GM(1,1)文献综述

企业运营管理专题结课论文

GM(1，1)模型及其优化综述

姓名：朱山丽 学号：14207016 专业：企业管理2014级 学院：信息与管理科学学院 日期：2014-12-28

GM(1，1)模型基本形式及优化

1基本模型构建

灰色预测GM(1，1)模型的建模过程是将无规律的原始数据进行累加，得到规律性较强的生成数列后进行建模，由生成模型得到的数据在进行累减得到原始数据的预测值，然后进行预测。

假设原始数列为

XX（0）?(X(0)(1),X(0)(2),,,X(0)(n))

异界累加生成新的序列 其中：

（1）?(X(1),X(2),,,X(n))

i(1)(1)(1)

X（1）(i)??Xk?1(0)(k),i?1,2,,,n

将原始数据累加后，弱化了原始数据的随机性，若将原始数据列

X（0）和一阶累加生成序

X（1）满足准光滑性检验

?(k)?准指数规律检验

?(k)?以及级比检验

XX(0)(k)（1）(k?1)?0.5

X(k)?[1,1.5] X(k?1)（1）(0)(1) ?(k)?XX则

(k)（0）(k?1)?(e?2n?1,,e)

2n?1X（1）序列具有指数增长的规律，即满足一阶线性微分方程

dXdt(1)?aX(1)?b （1）

式中，a称为发展灰数，反映数，反映了数据间的变化关系。

为了求解a和b，令???X（1）及原始序列

X（0）的发展趋势，b称为内生控制灰

(a,b)T为待估向量，由于分析的数列是离散的，将式（1）

中

dXdt(1)离散化，则有

令 其中，

dXdt(1)?X（1）(k)?X(k?1),k?2,3,,,n （2）

(1)(1)Z(1)(k)??X(k)?(1??)X(k?1)，k?2,3,,,n （3）

（1）Z（1）（0,1），?为权重系数。 (k)称为式（1）的背景值，?? 假定?的取值为0.5，则有

Z(1)(k)?X(1)（1）(k)?X(k?1) （4）

2(1)(1)此时，将式（1）离散化后，则有

X?（1）(k)?X(k?1)?aZ(k)?b,k?2,3,,,nT （5）

利用最小二乘法求解式（5）可得 其中

?（?BB）BY-1Tn （6）

1(1)(1)??((1)?(2))XX ?-??(2)12?Z(1)??1(1)(1)?(3)1????((2)?(3))ZXXB??2?????????(1)???Z(n)1????1(X(1)(N?1)?X(1)(n))??2（1）?1??（0）(2)???X(0)??X(3)?1???YN??????(0)???X(n)?? 1?

??求得a和b ，继续求解微分方程式（1），得到

（1）X?（1）?ce?at?b （7） a其中

X?为

X（1）序列的预测值，c为待定常数。

将式（7）离散化，则有

X?（1）（k?1）?ce?akb?,k?0,1,,,n?1 （8） a为求解常数c，需要事先选定一个初始值。假定

（1）X?（1）（1）?X（0）（1），则有

X?（1）?c?b?aX（0）（1） （9）

c?带入式（8）得

X（0）（1）-b aX?（1）b??akb?（0）（k?1）??X（1）-?e?,k?0,1,,,n?1 （10）

a?a?对式（10）作累减还原，便可得到原始数列

X（0）的灰色预测模型

X?（0）（k）?X?(1)(k)?X?(1)(k?1),k?2,3,,n （11）

2、四种基本形式

刘思峰等根据已有研究给出ＧＭ（１，１）模型４种基本形式的定义，包括均值ＧＭ（１，

１）模型（ＥＧＭ）、原始差分ＧＭ（１，１）模型（ＯＤＧＭ）、均值差分ＧＭ（１，１）模型（ＥＤＧＭ）和离散ＧＭ（１，１）模型（ＤＧＭ）； 其中EGM的时间响应式为

XX??（1）b??a（k?1）b?（0）（k）??X（1）-?e?,k?1,2,,,n

a?a?b?a（k?1）a(0)（k）?（1?e）(x(1)?)e,k?1,2,,,n

a（0）

DGM的时间响应式为

?（0）?k??2,k?1,2,,,n2???（k）??X（1）- X 1-??11-??1?1?（0）?（0）?k?1??2?X（??,k?1,2,,,n（k）?（??1）1）-1 X 1-??1?1??1-0.5ab,??其中，??

121?0.5a1?0.5a?（1）ODGM的时间响应式为

XX??（1）b?1b?（0）（k）??X（1）-?(?,k?1,2,,,n) aa??1?ab?1?（0）（k）?（-a）（1）-,k?1,2,,,n()X?? a??1?a?（1）kk（0）

EDGM的时间响应式为

Xb?（0）b?1-0.5a（k）??X（1）-?(?,k?1,2,,,n) aa??1?0.5ak

X?（0）-ab?1-0.5a?（0）（k）?（）（1）-,k?1,2,,,n（）X? 1?0.5a?a??k1?0.5a主要研究结论如下：

（１）GM(1，1)模型的４种基本形式：EGM、ODGM、EDGM、DGM两两相互等价。 （２）ＯＤＧＭ、ＥＤＧＭ 和ＤＧＭ 均能够精确模拟齐次指数序列。

（３）对于非指数增长序列和振荡序列，应首先选择微分、差分混合形态的ＥＧＭ。 （４）对于接近齐次指数序列的非指数增长序列和振荡序列，应优先选择离散形态的ＯＤＧＭ、ＥＤＧＭ 或ＤＧＭ

3 模型改进

GM(1，1)模型的改进方法也有很多种，如：

（1）新信息GM(1，1)模型,通过 不断地补充新出现的信息，即在预测下一时刻的值时，将最新的信息加入。此模型随着时间推移，序列长度会越来越长；

（2）新陈代谢GM(1，1)模型, 即新信息出现后，将老信息去掉，加入新信息，保持序列长度不变；

(3)残差GM(1，1)模型, 用序列的残差再次建立GM(1，1)模型，用残差GM(1，1)模型的预测值来对原始序列的预测结果进行修正；

(4)GM(1，1)模型群法, 用原始序列数据建立多个GM(1，1)模型，给出预测值的区间。 穆勇通过构建三个类型的无偏GM(1，1)模型（即UBGM(1，1)模型），对原始数据按无偏GM(1，1)直接建模法建立模型，得到模型的离散响应式为

X?（0）b?a（k?1）b(0)（k）?(x(1)?)e?,k?1,2,,,n

aa石斌、刘思峰等分别描述了UBGM(1，1)?X(1)(1)和UBGM(1，1)?X(n)模型，并令两

(1)种模型的初始值分别为

X?（1）(1)?c1,X?(1)?cn，然后分别考虑准则Ⅰ（选定c1,cn使得原

序列的一阶累加生成序列与其模拟值的误差平方和在最小二乘意义下最小）和准则Ⅱ（选定来确定待定常数c,c c,c使得原序列与其模拟值的误差平方和在最小二乘意义下最小）

1n1n

曾波、刘思峰等通过构建灰数核的定义，同时对灰单元格的面积构成序列，得到离散灰数预测模型的时间响应式为：

S?（1）k,j?(s1,j?b)aeaj?jj(k?1)?bajj。

姚天翔、刘思峰对离散GM(1，1)进行了数乘变换以及分段修正优化，使得模型得到优化。其中对原始序列进行数乘变换，变换下的参数性质可以降低矩阵的条件数而不改变模型的模拟值和模拟精度，为解决灰色预测模型的病态性提供了思路。分段修正离散G M(l , l) 模型。通过变换可以完全拟合多个等比序列构成的原始序列对于样本数目较多、样本数据属于多个周期的序列提高模拟精度具有重要意义。

张可、刘思峰通过引入线性时间项，构造时变参数离散灰色预测模型（称为TDGM(1，1)模型），进而研究该模型性质。结果表明：TDGM(1，1)模型具有白指数规律重合性、线性规律

重合性、伸缩变换一致性，克服了原离散模型模拟值为等比序列的问题。

4、模型优化

4.1模型参数优化

刘斌、赵亮等在确定发展系数- a 和灰色作用量b 后,利用

X（1）的模拟数值和

X（1） 序列

的差值平方和最小,确定白化权函数中的常数c,从而构建了满足原始序列的最优时间响应函数.

许秀莉、罗键介绍了两种通过对原始序列数据进行改进再建立GM(1，1)模型的方法：采用序列算子可使相对增长较快的序列减缓其变化速度，而加入影响因子的方法，可使预测模型在序列有可能出现异常的情况下仍能作出正确的预测.。

吕林正、吴文江将原始数列中的每个数同减一个常数2?对模型中参数a,b的影响，并在线性最佳拟合意义下，求得使GM(1，1)模型最优势的常数?。

杨华龙、刘金霞、郑斌利用不同权重下预测至于实际值的利差平方和最小，并将最优的权重作为背景值时的权重，将改进的灰色预测GM(1，1)模型进行预测。

4.2初始条件优化

王瑞敏、魏勇将初始条件由原来的党耀国、刘思峰、刘斌在建模时把

XX（0）优化为X（n）。 （1）的第n 个分量即

作为灰色微分方程的初X（n）（1）（0）（1）始条件，对GM(1，1)模型进行了改进，模型优度得到提高。 熊萍萍、门可佩、吴香华把

X（1）的第ｎ个分量

X（1）(n)作为灰微分方程的初始条件，这样

(1)更加符合灰色系统理论的新信息优先原理，而且显著提高了对模型的模拟预测精度；同时将

X(t)（1）t????1X(1)??2X(2)?,,,??nX(n)作为无偏GM(1，1)模型的初始条

(1)(1)件，求出原始序列的模拟值，并得出

?,?,,?12n?1及?之间的关系式。

张大海、江世芳、史开泉通过对初始值进行改进，由原来的

（1）X?（1）（1）变为

X?（m）?X(1)（m）为已知条件，则得到新的预测公式

X?（1）b??a(k?m?1)b?(1)，n中选择 （k?1）??X（m）??e?，此时m可以根据实际情况从1,2，

a?a?袁德宝、崔希民、高宁同时利用

X?（1）（1）和

X?（1）（n）为初始条件，得到新的GM(1，1)预测

模型

X（1）?（1）?(k)?X(1)?(1)X?e?(1??)e?a(1)?(1??)?(1)(n)??anba?b

a王忠桃、彭鑫等对初值进行修正，然后对不同初值得到的各个模型进行加权，建立最优模型，设

X(1)?biX(m),i?1,2,,n;m?1,2，其中参数bi为待定修正系数，X(k?1)的

(1)（1）预测公式为

X(1)m(k?1)?(biXb?a(k?m?1)b(m)?)e?

aa汪鹏飞等利用幂函数变换的改进方法对原数据进行处理，即对

?X（k）?进行幂函数变化得

（0）??到????X(0)(k)?vT??（1）??，从而提高数据的光滑度；然后以X（m）??X'(m),m?2,3,,n为

(1)已知条件，从而得到新的预测公式

X?（1）b??a(k?m?1)b?(1)（k?1）??X（m）??e?

a?a?曾波、刘思峰通过对初始条件进行优化，即构建非齐次指数模型

X?（0）（k?1）??1???21k然后对原始DGM（1,1）模型进行优化，得到DDGM(1，1)模型。

4.3背景值优化

罗党、刘思峰、党耀国***王钟羡、吴春笃利用在区间[k,k+1]积分的方法，将原来的背景值

?XZ（k）（1）(1)(k)?X(k?1)（1）X(1)(k)?X((1k)-1)，优化为Z(k)?，优化

2lnX(k)?lnX(k-1)(1)(1)(1)GM(1，1)模型既适用于低增长指数(即发展系数的绝对值较小)序列建模，也适用于高增长指

数(即发展系数的绝对值较大)序列建模，尤其是对高增长指数序列优化GM(1，1)模型，可用于做中长期预测且精度较高。

谭冠军利用在区间[k,k+1]插值的方法，将背景值所代表的区域面积划分为n个小区域，用总区域的面积来表示背景值，即

Z(1)n(k?1)?1(1)(1)(n?1)X(k)?(n?1)X(k?1)，这样，随着n由小向大变化，这n2n??个小区间面积之和由小于实际面积向大于实际面积变化，在这个变化过程中，理论上存在一个n值回事的这n个小区间的面积和等于实际面积，那么将这个n值得小面积之和作为背景值，会使GM(1，1)模型偏差最小。

刘乐、王洪国、王宝伟构造了一种准确的、优化的背景值构造公式，

Z（1）(k)?ln(X(1)(k)?XX(1)(k)?X(1)(1)(k?1)(1)(1))?ln(X(k?1))?XX(1)(0)(1)*X(1)(K?1)(1)(k)?X(1)

李秀珍、孔纪名、王成华***宋中民、同小军肖新平采用改变背景值得方法——中心逼近式灰色GM(1，1)预测模型。即：对累加序列的煤电开m次方（弱化原始序列的幅度），记为

X

1

m

,

1111则背景值记为?X(k?)?(Xm(k?1)?Xm(k)),k?1,2,,n?1，建立微分方程求解

22111

b?akb得Xm(k?1)?(Xm(1)?)e?,k?0,1,,n?1，通过求得的Xm的预测值，对此值

aa1mm次方，在做累减生成就得到

X（0）的预测值。经论证表明：中心逼近式灰色GM(1，1)模

型只适用于具有较强指数规律的序列，特别适用于时序曲线为随机波动较小的光滑型曲线。

4.4初始值和背景值同时优化

董奋义、田军对初始值和背景值同时进行了优化，其中以

为优化初始条件，以X（n）（1）Z(1)n(k?1)?1(1)(1)(n?1)X(k)?(n?1)X(k?1)为优化背景值，来建立新的GM(1，2n??1)模型，通过模拟数据的比较, 发现新优化GM(1，1)模型比单独优化初始条件GM ( 1, 1) 模型和单独优化背景值GM ( 1, 1) 模型有更高的精度。

骆公志、崔杰、谢乃明****廖飞选择在初始条件中增加扰动因素?，以

X（1）(n)??作为模

型的初始条件，同时以

Z（1）(k?1)?XlnX（1）(1)(1)(k?1)?X(1)(k)(1)(k?1)?lnX(k)为背景值，优化了模型的

精度，同样还可以把

X（1）（1）??或X(m)??,m?2,3,,n?1作为模型的初始条件，运

（1）用同样的方法对GM(1，1)进行优化。 张怡、魏勇、熊常伟以

为优化初始条件，以X（n）(1)Z（1）(k?1)?XlnX?(1)(1)(k?1)?X(k)(1)(k?1)?lnX(k)为背景值，优化了模型，并对四种模型进行了实

证对比。

尚军亮等利用同张怡、魏勇、熊常伟相同的方法，对不同离散数据进行讨论，得到预测方程

（1）的时间响应式为

Xb??a（k?n）b?（1）（k）??X（n）-?e?,k?1,2,,,n

a?a?覃东对模型的初始值进行优化，使得

X（1）的所有分量的拟合误差平方和最小，将初始值改

进为：

X?（0）（1）?X(0)(1)??ek?2n?a(k?1)1??ek?2b?a(k?1)?(1)???X(k)?(e?1)?a??，将模型的背景值优

n-2a（k?1）化为

Z（1）(k)?XlnX(1)(1)(k)?X(1)(k-1)(1)(k)?lnX(k-1)，最后得到模型的时间响应式为：

X?（1）??（0）b??a（k?1）b（k）??（1）-?e?,k?1,2,,,n。适用于非指数增长去世的原始序列。

a?a?X4.5残差修正

沈振、王捷采用正弦残差修正法来修正预测数据，

?(0)X?'（0）?X?(0)?E(t)，其中残差正弦

?(0)函数为

E(t)?Asin2?t。 T江和文等运用残差修正周期来优化原模型。预测数据与原始数据之差为残差E(k)，

tE(tk)?X(0)a(k)?X(0)(k)，依次分段选择不同长度的周期和变幅，采用正弦曲线拟合残

差序列，计算公式：

(0)b(0)aE(t)?Asinak2?tkT?Bk，修正后的预测值为

kX(k)?X(k)?Ea(tk)，不仅使得残差值普遍减小，而且有了波动变化，使

得拟合曲线更加逼近原始数据曲线，从而提高了模型的精度。 吴兴华、周晖通过对残差周期修正，选取

?(0)X'(0)(1)?X(0)(1)??对初值进行修正。同时选

择残差修正，

ME(t)?Asin2?t，对于最大振幅A，可以统一取残差绝对值之平均值，即T（0）??（j）A?j?1M,最后得到修正后的预测值

X?（t?1）?X(t?1)?E(t?1)

(0)?孙晨军等通过对原始的灰色预测模型的残差进行改进，吧残差数列的绝对值作为原始数列建

立残差灰色预测模型，然后利用可尔可夫过程判断残差值在k>n时的符号。即令残差

?（0）（k）?X(0)?X?(0)(k)，其余同理灰色预测模型可得改进后模型为

X?（0）??'???'b?aka?a?a(0)(0)(k?1)?(e?1)?X(1)???e?m(k?1)(e?1)(X(1)??')，其中符号函

?a?b????1数m(k)表述为：m(k)?????1?XX（0）?(k)?X(0)(k)?0(k)?0(0)? k?1

（k）?X(0)(0)4.6优化灰导数

王瑞敏、魏勇利用向前差商加权平均值??X(0)（0）(k)?X(k?1)和向后差商

??X(0)（0）(k?1)?X(0)(k)的

??X（0）(k)?X(k?1)?（1-?）?XX（k?1）??（0）(k)作为微分方程的的

?灰导数。以

X（0）（n)作为初始条件来进行建模，得到期预测模型

X?（1）b??a（k?n）b?（1）（k）??X（n）-?e?,k?1,2,,,n

a?a?-ae?e?12e?e?1（1）a2aaa李波、魏勇在向前差商和向后差商的加权平均值的基础上，推导出了加权系数?的具体表达式，即??。

王义闹、李万庆等通过对灰色微分方程的白化值进行优化，建立SSODW-GM（1,1）模型，即以?（X作为X（tk）的灰导数白化值。通过不算的优化，可以（k?1）?X(k)）(1)（1）逐步逼近发展系数a的最优值。

王义闹、刘开第等通过优化灰导数白化值为基本思想建立湖色系统但序列的一阶线性微分方程模型的方法，即建立OGD-GM(1，1)模型。其中最优白化值为：

???X(k)??X(k?1)???X(k?1)。

0王义闹提出了一种适用于任意时距汇指数单序列的逐步优化直接建模方法。通过逐步优化灰导数背景值的GM(1，1）直接建模方法，称为GM(1，1)SOB.在不同情况下，可转化为GM(1，1)直接建模法和GM(1，1)SSODMM模型。

王义闹、刘光等通过对GM(1，1)进行逐步优化，构建新的干GM(1，1)，即GM(1，1)SSODMM。 穆勇在初始条件为

X（1）（m)的情况下，以?(1)?X（0）(k)?X(0)(k?1)，式中???a(1?e)2(1?e)?a?a1为灰导数，2

?X（1）(k-1)?X(k)?为灰导数背景值建立的无偏GM(1，1)。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4uah.html