一次函数的图像--教学设计（贺彦斌）

第九届全国初中青年数学教师优秀课展示与培训活动

一次函数的图象（1）

浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》

（八年级上册第五章5.4节）

授课教师：贺彦斌 浙江省舟山市普陀区东港中学 指导教师：许芬英 浙江省教育厅教研室

俞 凯 浙江省舟山市普陀区教育局教研室

2015年9月

一次函数的图象（1）教学设计

一、内容和内容解析

学习内容：

浙教版《义务教育课程标准试验教科书·数学》（八年级上册第5章5.4节）一次函数的图象第一课时 内容解析：

（1）内容地位及核心知识解析：本节课是在已经学习了平面直角坐标系及一次函数的概念、定义、三种表示函数的不同方法等基础上，让学生经历探究画函数图象的一般过程，感受研究函数的基本方法，掌握一次函数图象的画法——即用描点法画函数图象，为今后继续研究各类具体的函数做了必要的准备。

（2）内容结构关系解析：画出图象。即从描点法到两点法。

（3）认知活动分析与价值判断：主要体现在对具体一次函数的图象形状、位置，一次函数图象上的点的动态细节观察。函数图象这一概念的形成过程、画图技能的概括过程、转化等思想方法的提炼过程、图象知识的升华过程。核心的数学思想是数形结合。通过上述认知活动的开展，能让学生在特定的数学认知活动中发展相应的数学认知水平，体会数学思想方法。

二、目标和目标解析：

目标：

（1） 会画一次函数的图象；

（2） 让学生自然地研究一次函数的图象，理解一次函数的图象是一条直线，体会数形结

合思想，发展几何直观；

（3） 在理解正比例函数与一次函数的关系基础上，能从图象角度理解正比例函数与一次

函数的关系；

（4） 会根据一次函数解析式求函数图象与坐标轴的交点坐标。 目标解析：

目标（1）要求学生在用描点法画一次函数图象基础上通过思考得到两点法画一次函数图象，并能熟练画出具体的一次函数的图象。

目标（2）在动手绘制一次函数的图象过程中，让学生经历“动手——比较——讨论——归纳”的数学活动。

目标（3）在探究一次函数图象的活动中，通过动手实践、互相交流，使学生在探究的过程中提高与他人交流合作的意识，提高学生动手实践的能力和探究精神。

目标（4）在学生经历了从描点法到两点法作一次函数的图象的过程中，自然生成函数图象与坐标轴的两个交点。

三、教学问题诊断分析：

（1）学生基础分析：学生通过直角坐标系、函数的概念、函数的表示方法及一次函数定义的学习，获得了函数研究方法的经验，通过一次函数的学习，获得了具体一类函数的数形结合的探究经验。

（2）学习困难分析：

①在具体的学习过程中，如果学生没有经历画图、观察、概括的过程，可能只是记住结论，很难理解一次函数的图象是一条直线。

②对于通过具体一次函数图象猜想一般的一次函数图象的形状，学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象，不会从函数和变量的方法去思考问题，即从“数”（解析式）的角度加深理解。

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四、教学支持条件分析：

根据本节课教材内容的特点，为了更加直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以《几何画板》为平台，通过动态演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律，进而探究一次函数图象的特征。同时，让学生独立进行画图象、观察图象的活动，达到让学生充分体验以图象表示函数关系，以变量关系（坐标为中介）解释图象特征这一数形结合思想和数学观察、数学表征、数学概括等认知活动。

五、教学过程设计：

【教学目标】

(一) 知识与技能目标: 1.理解函数图象的概念。

2.经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。 3.理解一次函数的解析式与图象之间的对应关系。 4.能熟练作出一次函数的图象。

5.会求一次函数的图象与坐标轴的交点。 (二) 过程与方法目标:

1.经历作图过程中由一般到特殊方法的转变过程，让学生体会研究问题的基本方法。 2.培养学生数形结合的意识和能力,在探究活动中发展学生的合作意识和能力。 (三) 情感与态度目标;

1.经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，培养学生的语言表达能力。 2. 经历作图过程，培养学生独立思考的习惯和合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。 【教学重点】

一次函数的图象 【教学难点】

验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式），学生不容易理解其意义，是本节教学的难点。

教学过程：

1、情景创设——总结画函数图象的一般方法

引入：10月3日，中国男篮重回亚洲之巅，取得2015年亚洲男篮锦标赛冠军，直通里约奥运（展示视频）。

在易建联的一次投篮过程中，随着时间t的变化，篮球的高度h也随之发生变化。篮球的高度h与时间t之间满足这样的函数关系式：

h=-3(t-0.8)+4.9，0≤t≤1.6

问题1：你还有哪些不同的方法来表示h与t之间的函数关系？ 问题2：表格中的数据是如何得到的？

问题3：函数的图象有什么组成？多少个点？

问题4：既然函数的图象是由点组成，那么我们在画图的时候，大家会选择画几个点？这样的点又是如何得到的？ 【师生行为】

教师引导学生回顾函数的三种不同的表示方法，即 解析法：h=-3(t-0.8)

22+4.9，0≤t≤1.6

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列表法：

t 0 图象法：

0.2 0.4 0.6 0.8 0.9 1.1 1.3 1.5 1.6 1.0 h 2.98 3.82 4.42 4.78 4.9 4.87 4.63 4.15 3.43 2.98 4.78

通过回答问题2，建立函数解析式与表格之间的关系；通过回答问题3，把画函数图象的问题化归成画点的问题；通过回答问题4，让学生自然生成函数图象的概念，并且在回答的过程中，体会在画函数图象的时候，表格所凸显出来的作用。这样让学生自然建立起函数解析式、表格、图象三者之间的联系，为接下来画函数图象作铺垫。

从而得出函数图象的概念：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。

现在，老师把这些点绘制到平面直角坐标系中，并依次把这些点连接起来，从而得到了函数的图象。

问题6：请你比较三种不同的表示方法，说说他们各自的优缺点。 问题7：回顾刚才画函数图象的过程，我们经历了怎样的步骤？ 【师生行为】让同学们进一步感受三种不同表示方法各自的优缺点，体会这三种表示方法缺一不可，并进一步感受三种表示方法之间的联系，也让学生感受到学习画函数图象的必要性和优越性。问题7的回答，让学生总结出刚才画函数图象的一般过程，从而引出用描点发来探究一次函数图象的问题。

【设计意图】 从生活实例入手，体现数学知识源于生活，让学生感受到数学知识与生活的联系，并自然引出研究函数图象这一问题。通过对函数三种不同表示方法的再识，充分感受函数三种不同表示方法之间的联系，为接下来得出“描点法画函数图象”做铺垫。同时在经历这一问题描点发画函数图象之后，让学生在接下来自主探索一次函数的图象储备知识。而选择这样的一条抛物线的目的是让学生不陷入一次函数图象是一条直线的定式中，也让学生能充分思考一次函数的图象是否会像这条抛物线一样是弯曲的而不是直的，为接下来真正达到思考问题的目的作铺垫。

2、小组活动——探索一次函数的图象及其画法

环节1：自主探究——一次函数y=2x+1图象的画法

环节2：小组合作——以四人小组为单位，交流探究过程

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环节3：课堂展示——选择有代表性的小组进行汇报

汇报流程：请小组派代表进行汇报——小组成员补充——同学提出疑问 【师生行为】教师引导学生解决如下问题： 1.列表

根据学生的展示，强调列表注意以下几点：

①一般情况下，我们所选取的点应有代表性，x的值可以取正数、0、负数。 ②在列表的时候，数据建议从小到大排列。

③x与y的对应值有无数多组，在所列的表格中最好能反应出来，两边用省略号表示。如下所示： x y (x,y) ?? ?? ?? -3 -5 (-3,-5) -2 -3 (-2,-3) -1 -1 (-1,-1) 0 1 (0,1) 1 3 (1,3) 2 5 (2,5) 3 7 (3,7) ?? ?? ?? 2.观察所画的图象，任意两点之间的连线为什么是一条直线？

过程一：引导学生通过在任意两点之间增加点的个数来观察这些点的排列情况。如在（1,3）和（2,5）之间添加更多的点来研究，初步感知利用逐步逼近的方法来探究一次函数的图象是一条直线。

过程二：通过几何画板展示，当点的坐标满足函数解析式，这些点都落在同一条直线上，这样进一步确定了一次函数的图象是一条直线。 3. 借助几何画板验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式）

在这条直线上取点，这些点满足什么关系？举例：A（-2.5，-4）、B（4,9）

师生共同总结，满足一次函数的解析式的点（x,y）在它的图象上，图象上的每一点的横坐标x,纵坐标y都满足一次函数的解析式，所以一次函数的图象是一条直线.

并用如下的图表来解释数形结合的数学思想：

利用数形结合思想，解决如下问题： 练习：已知一次函数y=-3x+2 1.试判断（4，-10）,（-3，8），（0，2）是否在函数y=-3X+2的图象上。 2.若（3，a）,（b,7）在函数图象上，求a,b的值。

【设计意图】 学生在已经具备了函数图象一般画法的知识储备后，通过自主探究、小组合作、课堂展示等环节，逐渐形成一次函数的图象是一条直线这种初步感觉。通过课堂上学生的质疑，依旧对函数图象是一条直线产生疑问，探索解决问题的方法，逐步引导学生利用增加点的方法，逐步逼近，感受到一次函数的图象是一条直线。同时，借助几何画板工具，通过点的追踪，让学生更加深刻体会函数图象是一条直线。点追踪的过程，实际就是验证图象的完备性，即满足解析式的点都落在函数的图象上，同时进一步在图象上取点，来验证纯粹性，即图象上的点的坐标满足函数解析式。最后，利用图标让学生更加直观地了解数形结合

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