2009年高三重庆一诊数学试题（理科）

高2009级一诊数学（理科）第一次模拟测试题

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数y?sinx?cosx的最小正周期为（ ）

?A. B. ? C. 2? D. 4?

22.已知全集U?R,集合A??xx?2?,B??xx?1?,则(A?CUB)?(B?CUA)?（ ）

A.? B. xx?1或x?2 C. x1?x?2 D. x1?x?2 3. 函数y?x?2x(x?0)的反函数为（ ） A.y?1?C. y?1?2??????x?1(x??1) B. y?1?x?1(x?0)

x?1(x?1) D. y?1?x?1(x?0)

4．若a?0,b?0,且a?1,则logab?0是(a?1)?(b?1)?0的（ ）

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．将直线l1:y?2x绕原点逆时针旋转60得直线l2，则直线l2到直线l3:x?2y?3?0 的角为（ ）

A.30 B. 60 C. 120 D. 150 6. 已知点P在抛物线x?4y上，且点P到x轴的距离与点P到焦点的距离之比为到x轴的距离为（ ）

2?????1，则点P311 B. 1 C. D.2 24??27.将函数y?f(x)cosx的图象按向量a?(,1)平移得到y?2sinx的图象，那么函数

4f(x)可以是（ ）

A. sinx B. cosx C. 2sinx D. 2cosx

8．若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1、F2分别是它们的左右焦点.设

?????????11椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1?PF2?0,则2?2?（ ）

e1e2A.

????1????????1????9．在平行四边形ABCD中，AE?AB,AF?AD,CE与BF相交于G点.若

34??????????????y AB?a,AD?b,则AG?（ ） 2?1?2?3?A. a?b B. a?b 77776 3?1?4?2?5 C. a?b D. a?b 777710．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下 往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对 应数列?an?(n?N)的前12项，如下表所示： *A.1 B. 2 C.3 D.4

4 3 2 1 －4 －3 －2 －1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10a11a12 o 1 2 3 4 x x1 y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6 按如此规律下去，则a2009?a2010?a2011?（ ）

A.1003 B.1005 C.1006 D.2011

第II卷（非选择题，共100分）

二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题正确的答案填在相应的横线上.

11．函数f(x)?log1(2x?3)?1的定义域是________________________.

312.方程x?y?mx?2my?2m?m?1?0表示圆，则m的取值范围是_______________; 13.已知数列?an?是等比数列，且a4?a5?a6?a7?a8?a9?a10?128,则a15?222a2?________; a10?x?1y14.已知实数x,y满足?，如果目标函数的最大值为2，则实数Z??x?2y?1?0x?x?y?m?m?___________;

15.定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x?1)?f(x?1).当x??2,3?时，

f(x)?x，则x???2,0?时，f(x)?____________；

16．如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB//CD. 若双曲线C1以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最 大时，双曲线的离心率为___________________.

D A C B

三、解答题：（本大题共6小题，共76分）. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

?????233?xx17．（13分）已知a?(cosx,sinx),b?(cos,?sin),若f(x)?a?b?a?b. 2222（I）求函数f(x)的单调减区间；

????（II）若x???,?,求函数f(x)的最大值和最小值.

?34?

n18. （13分）设数列?an?满足a1?2a2?3a3?...?nan?2(n?N*).

（I）求数列?an?的通项；

（II）设bn?n2an,求数列?bn?的前n项和Sn.

19．（13分）某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t(t?0)万元满足x?4?k。如果不搞促销活动，(k为常数）2t?1则该产品的年销量只能是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.

（I）将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（II）该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

20．（13分）已知f(x)?xx?a?2.

（I）当a?1时，解不等式f(x)?x?2； （II）当x?(0,1]时，f(x)?

12x?1恒成立，求实数a的取值范围. 2

21. （12分）已知点A(?1,0)、B(1,0)和动点P满足：?APB?2?, 且存在正常数m，使得PA?PBcos??m.

2（I）求动点P的轨迹C的方程；

（II）设直线l:y?x?1与曲线C相交于两点E、F,且与y轴的交点为D.若????????DE?(2?3)DF,求m的值.

222. （12分）设函数f(x)?x?ax?b（a、b为实常数），已知不等式f(x)?2x?4x?6

2对任意的实数x均成立.定义数列?an?和?bn?：a1?3,2an?f(an?1)?3(n?2,3,...),bn＝

1(n?1,2,...),数列?bn?的前n项和Sn. 2?an（I）求a、b的值；

1（II）求证：Sn?(n?N*);

32n?1（III ）求证：an?2?1(n?N*).

重庆市高2009级学生学业质量调研抽测试卷（第一次）

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）

1--5 BDDCA 6--10 ACBCB

二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

3211.(,3]; 12.?2?m?; 13. 2; 14. 3; 23??x?2(?1?x?0)15.f(x)??; 16.?1; 3?x?4(?2?x??1)三、解答题：（本大题共6小题，共76分）.

17.(13分)

3x3x?3x3x?解：（I）?f(x)?cosxcos?sinxsin??(cosx?cos)2?(sinx?sin)2?

2222?2222? ?cos2x?(2?cos2x)??cos2x?2.………………………(6分)

????函数f(x)的单调减区间为?k??,k??(k?Z)……………………(7分)

2??3??????2????,?,则f(x)???3,??,……………(11分) （II）x???,??2x???2??34??32??3?函数f(x)的最大值为?，最小值为?3.…………………………(13分)

218.(13分) 解：（I）?a1?2a2?3a3?...?nan?2n,①

?当n?2时，a1?2a2?3a3?...?(n?1)an?1?2n?1,②

2n?1(n?2).…………………(4分) 将①－②得nan?2?2?2,?an?n 在①中，令n?1,得a1?2.

nn?1n?1?2(n?1)??an??2n?1.………………………………………………(6分)

(n?2)??n?2(n?1)2b?,则当n?1时，S1?2,………(8分) b?na（II）由n?n?1n得n?n?2(n?2)?当n?2时, Sn?2?2?21?3?22?...?n?2n?1,……………………(9分) 则2Sn?4?2?22?3?23?...?(n?1)?2n?1?n?2n,

?Sn?n?2n?(2?22?23?...?2n?1)?(n?1)2n?2(n?2).……………(12分)

又S1?2,

?Sn?(n?1)2n?2(n?N*).…………………………………………(13分)

19.(13分)

k3解：（I）由题意有1?4?，得k?3，故x?4?.

12t?16?12x3?y?1?5??x?(6?12x)?t?3?6x?t?3?6(4?)?t

x2t?118?27??t(t?0)

2t?1（II）由（I）知：

1891y?27??t?27?5?[?(t?)]?27?5?29?21?5……(11分)

12t?12t?291当且仅当?t?,即t?2?5时，y有最大值.

12t?2答: 2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. …………(13分)

20.(13分) 解：（I）a?1时，f(x)?x?2，即xx?1?2?x?2.（※）

(1)当x?2时，由（※）?x(x?1)?2?x?2?0?x?2.

又x?2，?x??………………………………………………(2分)

(2)当1?x?2时，由（※）?x(x?1)?2?2?x??2?x?2.

又1?x?2，?1?x?2;………………………………………(4分) (3)当x?1时，由（※）?x(1?x)?2?2?x?x?R.

又x?1，?x?1;………………………………………………(6分) 综上：由（1）、（2）、（3）知原不等式的解集为xx?2.……………(7分)

??121x?1,即xx?a?2?x2?1恒成立， 221131也即x??a?x?在x?(0,1]上恒成立。…………………(10分)

2x2x111而g(x)?x?在(0,1]上为增函数，故g(x)max?g(1)??.

2x2631313时，等号成立. h(x)?x??2?6,当且仅当x?,即x?32x22x1故a?(?,6).………………………………………………… (13分)

221.(12分)

（II）当x?(0,1]时，f(x)?解：（I）在?PAB中，由余弦定理得AB?PA?PB?2PA?PBcos2?,(1分)

?AB?2,PA?PBcos2??m.

?4?(PA?PB)2?2PA?PB(1?cos2?)?(PA?PB)2?4m,………(4分)

222

?PA?PB?21?m?2?AB，即动点P的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.

x2y2??1.………………………… (6分) ?动点P的轨迹C的方程为：

1?mm?y?x?12222(2m?1)x?2(m?1)x?(1?m)?0.（※）… (7分) （II）由?得?xy??1??1?mm设E(x1,y1)、F(x2,y2)，易知D(0,1)，则x1?x2??2(m?1),①

2m?11?m2x1?x2?.②…………………………………………………(8分)

2m?1????????又DE?(2?3)DF,?(x1,y1?1)?(2?3)(x2,y2?1),

?x1?(2?3)x2,③…………………………………………… (10分)

?2(m?1)?(3?3)x?2?11?2m?1x将③代入①、②得?消去得或,m?m??. 22321?m?(2?3)x2?2?2m?1?11?m?0,?m?，代入（※）方程??0 .故m?…………… (12分)

22

22.(12分) 解：（I）由f(x)?2x2?4x?6?2(x?3)(x?1)得f(?3)?0,f(1)?0,

故a?2,b??3,?f(x)?x2?2x?3………………………………(2分)

2（II）由2an?f(an?1)?3?an?1?2an?1?an?1(an?1?2)(n?2)得

a1?n?1(n?2),

an?1?22ananan22a?2an111?bn????n?1??.…………(4分)

2?an2an?12anan?12anan?1anan?1111111?Sn?b1?b2?...?bn?(?)?(?)?...?(?).

a1a2a2a3anan?11111????. a1an?13an?122?2an?an?1?2an?1(n?2),?2an?2an?1?an?1?0(n?2),

?an?an?1(n?2),

从而an?an?1?...?a2?a1?3?0,即an?1?0,

1?Sn?(n?N*).…………………………………………………(6分)

322（III ）由2an?an?1?2an?1(n?2)得(an?1?1)?2an?1?2(an?1)(n?2),

2设an?1?cn,则c1?4,且2cn?cn ?1(n?2),于是1?log2cn?2log2cn?1(n?2),…………………………………(8分)

设dn?log2cn,则d1?2,且1?dn?2dn?1(n?2),

?dn?1?2(dn?1?1)(n?2),

?dn?1?22(dn?2?1)?...?2n?1(d1?1)?2n?1(n?2),……………(10分)

从而n?2时，dn?2n?1?1?2n?1,?cn?2dn?22,?an?cn?1?22?1. 当n?1时，a1?3?22?1?1,

?an?22?1(n?N*).……………………………………………(12分)

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