?2?，

P?(X,Y)?D??P{0?X?1,0?Y?2}???f(x,y)dxdy

D???12eD1?(3x?4y)dxdy ??dx?12e?(3x?4y)dy

0012?12?e?3xdx?e?4ydy?(1?e?3)(1?e?8)

00210. 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x， （1）求系数A，

（2）求关于X及Y的边缘密度; （3）X与Y是否相互独立？ 解：（1）D??(x,y):0?x?1,0?y?x?

6

??f(x,y)dxdy?1， 得 ??Ay(1?x)dxdy?1

由

???????? D 即

?dx?01x0Ay(1?x)dy?1，

解得 A?24

x????24y(1?x)dy,0?x?1（2） fX(x)??f(x,y)dy???0

???其他?0,?12x2(1?x),0?x?1??

其他?0,?124y(1?x)dx,0?y?1???fY?y???f?x,y?dx???y

???其他?0,?12y(1?y)2,0?y?1??

,其他?0（3） f(x,y)?fX(x)fY(y)，(x,y)?D

X与Y不独立

11.盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。

解：X为取到的3个球中包含的白球数，X?0,1,2,3

k3?kC4C3 P{X?k}?,k?0,1,2,3 3C7X 0 1 2 3 Pk 1 353k?012 3518 354 35E(X)??xkpk?12 7 7

2E(X)??xkpk?2k?0324 724 49D(X)?E(X2)?(EX)2?12.一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。

12.E(X)?k(n?1)k(2,D(X)?n2?1)12 解：设Xi为第i次取到的卡片的号码，Xi?j，j?1,2,?,nkX??Xi，Xi相互独立

i?1P{X1n1n?1i?j}?n， E(Xi)??j?j?1n?2

kE(X)??E(Xi)?k(n?1)i?12 E(X2n)??j21i?n?(n?1)(2n?1)j?16 2D(X)?E(X2i)?(EX2n?1i)?12

kD(X)??D(Xk(n2?1)i)? i?112

13. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

f(x,y)???k,0?x?1,0?y?x?0,其他 求：① 常数k. ② E?XY?及D(XY).

解：（1）设D?{(x,y):0?x?1,0?y?x}

1?x,y)dxdy?R??f(?R??kdxdy?kSkD?2，k?2 D 8

1xE(X)?R?R??xf(x,y)dxdy??dx?2xdy?001x2， 3E(Y)?1， yf(x,y)dxdy?dx2ydy?????3R?R001xE(XY)?R?R??xyf(x,y)dxdy??dx?2xydy?001x2R?R001， 41， 9E[(XY)]?222(xy)f(x,y)dxdy?dx2x????ydy?所以，D(XY)?E[(XY)2]?[E(XY)]2?7 14414.设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6880到7120之间的概率。（0.8542，0.9912）

解：设X表示夜晚同时开灯数，则X~B(n,p)，n?10000,p?0.7 E(X)?np?700，0D(X)?npq?2100 由切比雪夫不等式得P?6880?X?7120??1?由中心极限定理得

DX?0.8542 1202???(P?6880?X?71207120?70006880?7000)??()

21002100 ??(2.62)??(?2.62)?0.9912

15.设X1,X2,???,Xn为总体X的一个样本, X的密度函数

??x??1,0?x?1，??0求参数?的矩估计量和最大似然估计f(x)??0,其他?n??X.????量。（?.） n1?X?lnXii?1

9

解：矩估计：总体X的一阶矩?1?E(X)????1,

1n 样本一阶矩A1??Xi?X

ni?1由 E(X)????1?A1?X 解得?，即得?的矩估计量为

?? ?X. 1?X最大似然估计： （1）似然函数为

??xi?1n??1i??(?xi)??1；

ni?1n （2） lnL?nln??(??1)?lnx

ii?1nnd[lnL(?)]n （3）???lnxi?0，

d??i?1???（4）解出 ?n?lnxi?1nd2lnL?n,由于?2?0，

d?2?i??故?的最大似然估计值为?n?lnxi?1n,

i????的最大似然估计量为?n?lnXi?1n.

i16.设X服从参数为?的泊松分布，试求参数?的矩估计与最大似然估计。（?矩?X,?极大?X）

解：矩估计：总体X的一矩?1?E(X)??

10

1n 样本一阶矩A1??Xi?X

ni?1由 E(X)?A1?X 解得?，即得?的矩估计量为

1n? ??X??Xi.

ni?1最大似然估计：P?X?x???xx!e??(x?0,1,2,?)

?，xn;?)?（1）似然函数为：L(x1，x2，?x!ei?1in?xi???e?n???xii?1n?x!ii?1nniin；

（2）lnL??n???xln???ln(x!)=?n??ln??x??ln(x!)

iii?1i?1i?1i?1nndlnL1n1n（3）??n??xi，令?n??xi=0，

d??i?1?i?1xi?2ndlnL1????i?12?0， （4）解出?xi?x，由于?2d??ni?1n??X. ??x,?的最大似然估计量为?故?的最大似然估计值为?17．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为

6.0 , 5.7 , 5.8 , 6.5 , 7.0 , 6.3 , 5.6 , 6.1 , 5.0 ， 设干燥时间总体服从正态分布，求?,?的置信水平为0.95的置信区间。

219解：x??xi?6.0，s?(xi?x)?0.33 ?9?1i?1i?11022 11

t0.05(9?1)?2.306

2 ?的置信区间为 [x?t?(n?1)?2sn,x?t?(n?1)2sn]

?(6?2.306?0.339,6?2.306?0.339)?(6?0.44,36?0.44)3

=（5.557,6.443）

2??(n?1)?17.534，?2?(n?1)?2.18 221?2?(n?1)s2(n?1)s2??的置信区间为??17.534,2.18???(0.15,1.21)

??18．由生产经验知，某种钢筋的强度服从正态分布N(?,?2)，但?和?2均未知。今随机抽取6根钢筋进行强度试验，测得强度（单位：MPa）分别是：485，490，535，495，560，525。（1）问能否认为该种钢筋的强度为520(??0.05)？

（2）能否认为该种钢筋的方差为780？(??0.05)

解：（1）原假设 H0:??520; 备择假设 H1:??520 x?1(485?490?535?495?560?525)?515 61s2?[(485?515)2?(490?515)2?...?(525?515)2]?890

5 t?(n?1)?t0.025(5)?2.57

2 拒绝域为 |t|?|x??0|?t?(n?1) s2n |t|?0.41?2.57

12

故接受H0，即可以认为钢筋的平均强度为520MPa 。 （2）??(n?1)?11.143，?2221??2(n?1)?0.484

拒绝域

??2?11.143??2?0.484，

????2?6.14，

故接受H0，即可以认为钢筋的方差为780

19．一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为21.5小时. 有一实验室检验了该公司制造的6套电池, 得到如下的寿命小时数:

19, 18, 22, 20, 16, 25

试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公司所声称的寿命? (假定电池的寿命服从正态分布，显著性水平??0.05)

解：H0:??21.5 H1:??21.5.——t检验法的左侧检验法

检验统计量 t?x??0s/n.

?0?21.5,n?6, 对于给定的显著性水平??0.05, 查表得

t?(n?1)?t0.05(5)?2.015.

拒绝域??. t??t?(n?1)??2.0156??1.162.

s/n10因为t??1.162??2.015??t0.05(5), 所以接受原假设H0, 从而认为这种类

计算: x?20,s2?10.t?x??0?20?21.5型电池的寿命并不比公司宣称的寿命短.

20．某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在64(kg2)与64以下. 最近从一批产品中抽取10根作折断力试验, 测得的结果(单位为千克)如下:578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570.检验方差是否变大，即精度是否降低？（假定金属丝折断力服从正态分布, 显著性水平??0.05）

解：H0:?2??0?64， H1:??64.——?检验法

222 13

H0真，构造检验统计量

??2(n?1)S2?02

2 给定 ??0.05，??(n?1)?16.919，

拒绝域： 计算,

??22???)?19.023. 2(n?1?x?575.2,s?8.7,s2?75.73,?2?10.65,10.65?16.919

接受H0，可以认为方差没有变大，即精度没有降低

三、证明题

1．设A，B是两个事件，满足P(BA)?P(BA)，证明事件A，B相互独立。

证明： 若P(A)?0，则P(AB)?0，

P(AB)?P(A)P(B)，故事件A，B相互独立。

若P(A)?0，则P(AB)?0，

P(AB)?P(A)P(B)，故事件A，B相互独立，则A，B相互独立。

若P(A)?0，P(A)?0

P(BA)?P(AB)P(AB)P(B)?P(AB)，P(BA)? ?P(A)1?P(A)P(A)由已知P(BA)?P(BA)得

P(AB)P(B)?P(AB)?

1?P(A)P(A)即 P(AB)?P(A)P(B)，故事件A，B相互独立

?2X2. 设随机变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e在区间（0，1）上服从均匀分布。

?2e?2x提示：参数为2的指数函数的密度函数为f(x)???0

x?0x?0 ，

14

利用Y?1?e?2x?1??ln(1?y)的反函数x??2?0?即可证得。

?2e?2x证：参数为2的指数分布X的密度函数为f(x)???0x?0x?0 ，

Y的分布函数为FY(y)?P(Y?y)

?F?y}???P{X??11?y)},Y(y)?P{Y?y}?P{1?e?2Xln(?2?1,?1 ???FX[?2ln(1?y)],y?1

??0,y?1?f)?df[?1ln(1?y)]?1,y?1,dyF??XY(yy(Y)?22(1?y)

??0,y?1??2e?2?????11?y)?2ln(?????1,0?y?1, ?2(1?y)?0,其它

???1,0?y?1,?0,其它

?y?0??0?y3 ??e?xdxy?0?0故Y?1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布。

y?1 y?115

复习题一答案

一、填空题

1 .（1） A?B?C （2） ABC?ABC?ABC

（3） BC?AC?AB 或 ABC?ABC?ABC?ABC;2 0.7 ; 3. 3/7 ；

b?1/2 ；4. 4/7! = 1/1260 ; 5. 0.75; 6.1/5 ； 7. a?1， 8. 0.2 ； 9. 2/3； 10. 4/5

11. 1.16; 12. 7.4; 13. 1/2 ; 14. 46; 15. 85;

16.N(?,?2n),N(0,1),N(?,?2n),N(0,1); 17.1/8

???2?X?S218.?=7.22， S=1.94； 19.N??,?;20.n?,p?1? ;

pnX??2

21.??max{X1,X2,???,Xn} 22.[4.412,5.588]; 23. 2 24. 5.78; 25.

?X?80??t?(n?1)??2?S/n??(n?1)S2??(n?1)S2?22??(n?1)???(n?1)???? ??221?22??0???0?二、计算题

1.（8/15）；2.（0.92）；3. （1）P{X?K}?(3/13)（2）

k?1,

(10/13)

2 3 4 X 1 P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11) 4.（1） a?1,b??1 （2）概率密度函数 f(x)???lnx,?0,1?x?e其他

1?231?16?a3?b3??3?y，?y?，??5. fY(y)??b?a???366

?0，其他? 16

6.提示：P{x?h}?0.01利用后式求得h?184.31（查或P{x?h}?0.99，表?(2.33)?0.9901） 7. 解: (1) ?F(a)?limx?aF(x)?1, ?1?A??2B

?F(?a)?limF(x)?0, ?0?A??2B

x??a ?A?11,B? 2?(2) P??2a?X? ???a?a?a???P??2a?X???F(?2a)?F(?) 2?2?2?11a/22?arcsin?0? 2?a3??11x??? (3) f(x)???2??arcsina??a?x?a

???0其它???11??22?????a?x?0?8. X???a?x?a? ?其它3 0 1 3/8 2 3/8 Y 1 3 Pj 3/4 1/4 1 0 1/8 1/8 0 1/8 1/8 0 3/8 0 3/8 Pi 9. (1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8)

10. （1）A?24，

?12x2(1?x),0?x?1（2）fx(x)?? ；

0,其他? 17

?12y(?1y2),?0y?1 fy(y)??

0,其他?（3）X与Y是否相互独立？ (不独立)

1224,D(X)? 749k(n?1)k(n2?1),D(X)?12. E(X)? 21211. E(X)?

13. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144)；

14. 0.8542，0.9912

??15.（?X???.?1?Xn?lnXi?1n.）

i

16.设X服从参数为?的泊松分布，试求参数?的矩估计与最大似然估计。（?矩?X,

?极大?X）

17.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为

6.0 , 5.7 , 5.8 , 6.5 , 7.0 , 6.3 , 5.6 , 6.1 , 5.0 ， 设干燥时间总体服从正态分布，求?,?的置信水平为0.95的置信区间。

2192解：x??xi?6.0，s?(xi?x)?0.33 ?9?1i?1i?1102 t0.05(9?1)?2.306

2 ?的置信区间为 [x?t?(n?1)?2sn,x?t?(n?1)2sn]

?(6?2.306?0.339,6?2.306?0.339)

?(6?0.443,6?0.443)=5.557,6.443）

18

?2?(n?1)?17.534，?21??(n?1)?2.18 22?2的置信区间为???(n?1)s2(n?1)s2?17.534,2.18???(0.15,1.21)

??18、解：（1）原假设 H0:??520; 备择假设 H1:??520

x?16(485?490?535?495?560?525)?515 s2?15[(485?515)2?(490?515)2?...?(525?515)2]?890 t?(n?1)?t0.025(5)?2.57

2 拒绝域为 |t|?|x??0s|?t?(n?1) n2 |t|?0.41?2.57

故接受H0，即可以认为钢筋的平均强度为520MPa 。 （2）?22?(n?1)?11.143，?(n?1)?0.484

21??2拒绝域??2?11.143????2?0.484?，

?2?6.14，

故接受H0，即可以认为钢筋的方差为780

19、解：H0:??21.5 H1:??21.5.——t检验法的左侧检验法

检验统计量 t?x??0s/n.

?0?21.5,n?6, 对于给定的显著性水平??0.05, 查表得

t?(n?1)?t0.05(5)?2.015.

19

拒绝域??. t??t?(n?1)??2.0156??1.162.

s/n10因为t??1.162??2.015??t0.05(5), 所以接受原假设H0, 从而认为这种类

计算: x?20,s2?10.t?x??0?20?21.5型电池的寿命并不比公司宣称的寿命短.

20、解：H0:?2??0?64， H1:?2?64.——?2检验法 H0真，构造检验统计量

2??2(n?1)S2?02

2 给定 ??0.05，??(n?1)?16.919，

拒绝域：

??22???(n?1)?16.919.

?计算, x?575.2,s?8.7,s2?75.73,?2?10.65,10.65?16.919 接受H0，可以认为方差没有变大，即精度没有降低 复习题二

一、设P(A)?0.4，P(B)?0.5，P(AB)?0.3，求 P(A?B)

二、某电厂由甲、乙两台机组并联向一城市供电，当一台机组发生故障时，

另一台机组能在这段时间满足城市全部用电需求的概率为85% ，设每台机组发生故障的概率为0.1，且它们是否发生故障相互独立。求保证城市供电的概率

三、设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,???x???, 求 （1）系数A,B，

（2）P(?1?X?1)， （3）密度函数f(x)

20

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