专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律（有答案）

专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；

规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。 【典型题目练习】

1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ） A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上

B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D．只要速度满足v?qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上 m2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)10-7kg、电荷量磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×

q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ） A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点

3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度B的大小；

（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；

（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总

圆形有界磁场中“磁聚焦” 第1页

时间t。

4．如图所示的直角坐标系中，从直线x=?2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A（?2l0，?l0）点到C（?2l0，0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场。从A点射入的粒子恰好从y轴上的A?（0，?l0）点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。 （2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？

（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

5．如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（y??10x2?x?0.025，单位：m）和直线DH（y?x?0.425，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=1×10-6 kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4 C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间。 （1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径； （2）试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直；

（3）通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。

圆形有界磁场中“磁聚焦” 第2页

6．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。电场的场强大小均为E，区域Ⅰ的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为22mEL，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向外；qL2区域Ⅳ的圆心坐标为（0，?L）、磁场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为m、电荷量232L2322?3L）4均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（?L，）、（?L，的两点。在x轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求： （1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。 （2）粒子M击中感光板的位置坐标。 （3）粒子N在磁场中运动的时间。

7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1。虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2。B1，B2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q（粒子重力不计）。求： （1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。

（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标。

（3）试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。

圆形有界磁场中“磁聚焦” 第3页

8．如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0×10?3T，方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m的匀强电场区域,电场强度E=1.5×103N/C，在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷

q?1.0?109C/kg带负电的粒子，粒m子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求： （1）粒子M进入电场时的速度。

（2）速度方向与y轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N，最后打到荧光屏上,画出粒子N的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。

9．如图甲所示,质量m=8.0×10?25kg，电荷量q=1.6×10?15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0×107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(π=3.14)求： （1）粒子从y轴穿过的范围。 （2）荧光屏上光斑的长度。

（3）打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差。 （4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。

圆形有界磁场中“磁聚焦” 第4页

参考答案

1．当v⊥B时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为R?匀速圆周运动；只要速度满足v?mv2?m、T?的qBqBqBR时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径m相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，选项D正确。 2．由R?mv?0.3m知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa入射qB的粒子，出射点一定在b点；从Od入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be，由于边界无磁场，将沿be做匀速直线运动到达b点；选项D正确。

3．解析：（1）当粒子速度沿x轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知：r=a；

mvmvv2?由qvB?m知：B? qrqar（2）从A点进入电场后作类平抛运动； 沿水平方向做匀加速直线运动：vx?2沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；

Eqa mtan??∴粒子离开第一象限时速度与y轴的夹角：

vx?vy2Eqa 2mv0（3）粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P点的出射方向与OO1平行，即与y轴平行；轨迹如图所示； ∴粒子从O到P所对应的圆心角为θ1=600，粒子从O到P用时：t1?由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S?asin?1?粒子在电场中做匀变速运动的时间：t2?T?a。 ?63v3a； 22mv； Eq2(a?S)(2?3)a； ?vv粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：t3?粒子由P点第2次进入磁场，从Q点射出，ＰO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q点在x轴上，即为（2a，0）点；粒子由P到Q所对应的圆心角θ2=1200，粒子从P到Q用时：

t4?T2?a； ?33v∴粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：t?t1?t2?t3?t4??av?(2?3)a2mv?。 vEq圆形有界磁场中“磁聚焦” 第5页

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