大学物理复习答案

3．半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为?r的均匀介质。设两圆筒上单位长度带电量分别为??和??，则介质中的电位移矢量的大小D? ，电场强度的大小E? 。 答案：D???, E?

2??0?rr2? r解：如图，取柱面高斯面。根据对称性，柱面（高

?斯面）的上下底上，电位移矢量D与高斯面法线

方向垂直；柱面（高斯面）的侧面上，电位移矢量D处处大小相等，并与高斯面法线方向平行。由高斯定理，得到

????，， D?dS?QD?2?rlD?l?0??2? rS电场强度为

?

?0?r2??0?rr4．一带电量q、半径为R的金属球壳，壳内充满介电常数为?的各向同性均匀电介质，壳外是真空，则此球壳的电势U? 。

E?D?答案：

q4??0Rq

解：由高斯定理，可以求得球壳外电场强度

E?4??0r2?

取无限远处电势为零，则

U??Ecos?ds?Rq4??0R

5．两个点电荷在真空中相距为r1时的相互作用力等于在某一“无限大”均匀电介质中相距为r2时的相互作用力，则该电介质的相对介电常数?r? 。

r12答案：?r?2

r2解：在真空中，两个点电荷之间的作用力（库仑力）为F?Q1Q2

4??0r12?/Q1点电荷Q1在“无限大”电介质中产生的电场强度为E1?

4??0?rr2点电荷Q2受到的库仑力为F?Q2E1?依题F?F

///Q1Q24??0?rr22

Q1Q2Q1Q2r12? ? ?r?2

4??0r124??0?rr22r26．有一同轴电缆，内、外导体用介电系数分别为?1和?2的两层电介质隔开。垂直于轴线的某一截面如图5-2所示。求电缆单位长度的电容。

解：取高斯面为柱面。柱面的半径为r、长度为l，对称轴为同

轴电缆的对称轴，柱面在同轴电缆的两极之间。由对称性，高斯面上的上下底面电位移矢量与高斯面法线方向垂直； 侧面上，电位移矢量处处大小相等，并且与高斯面平行。由高斯定理,有

?????，R1?r?R3 ， D?dS?2?rlD?q??lD?r0??2? rS则同轴电缆的两极之间的电场强度为

??DE1???1?2??1r??D? ，R1?r?R2；E2?r??2?? ，R2?r?R3 r2??2rR3同轴电缆的两极之间的电势差为

??R2??R3??R2U??E?dl??E1?dr??E1?dr??R2R1R1R2R1??????dr??r?dr2??1r2??2rR2??1R21R3(ln?ln)2??1R1?2R2q0???UU

单位长度的高斯面包围的自由电荷量为q0??

2??0?1?2 RR?2ln2??1ln3R1R27．在一平行板电容器的两极板上，带有等值异号电荷，两极间的距离为5.0mm，充以?r?3则单位长度的同轴电缆的电容为：C?的介质，介质中的电场强度为1.0?10V?m。

求：?1?介质中的电位移矢量；?2?平板上的自由电荷面密度；?3?介质中的极化强度；

6?1?4?介质面上的极化电荷面密度；?5?平板上自由电荷所产生的电场强度，介质面上极化电

荷所产生的电场强度。

?5?2解：(1) D??E??0?rE?2.655?10C?m

?5?2 (2) ?e0?D??0?rE?2.655?10C?m ?5?2 (3) P??e?0E?1.77?10C?m

(4) ?e?P?1.77?10?5C?m?2

6?1 (5) E0??e0/?0??rE?3.0?10V?m，

/E/?E0?E?(?r?1)E?2.0?106V?m?1

1.77?10?5C?m?2?2.0?106N?C?1 或E??e/?0??122?1?28.85?10C?N?m8． 一导体球，带电量q，半径为R，球外有两种均匀电介质。第一种介质介电常数为?r1、厚度为d，第二种介质为空气?r2?1充满其余整个空间。求球内、球外第一种介质中、第

//二种介质中的电场场强、电位移矢量和电势。 解：由高斯定理，得到电位移矢量的空间分布

D1?0，（r?R）；D2?D3?电场强度的空间分布：

q，（R?r）。 24?rE3?，（R?r?R?d）；

q4??0r2E1?0，（r?R）；E2?球壳内电势：（r?R）

q4??0?r1r2，（r?R?d）。

??R??R?d??U1??E?dl??E1?dr??E2?dr??rrR?R?dR?d???E3?dr??Rq4??0?r1r2?dr?2R?d4??0r?qdr 11q?)?4??0?r1RR?d4??0(R?d)球外第一种介质中的电势：R?r?R?d ????R?d?R?d???U2??E?dl??E2?dr??E3?dr???(rrR?drqq4??0?r1r2?dr?24??r0R?d?qdr 11q(?)?4??0?r1rR?d4??0(R?d)球外第二种介质中的电势：r?R?d ???????qq U1??E?dl??E3?dr??dr??24??0rrrr4??0r9．半径为R的均匀带电金属球壳里充满了均匀、各向同性的电介质，球外是真空，此球壳

Q的电势是否为？为什么？

4??R?Q?，球壳电势为 r答：球壳外电场分布E?4??0r2?q???U??E?dl???RQ24??r0R???dr??r?Q24??r0Rdr??Q4??0R

作业6 1．真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电量都相等，则它们的静电能之间的关系是[ ]。 A. 球体的静电能等于球面的静电能 B. 球体的静电能大于球面的静电能 C. 球体的静电能小于面的静电能

D. 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能 答案：【B】

解：设带电量为Q、半径为R，球体的电荷体密度为?。

由高斯定理，可以求得两种电荷分布的电场强度分布

??Q02，E?E?dS?2?rE???SQ02??0r2?0

对于球体电荷分布：

43?r?2r?Q3E1???0E?，（）；，（r?R）。 r?R2223?02??0r2??0r对于球壳电荷分布：

E1?0，（r?R）；E2?//Q2??0r2，（r?R）。

可见，球外：两种电荷分布下，电场强度相等；球内：球体电荷分布，有电场，球壳电荷分

布无电场。

静电场能量密度??1?0E2 2两球外面的场强相同，分布区域相同，故外面静电能相同；而球体(并不是导体)内部也有电荷分布，也是场分布，故也有静电能。所以球体电荷分布时，球内的静电场能量，大于球面电荷分布时，球内的静电场能量；球体电荷分布时，球外的静电场能量，等于球面电荷分布时，球外的静电场能量。

2．C1和C2两空气电容器串联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图6-1所示，则[ ]。

A. C1两端电势差减少，C2两端电势差增大

B.C1两端电势差减少，C2两端电势差不变 C.C1两端电势差增大，C2两端电势差减小 D. C1两端电势差增大，C2两端电势差不变

答案：【B】

解：电源接通时，给两个串联的电容器充电。充电量是相同的，是为Q。则两个电容器的电压分别为

QQ，U2? C1C2电源断开后，C1插入电介质，两个电容器的电量不变，仍然都是Q。但C1的电容增大，U1?因此C1两端的电压降低；而C2不变，因此，C2两端的电压不变。

3．一平行板电容器，板间相距d，两板间电势差为U，一个质量为m，电荷为?e的电子，从负极板由静止开始向正极板运动，它所需的时间为[ ]。

md2md22md2md2 B. C. D. A.

eU2eUeUeU答案：【D】 解：两极间的电场E?UeUFeU ，电子受力F??eE?? ?a??ddm2d122md2由d?at?t?

2eU4．将半径为10cm的金属球接上电源充电到3000V，则电场能量W? 。

?5答案：5?10(J)

解：孤立导体球的电容为：C?4??0R，所以，充电到U?3000V时，

11W?CU2??4??0RU2?2?3.14?8.85?10?12?0.1?30002?5?10?5(J)

225．A、B为两个电容值都等于C的电容器，已知A带电量为Q，B带电量为2Q，现将A、B关联在一起后，则系统的能量变化?W? 。

Q2答案：?

4CQ2(2Q)25Q2??解：未并联前，两电容器储存的总能量为：W? 2C2C2C//当并联后，总电容为：C?C?C?2C，总电量不变：Q?Q?2Q?3Q，

Q/3Q则并联后，总电压为：U?/?

2CC/1//213Q29Q2)?并联后，储存的总能量为：W?CU??2C?(

222C4C9Q25Q2Q2/???系统的能量变化为：?W?W?W? 4C2C4C6．一平行板电容器电容为C0，将其两板与一电源两极相连，电源电动势为?，则每一极板

/上带电量为 。若在不切断电源的情况下将两极板距离拉至原来的两倍，则电容器内电场能量改变为 。 答案：C0?，?1C0?2 411C0U2?C0?2 22解：（1）Q?C0U?C0? 。电容器储存的静电场能量为W?（2）当增大两极板的距离时，平行板电容器电容为C?//1C0。因为电源未切断，故电容2两端电压U?U??不变，则电容器储存的静电场能量为

W/?1//21CU?C0?2 24/电容器储存的静电场能量的变化为：?W?W?W??1C0?2 47．两层相对介电常数分别为?r1和?r2的介质，充满圆柱形电容器之间，如图6-2示。内外圆筒（电容器的两极）单位长度带电量分别为?和??，求：?1?两层介质中的场强和电位移矢量；?2?此电容器单位长度的电容。

答案：同作业5中第6题的计算。

8．充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压U?1000V时断开电源。若把电介质从两板间抽出，测得板间电压U0?3000V，求：?1?电介质的相对介电系数?r；?2?若有

?3介质时的电容C1?2.0?10?F，抽出介质后的电容C0为多少？?3?抽出电介质时外力所

做的功。

解：(1)有电介质和无电介质时，电容器的电容间的关系：C??rC0，切断电源，电容器带电量不变，?CU?C0U0 ，?rC0U?C0U0 ，??r?(2) C0?U0?3 UC?r1122-3-3-3(3) W?CU?1?10J,W0?C0U0?3?10J A外?W0-W?2?10J

229．有一导体球与一同心导体球壳组成的带电系统，球的半径R1?2.0cm，球壳的内、外半

?8径分别为R2?4.0cm，R3?5.0cm，其间充以空气介质，内球带电量Q?3.0?10C时，

?6.7?10-4?F

求：?1?带电系统所存储的静电能；?2?用导线将球与球壳相连，系统的静电能为多少？ 解：(1)由导体的静电平衡条件和电荷守恒定律、高斯定理，可分析得：导体球上所带电量在球面，电量为?Q；球壳内表面带电量为?Q，外表面带电量为?Q 。

由高斯定理可得各个区域的电场分布：

E0?0(r?R1)，E1?Q4??0r2(R1?r?R2)，

E2?0(R2?r?R3)，E3?带电系统所储存的能量为：

Q4??0r2(r?R3)

1We??dWe???0E2dV23211112222???0E0dV???0E1dV???0E2dV???0E3dV22220R1R2R3R1RR?1122???0E1dV???0E3dV22R1R31Q1Q22???0()2?rdr??()2?rdr022?224??0r4??0rR1R3Q2111?(??)8??0R1R2R3R2?R2?

(2) 当内球与球壳连在一起时，由于球与球壳是等势体，在球与球壳之间没有电场，E1?0；在两面上的电量中和，只有球壳外表面带?Q电量，电场只分布在r?R3区域，可求得：

111QQ2222 We??dWe???0EdV???0E3dV???0( )2?rdr?22228??0R34??0rR3R3

??作业 7 1.在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大。在圆柱与圆筒之间充满电导率为?的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒上加上一定电压时，在长为l的一段导体上总的径向电流为?,如图7-1所示，则在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电场强度为[ ]。

2?r?? B. l2?2?rl??l??C. D. 22?r?2?rlA.

答案：【B】

解：如图，通过半径为r、高为l的圆柱侧面的总电流为I，则该处的电流密度为

J?I2?rl

由电流密度与电场强度的关系J??E（?为电导率），得到

E?JI?2?rl???2.一电子以匀速率v作圆周运动，圆轨道半径为R,它相当于一个圆电流，如图7-2所示，其电流强度是[ ]。 A.

?I

2?rl?e?e? B. 2?R?R2C. e? D. e 答案：【A】

解：在电子运动轨道上固定一个横截线，电子一个周期通过一次该横截线，即在一个运动周期T时间内，通过横截线的电量为e，因此，电流为

I?ee?T2???e?ev ?2?2?R3.单位正电荷从电源的负极通过电源内部移到正极时非静电力所作的功定义为该电源的电动势，其数学表达式为 。

??答案：???Ek?dr

??4.有一根电阻率为?、截面直径为d、长度为L的导线。若将电压U加在该导线的两端，则单位时间内流过导线横截面的自由电子数为 ；若导线中自由电子数密度为n，则电子平均飘移速率为 。

?d2?UU答案：， vd?

4?Len?Le解：（1）设单位时间内流过导线横截面的自由电子数为N，则单位时间内流过导线横截面

的电量为eN，这就是电流，I?eN。按电流与电压的关系

U?IR?I?L SSU?则 N?e?L?()2Ud2e?L?d2U? 4e?LL，即在?t内，电子全部通过以L为高、以S为底vd的柱形底面，即在?t内柱形内的电子全部通过底面，其他电子都没有通过。因此，在?t内

（2）电子漂移距离L所用时间?t?通过底面的电量为

?q?enLS 因此，电流为

I? 即得到

?qenLS??enSvd ?t?t?qSUU?enSvd?vd?，? ?t?Len?L5.如图7-3所示的导体中，均匀地流着10A的

22电流，已知横截面a?1cm，b?0.5cm，c

0的法线与轴线夹角为60，试求：（1）三个面

I?与轴线交点处的电流密度。（2）三个面上单位面积上的电流密度通量dI。 解： (1)

Ja?(2)

I?105A2mS1Jb?I?2?105A2mS2Jc?Jb?2?105Am2

dI1?Ja?105Am2dI2?Jb?2?105Am2dI3?Jccos60??Jc?105A2m26.圆柱形电容器，长为l，内、外两极板的半径为rA，rB，在两极板间充满非理想电介质，

其电阻率为?，设在两极间加电压VAB。求：（1）介质的漏电阻R；（2）漏电总电流I；（3）漏电流密度j；（4）介质内各点的场强。

dr??S 这里r?r?dr的球壳层的横截面可认为相同，

rdrdrdr?球壳层的漏电阻：dR????(rA?r?rB)?R??????nB

S2?rl2?rl2?lrA解：(1) R?dR??VABVAB?2?l ?rBR???nrAVABI(3)j? ?r2?rlr???nBrAVABj(4)E??

rlr????nBrA(2) I? 作业 8 1.如图8-1所示，载流的圆形线圈（半径a1）与正方形线圈（边长a2）通有相同电流，若两个线圈中心O1，O2 处的磁感应强度大小相同，则半径a1与边长a2之比为[ ]。 A. 2?:4 B. 2?:8

C. 1:1 D. 2?:1 答案：【B】

解： 圆电流I在其轴线上产生的磁场的磁感应强度为 B1??0a12I2(a1?x)2232，方向沿着轴线

在圆心处（x?0），B1??0I2a1。

通电正方形线圈，可以看成4段载流直导线，由毕萨定律知道，每段载流直导线在正方形中心产生的磁场的磁感应强度大小相等，方向相同，由叠加原理B2?4B2。

/B2?/?0I?I?0I(cos?1?cos?2)?0(cos450?cos1350)?

a24?a2?a24?2

B1??0I2a1?B2?4B2?4/?0I2?a2

a18? a22?2. .如图8-2所示,四条平行的无限长直导线，垂直通过边长为

每条导线中的电流都是I?20A，这四条导a?20cm正方形顶点，

线在正方形中心O点产生的磁感应强度为[ ]。

A. B?0.8?10T B. B?1.6?10T C. B?0 D. B?0.4?10T 答案：【A】 解：建立直角坐标系，则4根无限长载流直导线在正方形中心产生的磁感应强度为

?4?4?42?acos45?2?acos45??????0I?0Ii，B4?j B3?2?acos45?2?acos45????????2?0IB?B1?B2?B3?B4?(i?j)

2?acos45??B1??0I??i，B2??0I?j

B?8?10?5T

3.一根无限长直导线abcde弯成图8-3所示的形

0状，中部bcd是半径为R、对圆心O张角为120的圆弧，当通以电流I时，O处磁感应强度的大小B? ，方向为 。a

?I?I答案：B?0＋0(2?3)，

6R2?R方向垂直纸面向里

解：将整个载流导线分为三段：直线ab 、圆弧bcd、直线de。

由毕萨定律可以判断出，三段载流导线在圆心处产生的电磁感应强度方向均沿着垂直纸面向里，因此，总的电磁感应强度方向沿着垂直纸面向里。

两段载流直线在圆心处产生的电磁感应强度

Ba?b?Bd?e?0I(2?3) ?4?R4?Rcos60?0I?0I???(cos120?cos180)?(2?3) ?4?R4?Rcos60(cos0??cos30?)??0I三分之一圆弧在圆心处产生的电磁感应强度

Bbcd??0I2R?1?0I? 36R在圆心处产生的总电磁感应强度

B?Ba?b?Bbcd?Bd?e??0I6R＋?0I(2?3) 2?R方向垂直纸面向里。

4. 如图8-4所示,两个同心半圆弧组成一闭合线圈，通有电流I，设线圈平面法向n垂直纸面向里。则圆心O点的磁感应强度B? ， 线圈的磁矩

?

?

?m? 。R1

??0I11???I2?(?)n, m?(R2答案：B??R12)n 4R2R12解：由毕萨定律可知，两个半圆连线上的电流圆心O处产生的电磁感应强度为零在半径为R1的半圆弧在圆心O处产生的电磁感应强度垂直于纸面向外（与n反向）

??1?0I??I?B1＝(?n)??0n

22R14R1?半径为R2的半圆弧在圆心O处产生的电磁感应强度垂直于纸面向里（与n同向）

?1?0I??0I?B2＝n?n

22R24R2再由毕萨定律可知，两个半圆连线上的电流圆心O处产生的电磁感应强度为零

??B3?B4?0

圆心O处总的电磁感应强度

??????I11?B?B1?B2?B3?B4?0(?)n

4R2R1线圈的磁矩

???11122?22?m?IS?ISn?I(?R2??R1)n??I(R2?R1)n

2225．在坐标原点有一电流元Idl?3?10???3?A?m。试求该电流元在下列各点处产生的磁感

?应强度dB？

（1）(2,0,0)；（2）(0,4,0)；（3）(0,0,5)；（4）(3,0,4)；（5）(3,4,0) 解：该电流元产生的电磁感应强度表示为

??????0Idlrr?3?3?10?10k?3 dB?4?rr??2i?????10?10?0.75?10j(T) ①r?2i，dB?3?10k?8??????4j?10?11②r?4j，dB?3?10k?3??1.875?10i(T)

4???③r?5k，dB?0

???????3i?10?12?7.2?10j(T) ④r?3i＋4kr?5，dB?3?10k?125?????????(3i?4j)⑤r?3i＋4j,r?5，dB?3?10?10k??2.4?10?12(3j?4i)(T)

1256.从经典观点来看，氢原子可看作是一个电子绕核高速旋转的体系，已知电子以速度

2.2?106m?s?1在半径r?0.53?10?10m的圆轨道上运动，求：电子在轨道中心产生的磁感

应强度和电子的磁矩大小。 解： 角速度??v/r?2?/T，I?eev??1.057?10?3A T2?r2r7.在一半径R?1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I?3.0A通过，试求：圆柱轴线上任一点的磁感应强度。 解：如图，取过场点O的横截面为xy平面，横截面与金属薄片的交集

B??0I?12.53(T)m?I?r2?9.3?10?24(A?m2)

直的位置，力矩做功多少？

解：(1) 载流线圈在磁场中所受的磁力矩为

?????M?m?B?ISn?B

当载流线圈平面与磁场平行时，载流线圈平面的法线方向n与磁场垂直，磁力矩最大

M?mB?Il1l2B?0.04(N?m) 方向：载流线圈平面的法线方向n垂直纸面向外，所以，磁力矩方向竖直向上。 (2) 在载流线圈转动过程中，磁力矩做的功等于：

A?I(?2??1) 这里：?1?0；?2?BS?Bl1l2 所以：A?IBS?0.04J ??作业 11 1.载流长直螺线管内充满相对磁导率为?r的均匀抗磁质，则螺线管内中部的磁感应强度B和磁场强度H的关系是[ ]。

A. B??0H B. B??rH C. B??0H D. B??0H 答案：【D】

解：对于非铁磁质，电磁感应强度与磁场强度成正比关系

B??0?rH 抗磁质：?r?1，所以，B??0H

2.在稳恒磁场中，关于磁场强度H的下列几种说法中正确的是[ ]。 A. H仅与传导电流有关。

B.若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H必为零。 C.若闭合曲线上各点H均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 D.以闭合曲线L为边界的任意曲面的H通量相等。 答案：【C】

L????????解：安培环路定理?H?dl??I0，是说：磁场强度H的闭合回路的线积分只与传导电流

?有关，并不是说：磁场强度H本身只与传导电流有关。A错。

?闭合曲线内没有包围传导电流，只能得到：磁场强度H的闭合回路的线积分为零。并

?不能说：磁场强度H本身在曲线上各点必为零。B错。

???高斯定理??B?dS?0，是说：穿过闭合曲面，场感应强度B的通量为零，或者说，.

??以闭合曲线L为边界的任意曲面的B通量相等。对于磁场强度H，没有这样的高斯定理。

?不能说，穿过闭合曲面，场感应强度H的通量为零。D错。

???安培环路定理?H?dl??I0，是说：磁场强度H的闭合回路的线积分等于闭合回路

LS包围的电流的代数和。C正确。

3.图11-1种三条曲线分别为顺磁质、抗磁质和铁磁质的B?H曲线，则Oa表示 ；Ob表示 ；Oc表示 。 答案：铁磁质；顺磁质； 抗磁质。

4.某铁磁质的磁滞回线如图11-2 所示，则

图中Ob（或

Ob'）表示 ；Oc（或Oc'）表示 。

答案：剩磁；矫顽力。

5.螺线环中心周长l?10cm，环上线圈匝数N?300，线圈中通有电流I?100mA。（1） 求管内的磁场强度H和磁感应强度B；（2）若管内充满相对磁导率?r?4000的磁介质，则管内的H和B是多少？（3）磁介质内由导线中电流产生的B0和磁化电流产生的B'各是多少？

?解：(1) 做一圆形的环路，由H 的安培环路定理：

???H?dl?? I

H?2?r?NI ，

H?NINI??nI?300 (A/m) 2?rl 对管内，此时无磁介质，则：

?r?1 ?B0??0H?3.77?10-4T

(2) 管内充满磁介质时，?r?4200 ?B??0?rH?1.58T

-4(3) 磁介质内由导线中电流产生的磁场B0??0H?3.77?10T

由磁化电流产生的磁场B??B?B0?1.58T 6.一无限长圆柱形直导线，外包一层相对磁导率为?r的圆筒形磁介质，导线半径为R1，磁介质外半径为R2，导线内有电流I通过（见

图11-3）。求：（1）介质内、外的磁感应强度的分布，画出B?r图线；（2）介质内、外的磁场强度的分布，画出H?r曲线。

解：在以圆柱轴线为对称轴的圆周上，各处磁场强度大小相等且沿圆周切线方向。应用H的安培环路定理，

???H?dl?2?rH??I0

L? r2 r2r2在导体内，r?R1：?I0?I?I2，2? rH?I2 (r?R1), 2?R1R1R1在导体外，r?R1：?I0?I，2? rH?I (r?R1), 2?rH?I (r?R1),

因此

(r?R1)?I/ (2? r) H?? 2Ir/(2?R) (r?R)11???0Ir/(2?R12) (r?R1)?B???0?rI/ (2? r) (R1?r?R2)

??I/ (2? r) (r?R)02???7.介质中安培环路定理为?H?dl??Ii，?Ii为正向穿过闭合回路L的传导电流的代数

L和，这是否可以说：H只与传导电流有关，与分子电流无关？ 答案：不能。

??解：介质中的安培环路定理说明定理的左端，即H的环流只也传导电流有关，与分子电流

???无关；并不可以说H只与传导电流有关，与分子电流无关。这里H的环流和H是两个不同

的概念。

r R1

作业 12 1.在如图12-1所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合导线圈内作振动时（忽略空气阻力），则[ ]。 A.振幅不变

B.振幅先减小后增大 C.振幅会逐渐加大 D.振幅会逐渐减小 答案：【D】 解：楞次定律。

当磁铁在闭合导线圈内作振动时，穿过线圈的磁场变化，在线圈中产生感生电动势，在闭合线圈中有感生电流。这一电流又产生磁场，但总是阻碍由于磁铁的振动而引起的穿过线圈的磁场的变化。弹簧与磁铁组成的振子的振动能量会逐渐减小，因此，振幅会逐渐减小。

振子会损失能量，损失的能量，通过线圈中的感生电流转化为焦耳热。? 2.如图12-2所示，在均匀磁场B中，有一半径为R的导体圆盘，盘面与磁场方向垂直，当圆盘以匀角速度?绕过盘心的与B平行的轴转动时，盘心O与边缘上的A点间，其电势差VO?VA等于[ ]。

??1122221122C. ?RB D. ??RB

44A. ?RB B. ??RB

答案：B】

解：由于导体圆盘，相当于有无数多由盘心到盘边的直导线绕盘心O转动，切割磁场线，生的动生电动势为

??因此，会在盘心O与盘边产生动生电动势。在OA上，距盘心r处取线元dl?dr，它所产

??????d?OA?(v?B)?dl?(v?B)?dr

?????由图可见，v与B垂直、(v?B)与dr方向相同，所以

???d?OA?(v?B)?dr?vBdr??rBdr

?OA??d?OAOA????OA??B?dr?????OA?Brdr??R0

12?Brdr??BR2电动势的方向为低电势指向高电势，即

?OA?UA?UO??BR2，UO?UA???BR2

3.如图12-3所示，一长度为l的直导线ab在均匀磁场B中以恒定速度?移动，直导线ab中的动生电动势为 。 答案：0

?1212??解：取取线元dl，则

???d?ab?(v?B)?dl

????由于v与B共面（平行于纸面），则(v?B)垂直于纸面，?而dl也平行于纸面，所以

d?ab?0，?ab??d?ab??d?ab?0

abab4.长直导线通有电流I?5A，在其附近有一导线棒ab，I?20cm，离长直导线距离d?12cm（如图12-4所示）当它沿平行于直导线的方向以速度??10m?s平移时，导线棒中的感应电动势多大？哪端的电势高？（导线棒与长直导线共面且垂直）

?1??解：如图，建立直角坐标系，取线元dl?dxi，则

??v?vj

无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒ab处）

??0I??0I?B?(?k)??k

?x2?x??则线元dl?dxi的动生电动势为

???d?ab?(v?B)?dl??0I???(?vj?k)?dxi2?x? ?0I??(?vi)?dxi2?x??v?0Idx2?xd?l整个金属棒中感应电动势为

?ab??d?ab?ab?d?v?0I?I??l?d?dx??0ln??0.98?10?5V 2?x2?d由于?ab?Ub?Ua?0，所以，a端电势高。

5.如图12-5所示，长直导线中通有电流I?6A，另一矩形线圈与长直导线共面共10匝，宽a?10cm，长L?20cm，以??2m?s的速度向右

?1?运动，求：d?10cm时线圈中的感应电动势。dl1?

解1：动生电动势。将矩形导体框看成4段导体棒，则每个棒都在无限长载流直导线产生的磁场中运动，都有可能

有动生电动势，总的电动势是每段动生电动势的代数和。

如图，建立直角坐标系，则

??v?vi

无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef处）

??0I??0I?B?(?k)??k

?x2?x??线元dl1?dyj的动生电动势为

???0I????I??I??d?bc?(v?B)?dl1?(?vi?k)?dyj?(v0j)?dyj?v0dy

2?d2?d2?dL?bc??d?bc??vbc0??dl?dxi线元2的动生电动势为

???0I????0I???d?ce?(v?B)?dl2?(?vi?k)?dxi?(vj)?dxi?0，?ce?0

2?x2?x??线元dl3?dyj的动生电动势为

?????0I??d?fe?(v?B)?dl3?(?vi?k)?dyj2?(d?a)

???0I?0I?(vj)?dyj?vdy2?(d?a)2?(d?a)L?0I?I?dx?0L 2?d2?d?fe??d?fe??vfe0?0I2?(d?a)dx???线元dl4?dxi的动生电动势为

???0I????I???d?bf?(v?B)?dl4?(?vi?k)?dxi?(v0j)?dxi?0

2?x2?x?0I??0I?L L,?ef???fe??2?(d?a)2?(d?a)?bf?0,?fb???bf?0

以顺时针方向为线框中电动势的正方向，则

???bc??be??ef??fb??0I??0I??I?11L?0?L?0?0L(?) 2?d2?(d?a)2?dd?a线圈共有N匝，所以，电动势为

E?N??N?0I?11L(?)?2.4?10?5(V) 2?dd?a解2：感生电动势。由于无限长载流导线产生的磁场与场

点到导线的距离成反比，线圈在移动的过程中，穿过线圈平面的磁通量发生变化，因此在线圈中产生感生电动势。

如图，建立直角坐标系。设t时刻bc边距离载流直导线l(t)，感生电动势的正方向为顺时针方向，即取磁通量的正方向垂直纸面向里。则速度

v?dl(t) dt无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef处）

有电流I2， 求：（1）线圈1中的磁通量； （2） 线圈与螺线管的互感。

解：螺线管2产生的磁场（认为在线圈2内部，外部为零）

B2??0n2I2 ?21，其中 n2?N2 l

（1）螺线管2产生的磁场，穿过线圈1的磁通量（磁链）

?N1B2S2?N1?0n2I2S2，其中 n2?N2l（2）螺线管与线圈之间的互感系数

M??21?N1?0n2S2 I26.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质和金属的?r均可作取1。

求： 此电缆通过电流I（由中心圆柱流出，由圆筒流回）时，单位长度内存储的磁能，并通过和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。 解： 磁场被限制在同轴电缆内，由安培环路定理可得

?Ir?2?R21??IH???2?r0???(0?r?R1)(R1?r?R2) (r?R2)磁场能量也只储存在电缆内，在（0?r?R1）范围内，取长度为

l的一段柱壳

dV?2?rldr （0?r?R1），其中储存的磁能为

Wm1??wdV??VR10?0I2l3?0I2lR3?0I2l rdr?rdr?44?016?4?R14?R11同样在（R1?r?R2）范围内，取长度为l的一段柱壳

，其中储存的磁能为 dV?2?rldr（R1?r?R2）

R2VR1 Wm2?wdV????0I2?0I2lR2

2?rldr?ln4?R18?2r2因此，长度为的一段电缆中储存的总磁能为

?0I2lRWm?Wm1?Wm2?(1?4ln2) 16?R1单位长度内储存的磁能为

Wm?0I2Rwm??(1?4ln2)

l16?R1由自感磁能与自感系数的关系 Wm?1LI2，得

2lL??0R(1?4ln2) 8?R17.如果电路中通有强电流，当突然打开电闸断电时，就有一大火花跳过电闸，为什么？

[解] 断电时电流变化剧烈，由于自感，在电闸的两极积聚大量的正负电荷，形成很强的电场，击穿空气。

8.两个相距不太远的线圈，如何放置可使其互感最大？如何放置可使其互感为零？ 解：平行放置互感最大，垂直放置互感为0

作业15 1.下述说法中正确的是[ ]

A.位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律。 B.位移电流由变化的磁场产生的

C.位移电流的磁效应不服从安培环路定理 D.位移电流是由变化的电场产生的 答：［D］

解：变化的电场产生位移电流（或者说，变化的电场产生磁场）。在产生磁场方面，位移电流与传导电流是一样的，位移电流的磁效应服从安培环路定理。但位移电流不是电子的定向移动，因此，位移电流不产生焦耳热效应。

麦克斯韦的“位移电流”假说，与他的“涡旋电场”假说不同，在涡旋电场的作用下，电子是会作定向移动的。

2.下列说法中正确的是[ ]

A.变化的电场所产生的磁场，一定随时间变化 B.变化的磁场所产生的电场，一定随时间变化 C.有电流就有磁场，没有电流就一定没有磁场 D.变化着的电场所产生的磁场，不一定随时间变化 答：［D］

解：变化的电场所产生的磁场，与电场随时间的变化率成正比B?dEdE ，而 可以dtdt是常数，即电场随时间的变化率固定时，变化的电场所产生的磁场也是不随时间变化的，dBdBA错。变化的磁场所产生的电场，与磁场随时间的变化率成正比E? ，而 可以

dtdt是常数，即磁场随时间的变化率固定时，变化的磁场所产生的电场也是不随时间变化的，

B错。在电流的周围存在磁场，即有电流就有磁场；变化的电场也可以产生磁场，C错。 3.真空中一平面电磁波表达式为Ey?Ez?0，Ex?E0cos??t???y??，在t?t0时刻，c?y?y0 处的电场强度指向x轴负向，则该时刻处的磁场强度方向应该是[ B ]

A. X轴负向 B.Z轴负向 C.X轴正向 D. Z轴正向 答［B］

解：电磁波的表达式得知，电磁波的传播方向沿y轴负方向。对于平面波，波的传播方向就是能流方向，即坡印亭矢量方向。由坡印亭矢量，得到电场、磁场

方向满足如下关系

???S?E?H 如图，可见，在t?t0时刻，y?y0 处，磁场强度方向必定沿着z轴负方向。

4.对于平面电磁波，E和H的相位 ，在空间任一点E和H的量值关系为 ，

??????E和H的偏振方向彼此 ，且均与波的传播方向 ，从而可知电磁波是 。

答：相同；

?E??H；垂直；垂直；横波。

５.由两块圆形导体板组成的平板电容器，圆板半径为1cm，中间为空气。当以5A的电流

dE；（２）极板间的位移电流密度Jd；dt（3）极板间的位移电流Id；（４）在圆板边缘处的磁感应强度B。

充电时，求：（１）电容器内部的电场强度变化率

解：平板电容器以恒定电流充电，板上的电荷量随时间正比增加；板上的电荷要在电容器内产生电场，电场强度随电荷量的增加，正比增强；电容器内变化的电场，产生位移电流；位移电流在电容器内产生磁场。

（1）极板上电量随时间的变化：Q?It ,

电荷面密度随时间的变化：??QIt? ， SS 极板间电场强度随时间的变化： E?则电场随时间的变化率：

?It??0?0S ，

dEI??1.8?1015V/m?S dt?0S（2） 极板间的电位移随时间的变化：D 位移电流密度：Jd?（3）极板间的位移电流：Id???It ， SdDI??1.6?104A/m2 dtS?JdS?I?5A ，

（4）极板内，只有位移电流。由于极板是圆形板，具有轴对称性，因此，位移电流在板内产生的磁场也具有轴对称性。由安培环路定理

??22dD2I2?RB??I???RJ???R???R??0I ?B?dl??0Id ，0d0d00CdtS?IB?0?1.0?10?4T

2?R６.如图１５－１所示，平板电容器之间加交变电场

E?720sin(105?t)V?m?1 。

求距电容器中心连线r?0.01m处的P点，经过2?10s， 位移电流产生的磁场强度的大小。 解：极板间的位移电流密度

?5Jd?dDdE??0?720?105??0cos(105?t) dtdt2以r为半径绕极板中心作圆形安培环路，由安培环路定理： 2?rH??rJd ，解出

H?rJd?3.6?105??0cos(105?t)?10?5A/m 2７.真空中沿z轴负向传播的平面电磁波，其磁场强度的表达式为

?z??H?iH0cos?t??SI?，求电场强度的波的表达式。 ??c????????u??uk?E?H, H?Hi

[SI] 解：

???0??0zE?jH?jH0cos?(t?)?0?0C 作业16 1.在地面参考系测得一星球离地球5光年，宇航员欲将此距离缩为3光年，他乘的飞船相对

地球的速度应是[ ]

A. 1c B. 3c C. 4c D. 9c

25510答：［C］

解：这里，要求宇航员的钟走3光年，是原时：?t?3；地面上的时钟测量，宇航员走5光年，是测时：?t?5。因此由?t/?/?t1?uc22，得到

5?31?u2c2，u?4c。 5注意：地面上仍然认为宇航员走了5光年。

2.火箭的固有长度为L，其相对地面以?1作匀速直线运动。若火箭上尾部一射击口向火箭首部靶子以?2速度发射一子弹，则在火箭上测得子弹从出射到击中靶的时间间隔为[ ]。

LLLL??????1??1? D. 1??1? A. B. C. ?2?1??2?1??2?2?c??c?答：［B］

解：事件发生在火箭上，与地面无关。当然，地面上测量这一时间间隔是不同的。

3.在K惯性系中x轴上相距?x处有两只同步钟A和B，在相对K系沿x轴以u速运动的惯性系K中也有一只同样的钟A。若xx轴平行，当AA相遇时，恰好两钟读数都为零， 则当A与B相遇时K系中B钟的读数为 ，K系中A钟的读数为 。

/

//

//

/22/?x?xu2答：，1?2

uuc//

解：如图，在K系测量，A和B的距离为?x，钟A正在以速度u从A向B运动，钟A从A到达B所用的时间为

?x?t?

u这也就是B钟的读数。

由于A和B在K系中是静止的，所以，K系中测量，A和B的距离?x是原长；在系K/看来，

?A和B以速度?u运动，A和B的距离?x/是测

/量长度，因此

(?u)2u2?x??x1?2??x1?2

cc?由于在系K/看来，B以速度?u运动，B运动距

//离??x所用时间?t为

??x/?xu2?t??1?2

?uuc/这就是A/钟的读数。

可见，A/钟与B钟相遇时，确实是：A/钟读数小、B钟读数大，即似乎确实能分辨出来“A钟慢、B钟快”。

/

A/钟相对于K系运动，A/钟确实应该慢；而在K系看来，B钟也是运动的，也经该

慢。这似乎出现了矛盾。

如图，K认为：钟A与钟A相遇时，钟A与钟B根本没有校准，钟B的指针比钟A提前。（或者，从经典物理大致考虑：信号的传播是需要时间的，钟B指针指向“0”这一信号传到A时，将钟A调到“0”，此时，钟B已经过“0”了，即钟B比钟A提前了）。

如图，K认为：在对“AA相遇到A钟与B钟相遇所用时间的测量”中，A和B钟的测量结果是一样的，都比A钟测量的结果短，即A和B钟都慢；只不过是在AA相遇时，

/

//////

B钟的指针“提前”了，从而在A/钟与B钟相遇时，B钟的“读数”比A/钟的“读数”

大。可见，上面的结果，并不违反相对论，反而正是相对论的必然结果。 4.根据狭义相对论的原理，时间和空间的测量值都是 ，它们与观测者的 密切相关。

答：相对的，相对运动状态。

5. K、K系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K系相对与K沿x轴正方向匀速运动。一刚性尺静止于K系中，且与x轴成30角，而在K系中测得该尺与x 轴成45角，试求：K、K系的相对运动速度。 解：如图，在K系中测量，??30，所以 ?y??xtan???xtan30

/在K系中测量，??45，所以

/00//0//0/0 ?y??xtan???xtan45

由洛伦兹变换，得到

////0

u2?y??y，?x??x1?2

c2u?c

3//6.一匀质矩形薄板，静止时边长分别为a和b，质量m0，试计算在相对薄板沿一边长以v速运动的惯性系中测得板的面密度。

解：在相对于板运动的参照系中，长度收缩，同时质量增大。

质量为：m?质量密度为

m01?v2c2；长度为：a/?a1?v2c2，b?b

/m0m0?0m1 ???//22222222abab(1?vc)1?vc1?vcab1?vc7.列车和隧道静止时长度相等，当列车以u的高速通过隧道时，分别在地面和列车上测量，列车长度L与隧道长度L/的关系如何？若地面观测者发现当列车完全进入隧道时，隧道是

??的进、出口处同时发生了雷击，未击中列车，按相对论的理论，列车上的旅客会测得列车遭雷击了吗？为什么？ 解：（1）由于隧道相对于地面是静止的，而列车是运动的，所以，地面测量隧道的长度是原长，地面测量列车的长度是测长，即地面测量：

22/隧道长L1?l0，列车长L1?l01?uc

/地面测量隧道长L1与列车长L1的关系为：L1?L11?u2c2

由于列车相对于列车是静止的，而隧道是运动的，所以，列车测量列车的长度是原长，列车测量隧道的长度是测长，即列车测量：

/列车长L/2?l0，隧道长L2?l01?u/2c2

地面测量隧道长L2与列车长L2的关系为：L2?L/21?u2c2

（2）地面测得雷击时刻火车完全位于隧道内，没有遭雷击。列车上的测量同样得出列车没有遭雷击。

设列车头到达隧道出口为事件A1，闪电到达隧道出口为事件A2；列车尾到达隧道进口为事件B1，闪电到达隧道进口为事件B2。在地面上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车头与闪电同时到达隧道出口，闪电没有击中列车头；在地面上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车尾与闪电同时到达隧道进口，闪电没有击中列车尾。

事实上，“列车头到达隧道出口的事件A1”与“列车尾到达隧道进口的事件B1”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的；“闪电到达隧道出口的事件A2”与“闪电到达隧道进口的事件B2”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的。

设“闪电到达隧道出口的事件A2”在地面测量A2(x1,t1)，在列车上测量A2(x1,t1)；“闪电到达隧道进口的事件B2” 在地面测量B2(x2,t2)，在列车上测量B2(x2,t2)。由于t1?t2,x2?x1?l0，则

/t1/?t2??(t1?////ux1ux2uu)??(t?)??(x?x)??l?0 22122220cccc可见，出口处雷击先发生，此时列车头部未出隧道；入口处雷击后发生，此时列车尾部进入隧道。

8.伽利略相对原理与狭义相对论的相对性原理有何相同之处？有何不同之处？ [答] 相同：力学规律对一切惯性系成立；

不同：狭义相对论的相对性原理要求所有物理规律对一切惯性系成立。 9.“同时性”的相对性是针对任意两个事件而言的吗？ [答] 不是，要求两个事件发生在不同地点。

同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的。 作业17 1.实验室测得粒子的总能量是其静止能量的K倍，则其相对实验室的运动速度为[ ]

A.

ccc B. 1?K2 C. K?1KKm01??22K2?1 D.

cKK?1 cK2?1 K答：［C］

22解：mc?Km0c，m?，

m01??22?Km0， ?v?2.把一静止质量为m0的粒子，由静止加速到??0.6c，所需作的功为[ ]

A. 0.18m0c B.0.36m0c C.1.25m0c D.0.25m0c 答：［D］

解：Ek?mc?m0c?m0c(2222211??2?1)?0.25m0c2

3.观测者乙以c的速率相对观测者甲运动，若甲携带质量为1kg的物体，则 (1) 乙测得物体的质量为： ； （2）甲测得物体的总能量为： ； (3) 乙测得物体的总能量为： 。 答：1.25kg；9?10J；1.125?10J。

1617353c，m0?1kg 5（1）物体m0?1kg相对于乙在运动，测得的是运动质量

解：v?1??1?(0.6)（2）物体m0?1kg相对于甲静止，测得的是静止能量

E0?m0c2?1?(3?108)2?9?1016(J)

（3）物体m0?1kg相对于乙运动，测得的是运动的总能量

m?m02?1kg2?1.25kg

E?mc2?1.25?(3?108)2?1.125?1017(J)

?314.电子静止质量m0?9.11?10kg，当它以??0.99c 的速度运动时，按相对论理论，

其总能量为 ，动能为 ，按经典理论，其动能为 。

J；4.99?10?13J；4.03?10?14J。

m0c29.11?10?31?(3?108)22??5.81?10?13J 解：（1）E?mc?1??21?0.992答：5.81?10（2）动能等于总能与静止能量之差

?13Ek?mc?m0c??9.11?10?3122m0c21??282?m0c2

?(3?10)1?0.992?9.11?10?31?(3?108)2?4.99?10?13J（3）按经典物理，电子动能为

111m0v2?m0(0.99c)2??9.11?10?31?(0.99?3?108)2?4.03?10?14J 222?65. ?子的静止质量是电子质量的207倍，在其自身参照系中平均寿命?0?2?10s 。Ek?若在实验室参照系中得其平均寿命??7?10?6s。试问：实验室测得其质量是电子静止质量的多少倍？

解：依题，由?子的静止寿命（原时）与运动寿命（测时），可以求得?子的运动速度

则?子的运动质量为

?02??1??2 ?7m?m01??2?7m0 2?子的静止质量与电子的静止质量之比为

m0?207 me0则?子的运动质量与电子的运动质量之比为

7m0m7???207?724.5 me02me026. ?粒子的动能等于其静止能量的一半，求其运动速度。

m0531222c 解：mc?m0c?m0c；m?m0?；v?23221??7.已知K系相对K系以u?0.8c的速度沿X轴正向运动。一静止质量为m0的粒子也沿X轴运动，在K系中测得粒子速率??0.6c。求：

（1）相对K系，粒子的动能Ek； （2）相对K系，粒子的速度v； （3）在K系中测，粒子的总能量E。 解：（1）m?/////m01?(0.6)21Ek?(m?m0)c2?m0c2；

4?5m0； 4 （2）

v/?v?u0.6c?0.8c5???c； vu0.6c?0.8c131?21?cc2（3）

E?mc?//2m0c2v/21?()c?m0c21?(?52)13?13m0c2 128.根据相对论的理论，实物粒子在介质中的运动速度是否有可能大于光在该介质中的传播速度。

讨论：相对论只给出真空中的光速是物体的极限速度，光在介质中的速度小于光速，则实物粒子在介质中的速度有可能大于光在介质中的传播速度。

9.如果A、B是K/惯性系中互为因果关系的两个事件（A是B的原因，先于B发生），问：是否能找到一个惯性系，在该系中测得B先于A发生，出现时间顺序颠倒的现象？ 答：不能。 解：（数学讨论略）相对论理论也不可能不遵守客观事实。因果律不能颠倒，但没有因果联系的两个事件，在不同的惯性系中，发生的先后顺序又可能颠倒。 作业18 1 两个条件相同的物体，一个是黑的，一个是白的，把它们放在火炉旁，则 色的物体升温快？如果把它们放在低温的环境中，则 色的物体降温快。 答：黑；黑。

解：黑色物体吸收本领大，同时，其辐射能力也大。 2 绝对黑体是[ ]

A. 不能反射但是能发射所有的电磁辐射

B. 能吸收射任何电磁辐射，也能发射电磁辐射 C. 能吸收任何电磁辐射，却不能发射电磁辐射 D. 不能反射也不能发射任何电磁辐射 答：［A］

解：C和D肯定错；B没有说“发射所有电磁辐射”。

3.将星球近似看做绝对黑体，利用维恩位移定律，可测量星球的表面温度。设测得北极星的?M?0.35?m，则北极星的表面温度为 ；由该定律可知，当黑体的温度升高时，最大单色辐射本领对应的波长将向 移动。 答：8.28?10K；短波方向。

32.898?10?3解：由维恩位移定律有T?m?b，T???8.28?103K ?6?m0.35?10b 当温度升高时，黑体辐射的最强电磁辐射的波长变短。

4.绝对黑体的辐射本领与表面温度关系是 ；设空腔上小孔的面积为3cm每分钟向外辐射540J的能量，则空腔的温度T? 。 答：M??T ，852 K

解：由斯特藩－波尔兹曼定律M??T，得到

442T?（M?1/4）?（5401/4）?852K ?4?860?3?10?5.7?105.光电效应的实验规律是：

（1）饱和光电流与照射光的 成正比；

（2）光电子的最大初动能与 有关，与 无关； （3）要产生光电效应，对照射光的要求是 。 答：强度；照射光的频率，光的强度；频率大于该金属的红限频率 6.写出光电效应的爱因斯坦公式h??12mvM?A中各项的物理意义。 2答：入射光子的能量，逸出电子的最大初动能，金属逸出功

7.在加热黑体过程中，其最大单色辐射本领的波长由0.8?m变到0.4?m，计算其总辐射本领增加多少倍？

4解：由维恩位移定律T?m?b及斯特藩－波尔兹曼定律M??T，有 T2T1??m1?m2

M02?T0.8?(2)4?(m1)4?()4?16 M01T1?m20.48.从金属铝中逸出一个电子需要4.2eV的能量.今有波长??200nm的紫外线照射铝表面,

求:(1)光电子的最大初动能;(2)遏止电压;(3)铝的红限波长. 解：逸出功A?4.2eV，由爱因斯坦光电效应方程，得到

12hc1mv??A?2eV（2）mv2?eUa ，Ua?2V 2?2（3）?0?Ah， ?0?hcA?296nm

（1）

9.人体向外发出热辐射,为什么在黑暗中看不见人体发亮? [答] 温度低，辐射波长太长，肉眼看不见 作业19 1． 康普顿效应的主要特点是【】

A． 散射光的波长均比入射光的波长短，波长与散射物的性质无关。 B． 散射光的波长均比入射光的波长长，波长与散射物的性质有关。 C． 散射光中既有比入射光的波长长的成分，也有与入射光的波长相同的成分；波长与散射

物的性质无关。

D． 散射光中既有比入射光的波长长的成分，也有与入射光的波长相同的成分；波长与散射

物的性质有关。 答：［C］

2． 在康普顿散射中，设反冲电子的速度为0.6c，则因散射使电子获得的能量是其静止能量

的【】

A．0.5倍 B．0.25倍 C．2倍 D．1.5倍 答：【B】

解：散射后，反冲电子的总能量为

E?mc?2m0c2v21?2c?1.25m0c2

反冲电子获得的能量，即反冲电子的动能为

Ek?mc2?m0c2?0.25m0c2

3．以一定频率的单色光照射在某金属上，测得其光电流的曲线如图实线所示，然后在光强不变增大照射光频率，测得光电流得曲线如图19－1中虚线所示，则满足题意的图是【】。

(A) (B) (C) (D) 答：【B】

解：由光电效应方程：h??121mv?A ，且 mv2?eUc，可见，当增大照射光频率时，22逸出的光电子最大初动能增大，反向截止电压数值上增大，所以A和C错；光的强度：

S?Nh?，光强不变, 增大光的频率，则光子数应减少，单位时间内逸出的光电子数减少，因而虚线的饱和光电流应减小。

这里注意：光电效应中，饱和电流与光强成正比，是对入射光频率不变的情况而言。 4．康普顿效应是指____________________________，这可以用光子与___________进行碰撞来解释，在此过程中________与___________________守恒。

答：X射线通过物质发生散射时，出现波长比入射光波长长的散射光，散射光波长改变的现象；原子中受原子核束缚较小的外层电子；动量，能量

5．波长为300nm的光照在某金属表面产生光电效益，已知光电子的能量范围从0到

4.0?10?19J。求（1）遏制电压；（2）红限频率。

?34?19（普朗克常数h?6.63?10J?S，电子电量e?1.60?10C）

?19解：（1）光电子的最大初动能为4.0?10J, 则

1mV214.0?10?19J22mV?eUa，Ua???2.5V 2e1.60?10?19C12（2）由 h??mV?A和A?h?0，得到

211mV2mV2c23?1084.0?10?19142?0????????4.0?10Hz ?9?34h?h300?106.63?106．钨的逸出功为4.58eV。（1）求钨的红限频率；（2）分别求出照射光波长为200nm和250nm

时的遏制电压。

cA4.58?1.60?10?1915???273nm ??1.1?10Hz解：（1）A?h?0，?0?，0?0h6.63?10?3412（h??A）/e?（hc/??A）/e （2）h??mv?A?eUa?A，Ua?2??200nm时，

6.63?10?34?3?108?4.58?1.60?10?19?9200?10（hc/??A）/e??1.64(V) Ua??191.60?10当??250nm时，Ua?0.39V

7．在康普顿散射中，若照射光光子能量与电子的静止能量相等，求；（1）散射光光子的最小能量；（2）反冲电子的最大动量。 解：（1）由已知h??hc?0?m0c2，

则有入射光子的波长为?0?由 ??????0?有???0?h m0ch(1?cos?)， m0ch(1?cos?) m0c散射光子能量最小时，其波长最大，此时???，因此，散射的最大波长为

?max??0?hc2hh2h3h???， m0cm0cm0cm0c?1m0c2?0.17MeV（电子静止能量0.511MeV） 3

散射光子的最小能量为

h?min??max（2）当散射光子有最小能量时，反冲电子的动能最大，则反冲电子的动量最大。

?h?h?e0?P?e，则反冲电子的最大动量： 如图，由动量守恒

?0?maxP?h?0?h?max14?m0c?m0c?m0c?3.64?10?22kg?m/s

338．光电效应和康普顿效应在对光子的粒子性认识方面有不同意义吗？

[答] 光电效应：光子具有能量，能量守恒

康普顿效应：光子还具有动量，能量和动量守恒

9．为什么可见光作为入射光一般观察不到康普顿散射效应？

h(1?co?s)可说明：若入射光可见光，如其波mec长为400nm，则最大的???0.0024nm，则??/??0.0006%，因而很难观察到。

[答]由康普顿散射公式 ??????0? 作业20 1． 设氢原子的质量为m，动能为Ek，其德布罗意波长为【】 A．??答：【D】

[解]按非相对论的动量与动能的关系：p?2mEkh B．??mEkh C．??hmEk D．

??h2mEk

2mEk，则氢原子的德布罗意波长为

??hh ?p2mEk2．欲使电子腔中电子的德布罗意波长为0.1nm，加速电压应为【】

A．150V B．122.5V C．1.5V D．12.25V E．24.4V 答：【A】 [解] 按非相对论的动量与动能的关系：p?2mEk和加速电压与动能的关系eU?Ek，

p2h以及德布罗意波长??，得到eU?Ek?，因此

p2m?2p2h26.632?10?68U????150(V)

2me2me?22?9.11?10?31?1.60?10?19?0.12?10?18h或直接按公式?? ? U=150V

2meU3．如图20－1所示一束动量为P的电子，通过缝宽为a的狭缝。在距离为R处放置荧光屏，屏上衍射图样中央明条纹的宽度d等于【】

2ha RP2RhB．

aPA．

2a2C．

R2haD．

P答：【B】

h2Rhd/2adh?，得d?，asin?1??，sin?1?tg?1?，

p2RpapRh4．?0?称为电子的康普顿波长（me为电子的静止质量，h为普朗克常数，c为真空

mec解：??中的光速），当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长λ=_______λ答：33

222[解] 依题Ek?mc?mec?mec， 则有

0

mc2?2mec2，E?mc2?2mec2

22222由电子的相对论动量与能量的关系：pc?(mec)?E，得到

p2c2?(mec2)2?(mc2)2?(2mec2)2，即得到

hh3???0 p33mec5．如果粒子位置的不确定量?x等于粒子的德布罗意波长，则粒子速度的不确定量一定

p?3mec，??_____________（大于/等于/小于）粒子的速度值。 答：大于

解：由不确定关系?x?p?h和德布罗意波长公式??h，得到 p?p?m?v?hh??p?mv， ?x?所以，所以速度与速度的不确定量的关系为

?v?v

6．反应堆中的热中子动能约为6.12×1012eV，计算这种热中子的德布罗意波长。 解：热中子的动能与中子的静止能量之比为

Ek6.12?1012?1.602?10?19??6.5?103 2?2716mn0c1.67?10?9?102可见，Ek??mn0c，因此，必须考虑相对论效应。

222222由动量与能量的关系pc?(mn0c)?(Ek?mn0c)，所以pc?Ek

德布罗意波长为

hhc??2.03?10?19(m) pEk7．质量为me的电子，由静止起被电势差U12＝900V的电场加速，试计算德布罗意波的波

???31?34长。（me?9.11?10kg，普朗克常数h?6.63?10J?S）

222222解：考虑相对论效应，由动量与能量的关系pc?(mec)?(eU?mec)，

得到：

pc?5.36?10?14(J)

德布罗意波的波长为

hhc6.626?10?34?3?108?12??????3.71?10(m)?0.00371(nm) ?14ppc5.36?10h?3.87?10?12(m)?0.00387(nm) 如果不考虑相对论时，??2meU???4.3%，所以电子经100kV电场加速，可以不考虑相对论效应。

?8．氦氖激光器所发出的红光波长为??632.8nm，谱线宽度???10nm，问：当这种光子沿x轴方向传播时，它的x坐标的不确定量多大？ 解：由德布罗意公式p??9h?，得到

?p?h???2，

再由不确定关系，得到其位置的不确定量为

h?2(632.8?10?9)2?x????4?105(m) ?9?9?p??10?109．若一个电子和一个质子具有同样的动能，哪个粒子的德布罗意波长比较大？

答：电子。

解：动能相同，静止质量小的动量小，相应的德布罗意波长大。 作业21 1． 已知粒子在一维无限深方势阱中运动，其波函数为?(x)?则粒子在x?A.

1acos3?x(?a?x?a)，2a5a处出现的概率密度为【】。 61111 B. C. D.

2aa2aa2答：【C】 解： ?x?5a6?1acos2(3?5a15?1 ?)?cos2()?2a6a42a2. 粒子在一维矩形无限深势阱中心，图21－1所示为粒

子处于某一能态波函数?(x)的曲线。粒子出现概率最大位置为【 】。

aa5aa2a,, B. 0,,,a 62633aa5aC. D. ,

266A．

答：【A】

解：显然，这粒子处于n?3的第2激发态的波函数，为正弦函数，

?(x)的极大值出现在,,2aa5a处。

6263? E. 45?

3. 如果电子处于4f态，它的轨道角动量的大小为【】。 A．6? B. 23? C.

2? D.

答：【B】

解：4f态，n?4、l?3，则轨道角动量为

L?l(l?1)??3?(3?1)??23?

?4. 设描述微观粒子运动的归一化波函数为?(r,t)。

?（1）请写出???的物理意义；

（2）问：?(r,t)必须满足的标准条件和归一化条件是什么？归一化有什么意义？ 解：(1) 粒子t时刻、在r处出现的概率密度；

(2) 单值、有限、连续；

??????*dV?1，符合几率描述。

?5．氢原子处于主量子数n?4的状态，其轨道角动量可能的取值分别为 ； 对应l?3的状态，氢原子的角动量在外磁场方向的投影可能取值分别为 。 答： 0，2?，6?，23?；－3?，－2?，－1?，0，1?，2?，3?。 解：n?4，则l?0,1,2,3,?,(n?1)?0,1,2,3，则轨道角动量的可能值为

L?l(l?1)??0,2?,6?,23?

l?3时，ml??l,?(l?1),?,0,1,2,?,(l?1),l??3,?2,?1,0,1,2,3，

则角动量在外磁场方向的投影可能值为

Lz?ml???3?,?2?,??,0,?,2?,3?

6．一个电子被束缚在宽度a?10能态电子的能量。

解：一维无限深势阱，En??10m的一维无限深方势阱中，分别计算n＝1、3、100的

?2?22ma2n2，

6.6262?10?68/4E1??6.03?10?18(J)?37.6(eV)， ?31?202?9.1?10?10E3?338.4(eV)， E100?3.76?105(eV)

?Axe?ax(x?0)7．设一维运动粒子的波函数为?(x)?? 其中a为大于零的常数。试确定归

?0(x?0)一化波函数的A值。

解：由归一化条件，

?????(x)dx?1，得?A2x2e?2axdx?1，得

02?A2?3(4a2x2e?2ax?4axe?2ax?2e?2ax)?1，A2?4a3， 8a0A?2a

8．在宽度为a的一维无限深方势阱中运动的粒子定态波函数为

(x?0,x?a)?0??(x)??2 n?xsin(0?x?a)?a?a求：（1）主量子数n?2的粒子出现概率密度最大的位置；

a（2）主量子数n?1的粒子出现在0?x?范围内的概率。

3解：（1）n?2时，波函数为

32?

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