椭圆的基本概念及性质

椭圆的基本概念及性质 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点 高中数学 苏教版 适用年级 课时时长（分钟） 高中三年级 120 1、椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、椭圆的基本量. 1、使学生掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、使学生掌握椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法 1、椭圆的标准方程的求法； 2、椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法； 椭圆离心率的求法 1

教学过程

课堂导入

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为1

2

，焦距为8，则该椭圆的方程是________

椭圆中的基本量a.b.c分别代表什么，离心率、准线方程的公式，标准方程的公式分别应该怎么求？下面进入我们今天的学习！

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复习预习

1、椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、椭圆的基本量.

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知识讲解

考点1

椭圆的定义

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距．

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考点2

椭圆的标准方程和几何性质

2标准方程 xy2y2x2a2＋b2＝1(a>b>0) a2＋b2＝1(a>b>0) 图形 范围 －a≤x≤a －b≤x≤b －b≤y≤b －a≤y≤a 性质 对称性 对称轴：x轴，y轴对称中心：(0，0) A1(－a，0) A1(0，－a) 顶点 A2 (a，0) A2(0，a) B1(0，－b) B1(－b，0) B2(0，b) B2(b，0) 5

长轴A轴 1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 F1F2＝2c 离心率 e＝ca∈(0，1) a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 6

例题精析

例1 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．

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x2y24x2y2

【答案】＋＝1或＋＝1

2056565

x2y2y2x2

【解析】设该椭圆的方程为2＋2＝1或2＋2＝1(a>b>0)，依题意，2a＝2(2b)

a＝2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以

abab

424b2＋1b2＝1或1422652

x2y24x2y24b2＋b2＝1.解得b＝5或4，这样a＝20或65，故该椭圆的方程为20＋5＝1或65＋65＝1.

8

2

x2y2?a?

例2 在平面直角坐标系中，有椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点?，0?作圆的两切

ab?c?

线互相垂直，则离心率e＝________．

9

【答案】

2 2

【解析】如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝2OA，这样就得c

到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝2OA，

a2

所以ac＝2a，解得ca＝22，即e＝22.

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x2y2

例3 椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点

abF，则椭圆离心率的取值范围是________．

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【答案】??1?2，1?

??

【解析】(解法1)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|， 而|FA|＝a2c－c，|PF|≤a＋c，所以a2

c

－c≤a＋c，即a2≤ac＋2c2.

又e＝ca，所以2e2＋e≥1，所以2e2

＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0

≤e<1.

(解法2)设点P(x，y)．由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，|PF|ae，所以|PF|＝a2ce－ex＝a－ex，而|FA|＝a2由椭圆第二定义，2＝c－c，

c－xa21a2

所以a－ex＝c－c，解得x＝e(a＋c－c)．

由于－a≤x≤a，

2

所以－a≤1e(a＋c－ac)≤a.又e＝c

a，

所以2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.

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1

又0

2

13

x2y23

例4如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长

ab2为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

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x2y2

【答案】(1) 椭圆C的方程为＋＝1.

82

(2) 证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝直线QN的方程为y＝

y0－2

x＋2.② －x0

y0－1

x＋1，① x0

3y0－4?x03y0－4?x0

，?. (证法1)联立①②解得x＝，y＝，即T?

2y0－32y0－3?2y0－32y0－3?x2y2002

由＋＝1可得x20＝8－4y0. 82

2

1?x0?21?3y0－4?2x20＋4（3y0－4）

?＋??＝因为? 8?2y0－3?2?2y0－3?8（2y0－3）2

28－4y232y28（2y0－3）20＋4（3y0－4）0－96y0＋72＝＝＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

8（2y0－3）28（2y0－3）28（2y0－3）2

x3y－4(证法2)设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝.

2y－32y－3

22

x2y21?x?21?3y－4?2x2（3y－4）2x9y00

?＋??＝1.整理得＋因为＋＝1，所以?＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y

828?2y－3?2?2y－3?8282

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x2y2

＋9，即8＋2

＝1.

所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 【解析】(1) 解：由题意知b＝

2

2

＝2. 因为离心率e＝c3b

a＝2，所以a＝

1－??c??a?2?

＝1

2.所以a＝22.

所以椭圆C的方程为x28＋y2

2

＝1.

(2) 证明：由题意可设M，N的坐标分别为(xy0－1

0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝xx＋1，①0

直线QN的方程为y＝

y0－2

－xx＋2.② 0

(证法1)联立①②解得x＝

x03y0－4?x0

3y0－4?2y－3，y＝2y，即T?

，?. 00－3?2y0－32y0－3?

由x208＋y202

＝1可得x28－4y20＝0. 因为1?x3y2

0?21?0－4?2x20＋4（3y0－48??2y?＋2??2y?＝）

0－3?0－3?8（2y0－3）2

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2

8－4y232y28（2y0－3）20＋4（3y0－4）0－96y0＋72＝＝＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

8（2y0－3）28（2y0－3）28（2y0－3）2

x3y－4(证法2)设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝.

2y－32y－3

x2y21?x?21?3y－4?2x2（3y－4）2x29y2002

?＋??＝1.整理得＋因为＋＝1，所以?＝(2y－3)，所以＋－12y＋8＝4y2－12y

828?2y－3?2?2y－3?8282x2y2

＋9，即＋＝1.

82

所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

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课程小结

1. 椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于F1F2时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于F1F2时，其轨迹不存在．

2. 已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．当椭圆xy

焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．

mn

c

3. 求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e＝或e＝

a

2

2

?b?2

1－??去整体求解． ?a?

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4up5.html