2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第一节函数及其表示 理
更新时间:2023-10-05 16:29:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二
章 第一节函数及其表示
近三年广东高考中对本章考点考查的情况
第二章
函数、导数及其应用
本章内容主要包括:函数的概念与表示,函数的基本性质,基本初等函数,函数的应用,导数的概念、运算及其应用.
1.函数的概念、表示和函数的基本性质(单调性与最值、奇偶性、周期性): (1)判断两函数是否为同一函数,确定定义域与对应关系即可. (2)用换元法求函数的解析式时,注意换元前后的等价性.
(3)单调性与最值是函数的局部性质,凸显用导数研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围.
(4)奇偶性是函数的整体性质,奇偶性、周期性的综合运用灵活多变.
2.基本初等函数:以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象,适当考查分段函数、抽象函数.
3.函数的应用主要包含:函数与方程、函数模型及应用两部分内容.
(1)对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的取值范围,是高考中常见的题目类型.
(2)函数的实际应用问题,多以社会实际生活为背景,设问新颖、灵活,综合性较强. 4.导数的概念、运算及应用.
(1)导数的概念是推导基本初等函数导数公式和四则运算法则的基础.
(2)利用导数求曲线的切线方程时,一定要分清已知点是否在曲线上.另外,曲线的切线和平面几何中圆的切线概念易混淆,曲线在点P(x0,f(x0))处的切线是曲线另一点Q无限接近点P时的极限位置,它与曲线可能还有其他公共点.
(3)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,还要注意公式不要用混. (4)导数的应用包括函数的单调性、极值、最值等方面,单调性是关键,一个函数的递增区间或递减区间有多个时,不能盲目地将它们取并集,特别是函数的定义域不能忽略.
在选择题和填空题中,主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等);在解答题中,有时作为压轴题,主要考查导数的综合应用,往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起,考查学生的分类讨论、转化与化归等思想.
预测高考对本部分内容的考查,仍会以小题和大题的形式出现,小题主要考查基本初等函数的图象、性质,几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点,函数与方程的关系等,大题主要以函数为背景,以导数为工具,考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题,在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题.
复习本章要重点解决好五个问题:
1.准确、深刻地理解函数的有关概念. 概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学数学的始终.数、式、方程、不等式、导数、数列等都是以函数为中心的代数知识.近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
2.揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系. 函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.
3.把握数形结合的特征和方法.
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,图象有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性.因此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换.
4.认识函数思想的实质,强化应用意识.
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,使问题得以解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法,尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想的实质,强化应用意识.
5.运用好导数这一锐利武器.
应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用,应淡化某些公式、法则的理论推导,应立足基础知识和基本方法的复习,以熟练技能、强化应用为目标.学会优先考虑利用导数求函数的极大(小)值、最大(小)值或解决应用问题,这些问题是函数内容的继续与延伸,这种方法使复杂问题简单化.导数与解析几何或函数图象的综合问题,尤其是抛物线与三次函数的切线问题,是高考中考查综合能力的一个方向,应引起注意.
第一节 函数及其表示
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
知识梳理
一、函数与映射的概念
两集合 A、B 对应关系 f:A→B 名称 函数 设A、B是两个________ 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个数x,在集合B中有______确定的数f(x)和它对应 称________为从集合A到集合B的一个函数 y=f(x),x∈A 映射 设A、B是两个________ 如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个元素x,在集合B中有________的元素y与之对应 称对应________为从集合A到集合B的一个映射 对应f:A→B是一个映射 记法 二、函数的表示 1.函数的表示方法.
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.
(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.函数解析式的常用求法.
(1)配凑法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)赋值法. 三、函数定义域的确定
1.定义域是函数的灵魂,因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则. 确定函数的定义域的原则是:
(1)当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合;
(2)当函数y=f(x)是用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合;
(3)当函数y=f(x)是用解析式给出时,函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合;
(4)当y=f(x)是由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定. 2.由解析式表示的函数的定义域的求法.
(1)若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;
(2)若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;
(3)若f(x)是二次(偶次)根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;
(4)若f(x)是对数式,则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合;
(5)若f(x)是指数式,则零指数幂的底数不等于零;
(6)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
(7)含参问题的定义域要分类讨论. 四、分段函数
1.分段函数的定义:在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,叫做分段函数.它是一类较特殊的函数.
2.分段函数是一个函数,而不是几个函数.若函数为分段函数,则分别求出每一段上的解析式,再合在一起.
3.因分段函数在其定义域内的不同子集上,其对应法则不同而分别用不同的式子来表示,因此在求函数值时,一定要注意自变量的值所在的子集,而代入相应的解析式去求函数值,不要代错解析式.
4.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.
基础自测
1.下列图形中不能作为函数图象的是( )
解析:根据函数定义,定义域内任何一个x取值,都有且只有唯一的y=f(x)与之对应,故选D.
答案:D
2.设A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},则f:A→B不是函数的是( )
1
A.f:x→y=x
21
B.f:x→y=x
31
C.f:x→y=x
41
D.f:x→y=x 6
1
解析:因为x∈A,y=x∈B.由函数定义可知,对于6∈A,在集合B中找不到对
21
应元素3,故f:x→y=x不是函数.故选A.
2
答案:A
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