乒乓球运动中的力学问题研究分析

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摘 要

乒乓球作为“国球”，有着广泛的群众基础。21世纪初中国乒乓球运动员包揽了乒乓球赛事的冠军，对乒乓球运动进行研究意义重大。本论文共有五章，第一章主要介绍乒乓球的背景和研究内容意义等，第二章主要介绍生物动力学在乒乓球运动中的运用和展望，第三章运用理论力学、流体动力学以及Matlab研究乒乓球的运动轨迹和速度，第四章主要介绍螺旋球的原理、力学性质以及打法，

第五章主要介绍乒乓球的两种高难度技术。

关键词 乒乓球；弧圈球；螺旋球；马格努斯力；Matlab

乒乓球运动中的力学问题研究分析

The Research and Analysis of Mechanics in Table

Tennis

Abstract

As a “national sport”, table tennis has a broad mass base. Chinese table tennis players swept the table tennis tournament at the beginning of the 21st century. Researching on the table tennis has an important significance. My thesis contains five chapters. The first chapter introduces the background of table and the significance of research. The second chapter introduces the use and prospects of biological dynamics in the field of table tennis. The third chapter uses theoretical mechanics, aerodynamics and the Mat lab to research, solving the equations of motion and track of table tennis. The fourth chapter introduces the principle, the mechanical properties and the playing method of screw ball. The fifth chapter focuses on two difficult techniques of table tennis.

Keywords Table Tennis；Loop；Screw ball；Magnus Force；Matlab

乒乓球运动中的力学问题研究分析

目 录

第一章 绪论.................................................................1

1.1 概述.................................................................1

1.1.1 乒乓球发展的三个阶段............................................1

1.1.2 中国的乒乓球运动................................................2

1.2 研究的主要内容和意义..................................................2

1.2.1 研究的主要内容..................................................2

1.2.2 研究的意义......................................................3

第二章 运动生物力学.........................................................4

2.1 研究领域分析与展望....................................................4

2.2 研究方法分析与展望....................................................4

2.3 “转髋”动作分析......................................................5

2.3.1 力学原理分析....................................................5

第三章 乒乓球弧线运动.......................................................6

3.1 不旋转球与旋转球......................................................6

3.1.1 不旋转球的特性..................................................6

3.1.2 旋转球的特性....................................................6

3.1.3 马格努斯力......................................................6

3.2 弧圈球的飞行过程分析..................................................7

3.2.1 第一轨迹方程....................................................7

3.2.2 第二轨迹.......................................................10

3.3 空间运动方程........................................................12

3.4 Matlab仿真..........................................................15

3.4.1 弧圈球轨迹仿真.................................................15

3.4.2 空间轨迹仿真...................................................16

第四章 乒乓球螺旋线运动.....................................................18

4.1 螺旋球的定义........................................................18

4.2 螺旋球与弧圈球的区别.................................................19

4.3 螺旋球的基本定理.....................................................19

4.3.1 曲率与绕率.....................................................19

4.3.2 空间曲线的基本定理.............................................19

4.3.3 螺旋线的数学力学意义...........................................20

4.3.4 螺旋线的基本规律...............................................20

4.4 螺旋球的分类........................................................21

4.4.1 螺旋球的数学分类...............................................21

4.4.2 螺旋球的科学分类...............................................21

4.5 螺旋球的应用........................................................21

4.5.1 发螺旋球.......................................................21

4.5.2 拉螺旋球.......................................................22

4.5.3 台内螺旋球.....................................................22

4.6 Matlab仿真圆锥螺旋线................................................23

第五章 接发球技术..........................................................24

5.1 接发球力学原理......................................................24

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5.2 接发球动作分析......................................................25

5.2.1 台内反手侧拧...................................................25

5.2.2 台内反手侧拉...................................................26

结 论......................................................................29

致 谢......................................................................30

参 考 文 献.................................................................31 附录A 译文.................................................错误！未定义书签。 附录B 外文原文.............................................错误！未定义书签。

乒乓球运动中的力学问题研究分析

第一章 绪论

1.1 概述

1.1.1 乒乓球发展的三个阶段

20世纪初，乒乓球运动在欧洲和亚洲蓬勃开展起来。1926年在德国柏林举行了第一届世界乒乓球锦标赛，同时成立了国际乒乓球联合会。五十多年来，乒乓球运动的发展大约经历了三个阶段。 初期，运动员使用的球拍虽形状各异，但都是木制的，击出的球的速度慢。力量小，谈不上什么旋转；打法也单调，只是把球推来推去。

从1926年到1951年，世界各国选手大都使用表面有圆柱形颗粒的胶皮拍。击球时增加了弹性和摩擦力，可以使球产生一定的旋转，因而出现了削下旋球的防守型打法。这一打法在欧洲流行长久，不少运动员采用这种打法获得了世界冠军。

20世纪50年代初，奥地利人发明了海绵球拍，日本运动员道德在世界比赛中使用，并一举夺取得第十九届世界锦标赛的四项冠军，打破了欧洲运动员的垄断地位。由于日本运动员利用这种球拍创造的远台长抽进攻型打法，具有正手攻球力量大，速度快，发球抢攻威胁大等优点，因而速度慢、旋转弱、攻击力不强的欧洲防守型打法被逐渐取代。这是乒乓球运动水平的第一次大提高。

1959年，容国团获得了第二十五届世界乒乓球锦标赛男子单打冠军后，中国运动员开始登上了国际乒坛。逐渐形成了以“快、准、狠、变”为技术风格的直拍近台快攻打法。中国近台快攻的优点是站位近，速度快，动作灵活，正反手运用自如，比日本远台长抽打法又大大前进了一步。乒乓球运动的优势由日本转移到中国。这是乒乓球运动水平的第二次大提高。

在日本、中国乒乓球运动发展的同时，欧洲运动员从失败中总结经验教训，经过近二十年的努力，终于取日本弧圈球技术和中国近台快攻打法之长，创造出适合于他们的先进打法，即以弧圈球为主结合快攻的打法。以快攻为主结合弧圈球的打法，是以正反手快攻为主要技术，用反手快拨快攻力争主动，以正手拉弧圈球寻找机会扣杀为得分手段。这两种打法的特点是放置较强，速度快，能拉能打，低拉高打，回旋余地较大。乒乓球运动又推进到放置和速度紧密结合的新高度。这是乒乓球运动水平的第三次大提高。

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20世纪70年代以来，由于国际交往和学习研究的加强，各种打法互取长短，使乒乓球技术得到了更快的发展和提高。比如，我国近台快攻、直拍快攻结合弧圈球、横拍快攻结合弧圈球等打法和技术，均有所发展和创新，在国际比赛中取得了优良的成绩。现在，乒乓球已发展成为各国人民喜爱的运动项目之一。1982年，国际奥委会关于从1988年起把乒乓球列为奥运会正式比赛项目的决定，必将激起世界各国对乒乓球运动的进一步重视，推动乒乓球运动更快地发展。

1.1.2 中国的乒乓球运动

1904年12月，乒乓球运动从日本传入中国。开始是由上海一家文具商从日本购回一些乒乓球器材，并在店内作表演，于是买乒乓球、打乒乓球的人逐渐增多，各大城市也先后推广了这项活动。当时的乒乓球拍是木拍，板面光滑，很难使球产生旋转，所以打法只有推挡和抽球两种。

1959年中国选手容国团获得冠军后，中国重视了乒乓球运动，随后在1961年获得男子团体冠军，并蝉联男子团体三连冠。同时乒乓球运动在中国迅速发展起来，由于乒乓球运动得到广大群众的热爱，在中美建交时正式宣布乒乓球作为中国的国球。

发展至今，中国乒乓球运动已经遥遥领先于其他国家，蝉联了21世纪初冠军，以至于国际乒乓球运动联合会一再针对中国修改运动规则。

1.2 研究的主要内容和意义

1.2.1 研究的主要内容

乒乓球发展经历了三个阶段，从把球推来推去到弧圈球打法这一过程，技术提高的同时也增加了观赏性。本文主要研究从发球到接球这一过程，其中包括球拍接触乒乓球的过程；乒乓球的飞行过程；乒乓球与台面碰撞过程以及碰撞后乒乓球的飞行过程。

研究球拍接触乒乓球的过程有两个部分，一是人体运动主要是手臂运动对乒乓球的作用，即生物动力学；二是球拍与乒乓球碰撞时摩擦力、推力以及动量分析。

乒乓球的飞行过程研究是本文的重点，主要研究：（1）乒乓球飞行特性，尤其是弧圈球和螺旋球；（2）乒乓球飞行过程的受力分析以及运动方程；（3）Matlab仿真乒乓球运动轨迹。

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乒乓球与台面碰撞的过程主要研究碰撞前后飞行速度和旋转速度的关系。 对现在比赛流行的两种高难度技术进行分析，一个是台内反手内拧技术，另一个是台内反手侧拉技术。

1.2.2 研究的意义

通过论文研究更好的掌握相关力学知识，研究了力学在乒乓球运动中的作用，可推广至其他体育运动的研究。乒乓球运动在今后发展中有更好的方向。

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第二章 运动生物力学

对于运动生物力学的原理和方法在乒乓球运动项目中的应用，本文根据乒乓球运动专项运动生物力学研究的现状、运动生物力学学科发展趋势、以及乒乓球运动发展的实际需求，对运动生物力学在乒乓球运动中应用的研究领域和研究方法进行分析与展望，以期对乒乓球运动规律有更加深刻而全面的认识，为运动生物力学如何更好地结合乒乓球专项特点为乒乓球运动实践服务提供借鉴。

2.1 研究领域分析与展望

从运动生物力学角度来看，乒乓球运动是通过乒乓球和球拍位置的变化与运动员机体的活动相结合的一项运动。运动员的击球动作使球拍和球碰撞后，击出的球以一定的动量、动量矩落到对方台面，与台面发生碰撞，反弹后再与对方的球拍相碰撞。归纳起来，乒乓球项目中的运动包括：运动员的运动(动作技术) 、乒乓球在空中的运动(速度、旋转、弧线) 、乒乓球的碰撞运动(乒乓球与球台或球拍碰撞) 。对乒乓球这三个方面的运动生物力学研究分析需要一定的设备仪器与方法。与乒乓球运动相关联的还有球、球台、球拍等器材以及运动员的服装。

根据运动生物力学和乒乓球运动的发展趋势，运动生物力学在乒乓球运动中应用的研究领域，可以预计运动技术研究仍将会占较大比例。具体可开展以下几个方面的研究：

1) 动作技术诊断

2) 乒乓球与球拍碰撞、与球台碰撞的研究

3) 对乒乓球拍运动的研究

4) 乒乓球拍、乒乓球运动鞋的研制与优化

5) 乒乓球运动员肌肉、骨骼力学特性的研究

6) 乒乓球专项测试仪器的开发

7) 乒乓球运动员损伤机理和预防的研究

2.2 研究方法分析与展望

运动生物力学在乒乓球运动中的研究方法分为两大类：一是力学理论研究方法，二是实验研究方法。至今实验研究方法在乒乓球运动中并没有太多涉及，只是对运动学进行了很少的测试，而动力学研究几乎没有。在将来的研究中实验研

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究方法有极大的发展空间。本文就不予以介绍。本文研究的重点是乒乓球运动过程的分析，对力学理论研究方法仅做介绍。

力学理论研究方法是通过人体运动仿真进行研究，一般包括5个步骤：1) 确定运动恃征，建立目标函数；2) 选择模型确定刚体的自由度；3) 建立动力学模型；4) 实测已知数据并求解；5)根据求解结果解释运动规律。实际过程中，模拟研究目标和运动数学模型很困难，至今所研究的结果与实践有一定的距离。

将力学理论与实验研究相结合是乒乓球运动研究方法的发展趋势。

2.3 “转髋”动作分析

“转髋”动作是弧圈球技术的重要方法，它有着承上启下的作用。

2.3.1 力学原理分析

“转髋”动作力学原理主要在于两个方面：一是增加了挥拍击球动作的转动半径，二是髋关节的转动使大臂有一个初速度。[8]

如果在完成弧圈球击球动作时没有髋关节的加速转动，则击球动作完全是由上臂带动前臂完成的。这时击球动作的转动半径是从肩关节中心到球拍触球点的连线。相反，如果在完成击球动作时以髋关节的加速转动带动上臂和前臂，则击球动作的转动半径增加。根据公式：线速度(V) = 角速度(ω) ×半径( r) ，可知在角速度一定的条件下，半径越大则线速度越大。因此，完成弧圈球击球动作时，髋关节的转动能增加挥拍动作的半径，从而增加挥拍击球动作的线速度，挥拍动作的线速度越大则击球的效果越好。

在挥拍击球时，如果没有充分利用髋关节的转动预先加速，则挥动大臂击球时，大臂的初速度为零。如果在击球时首先转动髋关节，则髋关节的加速转动可以带动大臂，使大臂获得一个初角速度。如果将击球瞬间挥臂动作的角速度定为末角速度，根据动量矩定理可得：外力的冲量矩(M△t) = 转动惯量(I) ×[ 末角速度(ω2) —初角速度(ω1) ] 。整理后为：外力的冲量矩+ (转动惯量×初角速度) = 转动惯量×末角速度。由于转动惯量一定,所以在外力的冲量矩一定的情况下，初角速度越大，则末角速度越大。如果在击球时没有转动髋关节,大臂的初角速度为零，所以末角速度较小。如果在击球时利用了髋关节的转动，则大臂的初角速度大于零，因此末角速度较大，末角速度越大则击球的效果越好。

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第三章 乒乓球弧线运动

3.1 不旋转球与旋转球

3.1.1 不旋转球的特性

球拍与球接触时，球拍对球的作用力合力方向通过球的形心，这样的球称为不旋转球。

球在运动过程中受到重力、空气阻力和浮力，其运动轨迹为中弧线。如果不考虑空气阻力，其运动轨迹为抛物线。中弧线和抛物线相比有两个特点：（1）弧线的高度降低；（2）弧线的下降部分比较陡。

不旋转与台面碰撞后，根据牛顿第三定律，反弹后的弹跳角略大于入射角，反弹后的速度小于原速度，反弹后的弹跳高度略有降低。

3.1.2 旋转球的特性

球拍与球接触时，球拍对球的作用力合力方向不通过球的形心，这样的球称为旋转球。

旋转球运动过程中除了受到重力、浮力、阻力外还受到由于旋转引起的马格努斯力，以至于旋转球的飞行轨迹不同于不旋转球。旋转球的飞行特点是弧线形状异常和飞行速度异常，与台面碰撞时由于旋转与台面摩擦使其弹跳方向异于不旋转球，反弹方向偏离正常的反弹方向。

正因为旋转球的特性，在比赛中产生了很大的威力。

3.1.3 马格努斯力

当一个旋转物体的旋转角速度方向与物体飞行速度方向不重合时，在与旋转角速度方向和平动速度方向组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力。在这个横向力的作用下物体飞行轨迹发生偏转的现象称作马格努斯效应。旋转物体之所以能在横向产生力的作用，从物理角度分析，是由于物体旋转可以带动周围流体旋转，使得物体一侧的流体速度增加，另一侧流体速度减小。

马格努斯效应是一种粘性效应，它是由于旋转的物体在粘性流体中运动时产生的。1852年德国人马格努斯发现的。马格努斯力与转速、运动速度和物体直径有关。对球体，马格努斯力可由下公式表达[12]：

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rrr1ωvFM=CLρD3vγ× （3-1） 2ωv

其中，γ为旋转速度，CL为升力系数，ρ为流体的密度，D为乒乓球直径，v为球速度。由于乒乓球在空中飞行过程复杂，故确定升力系数CL较为困难，但是一旦确定，将不随运动过程变化。经过许多专家对乒乓球、足球以及排球等研究，认为CL取1.23较为恰当。

rrωvrr该式既给出了大小又给出了方向×所得到的向量其方向垂直于ω、v所ωvrr在平面，故马格努斯力的方向垂直于ω、v所在平面。

当速度方向与旋转轴方向垂直时，马格努斯力可表示为[7]：

FM=CLρD3vγ

此时仅给出了大小，但其方向可用右手法则判别。右手法则是拇指指向旋转轴；食指指向球运动方向；中指垂直于手面，其方向就是马格努斯力的方向。根据马格努斯效应原理可知马格努斯力方向始终和速度方向垂直，因而马格努斯力只改变速度的方向不改变速度的大小。 根据伯努利定理，流体速度增加将导致压强减小，流体速度减小将导致压强增加，这样就导致旋转物体在横向的压力差，并形成横向力。同时由于横向力与物体运动方向相垂直，因此这个力主要改变飞行速度方向，即形成物体运动中的向心力，因而导致物体飞行方向的改变。

利用马格努斯效应还设计出了带旋转的飞艇，这种飞艇通过旋转可以增加、调节飞艇的升力，是飞艇设计中一种很有趣的设计方式。

3.2 弧圈球的飞行过程分析

乒乓球飞行过程是复杂多变，一般只停留在感观的认识上。本文对乒乓球整个飞行过程进行分析研究，从击球到球与台面碰撞前的轨迹称为第一轨迹，与台面碰撞后到接球称为第二轨迹，这两个轨迹将逐个研究分析。

3.2.1 第一轨迹方程

为了简化，本文将球拍对球的作用力看成两个作用力——与拍面垂直的撞击力F和与拍面相切的摩擦力f，同时认为初速度和初角速度均为0。设乒乓球质量为m，直径为D。如图3-1所示，设拍形为前倾于水平面成θ角，球拍对球的

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作用时间为t0，挥拍速度为v。

图3-1 初始参数分析图

t0t0

f在时间t0内的冲量为∫fdt用If表示，F在时间t0内的冲量为∫Fdt用IF表

00

示。F通过乒乓球的质心，而f与乒乓球相切，所以摩擦力f对乒乓球产生一个

DD0D力矩f，此力矩在时间t0内的冲量距为∫fdt，即If。 2202

乒乓球对质心的转动惯量Ic=22Dmr(r=)，沿F方向的末速度为vF，沿f32t

方向的末速度为vf，末角速度为ω。根据动量定理和角动量定理知：

IF=mvF 0 （3-2） If=mvf 0 （3-3） DIf=Icω 0 （3-4） 2

由（3-2）（3-3）（3-4）可解得：

vF=

vf=IF （3-5） mIf

m （3-6）

3If

mDω=DIf

2Ic= （3-7）

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对于乒乓球飞行的速度分析水平和竖直方向，所以还需将vF和vf分解到水平和竖直方向，如图3-2。

不难解得

vx=vFsinθ+vfcosθ=IIFsinθ+fcosθ （3-8） mm

If

msinθ IFcosθ （3-9） mvy=vfsinθ vFcosθ=

这样第一轨迹的初速度就求解出来了。乒乓球在飞行过程中主要承受竖直向下的重力，竖直向上的浮力，与运动方向相反的空气阻力以及旋转产生的马格努斯力。如图3-3。

图3-2 球受力分解图

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图3-3 第一轨迹受力分析图 假设乒乓球整个飞行过程只在平面xoy内。球速度v与水平线成θ角，转速为γ（γ=ω），自转轴垂直于xoy面，空气密度为ρ，乒乓球直径为D。 2π

1重力G=mg，查空气动力学原理知：浮力F浮=πρgD3，阻力6

1Fd=πCdρD2v2，其中阻力系数Cd按照雷诺数范围可有三个表达式：8

2424Re2/3Cd=(Re<1)；Cd=(1+)(1<Re<1000)；Cd≈0.44(1000<Re<200000)，ReRe6

Re为雷诺数。马格努斯力FM=CLρD3γv。

根据图3-3进行受力分析，将力沿x和y方向分解，可得到：

d2x1m2=CLρD3γvsinθ πCdρD2v2cosθ （3-10） dt8

d2y11m2= mg+πρgD3 CLρD3γvcosθ πCdρD2v2sinθ （3-11） dt68

式（3-10）和（3-11）是乒乓球第一轨迹方程。

3.2.2 第二轨迹

分析乒乓球与台面碰撞过程，以便求解第一轨迹的末态与第二轨迹的初态的关系。乒乓球与台面碰撞过程中，乒乓球受到台面对球的弹力以及摩擦力，而摩

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擦力既有滑动摩擦力也有滚动摩擦力，由于滑动摩擦力远大于滚动摩擦力，因此计算时忽略滚动摩擦力对乒乓球的作用。

设乒乓球以质心速度ve（ve为第一轨迹的末速度）斜向撞在球桌上。如图3-4。ve可沿x和y方向分解为vex和vey，u为反弹速度，也可沿x和y方向分解为ux和uy，恢复系数为e，滑动摩擦系数为µ，ω0=2πγ。

乒乓球做平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向弹力的冲量

SN=∫Ndt和瞬时摩擦力的冲量Sf=µ∫Ndt。设碰撞后的角速度为ω（ω=2πγ′），

00tt

γ′为碰撞后的转速。

设o点的速度为vo，则vo=vex rω0；当vo>0时，o点相对于球桌向x正方向滑动，则Sf方向为x负方向；当vo<0时，o点相对于球桌向x负方向滑动，则Sf方向为x负方向。这样，分两种情况列方程。

图3-4 球与台面碰撞的力学分析

1）vo>0时，由于Sf方向为x负方向，则摩擦力矩使其转速加快，即ω>ω0。 根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，有

mux mvex= Sf （3-12）

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muy mvey=SN （3-13） Icω Icω0=Sfr （3-14） 式中乒乓球对质心的转动惯量Ic=22mr，由恢复系数的定义可得出： 3

uy= evey （3-15） 综合以上四式可解得：

ux=vex+µvey(e+1) （3-16） uy= evey γ′=γ 3µvey(e+1) 4πr

2）vo<0时，由于Sf方向为x正方向，则摩擦力矩使其转速减慢，即ω<ω0。和1）同理列出方程组，得：

ux=vex µvey(e+1) （3-17） uy= evey γ′=γ+3µvey(e+1) 4πr

上述两个方程组将第一轨迹和第二轨迹因碰撞而联系起来。

第二轨迹方程与第一轨迹方程列法完全相同，只是将第一轨迹的瞬时速度v；v与水平方向的夹角θ以及转速γ 改变为第二轨迹的瞬时速度v′；v′与水平方向的夹角 θ′以及转速 γ′。

d2x1 m2=CLρD3γv′sinθ′ πCdρD2v′2cosθ′ （3-18）dt8

d2y11m2= mg+πρgD3 CLρD3γ′v′cosθ′ πCdρD2v′2sinθ′ （3-19） dt68

3.3 空间运动方程

乒乓球飞行过程很难完全在一个平面内，整个轨迹应该是三维空间曲线，而非二维曲线。

乒乓球三维空间运动中球拍碰撞乒乓球的过程与二维相似，不同的是摩擦力

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使球旋转的方向。对乒乓球的初速度v0的分析，乒乓球受到球拍对球的推力F以及与球拍面相切的摩擦力f（如图3-5）。

x

图3-5 乒乓球受力分析

有动量定理可得：

vF=vf=IF mIf

m

3If

mDω=DIf

2Ic=

与二维所得结果一样，将其分解到x、y、z方向，得：

v0x=If

m

If

m

If

mcosαcos +IFsinαcos （3-20） mv0y=cosαsin +IFsinαsin （3-21） mv0z=sinα IFcosα （3-22） m

式（3-20）（3-21）（3-22）是初速度v0在x、y、z方向的分量。

接下来对乒乓球三维空间飞行过程分析，乒乓球同样受到竖直向下的重力，与速度方向相反的空气阻力，竖直向上的浮力以及马格努斯力。建立空间直角坐标系（如图3-6），设初速度为v0，它与xoy平面的夹角为θ，它在xoy平面的投影与x轴夹角为β。球的旋转轴ω与z轴的夹角为φ。[11]

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图3-6 空间直角坐标系

rr速度的向量v=(vx,vy,vz)，自转频率的向量ω=(0,ωsinφ,ωcosφ)，可求的

马格努斯力：

rrrr3 FM=CLρDγ (vzsinφ vycos )i+vxsinφj+vzsinφk （3-23）

由牛顿定律列出非线性微分方程组：

dx dt=vx=vcosθcosβ

dy=v=vcosθcosβy dt dz=vz=vsinθ dt （3-24） 1dv mx=CLρD3γ(vzsinφ vycosφ) πCdρD2vvx dt8 dv my=CLρD3γvxsinφ 1πCdρD2vvy8 dt dv11 mz= mg+πρgD3 CLρD3γvzsinφ πCdρD2vvz68 dt

式（3-24）即是乒乓球空间运动方程。

乒乓球与台面碰撞过程较为复杂，碰撞后速度的方向有很多种可能性，碰撞后乒乓球在空间飞行受力情况与碰撞前一样，但马格努斯力的大小和方向都发生了改变，由于速度方向无法确定，故马格努斯力的方向也无法确定。正因为如此，比赛中运动员对这种球的接法，不仅仅靠理论还要经验以及反应速度；同时打出这样的球也是赢分的保障。

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3.4 Matlab仿真

3.4.1 弧圈球轨迹仿真

为了减少式（3-10）（3-11）中变量的个数，用vx=vcosθ=vy=vsinθ=dx和dtdy代入式（3-10）和（3-11），并将其化为一阶偏导，得：

dt

dv1mx=CLρD3γvy πCdρDx （3-25）

dt8

mdvy11= mg+πρgD3 CLρD3γvx πCdρDy （3-26） dt68

第二轨迹与第一轨迹方程一样，初始状态改变。

参数：

乒乓球质量：2.7g=0.0027kg

乒乓球直径：40mm=0.04m

空气密度：1.205kg/m3

升力系数：1.23

阻力系数：0.2

滑动摩擦系数：0.15

恢复因数：0.8

初始状态：x方向初位置为0m，初速度为8m/s；y方向初位置为0.3m，初速度为5m/s，转速为100转/s。碰撞后，x方向初位置未知，初速度为5m/s；y方向初位置为0m，初速度为3m/s，转速为80转/s。

Matlab编写程序：

……

代码略去……

……

运行结果如图3-7。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4u4i.html