C2SXF930(分式综合提高)

【本讲教育信息】

一、教学内容：

分式综合提高

1. 分式及分式的基本性质． 2. 分式的四则运算． 3. 分式方程及应用．

二. 知识要点：

1. 分式的概念，考查分式有无意义的条件和分式值为0的条件．

AA×MA÷M

（1）分式的基本性质：＝M≠0）；

BB×MB÷M（2）分式的通分：确定最简公分母；

（3）分式的约分：确定分子、分母的公因式． 2. 分式的运算

bd（ ）

（1）分式的乘法：

ac（ ）

bd（ ）（ ）（ ）

（2）分式的除法：

ac（ ）（ ）（ ）

（ ）b

（3）分式的乘方：（）n

a（ ）

ac（ ）

（4）同分母分式的加减；±＝

bb（ ）

bd（ ）（ ）（ ）

（5）异分母分式的加减：±＝；

ac（ ）（ ）（ ）

（6）分式混合运算顺序与分数混合运算类似，先算__________，再算__________，最后算__________，有括号的__________． 3. 负整数指数幂和科学记数法

－

（1）负整数指数幂：一般地，am÷an＝amn（m、n均为正整数，且m＞n），当m＜n

－－

时，m－n＜0．设am÷an＝ap（p是正整数），则ap＝__________．

（2）科学记数法：如果一个数不小于10，那么这个数可以写成a×10n（1≤a<10且n为正整数）；如果一个数大于0而小于1，也可以用科学记数法表示为a×10n（1≤a<10且n为负整数）．如36000＝3.6×__________，0.0000269＝2.69×__________． 4. 列分式方程解应用题

列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的分析思路完全相同，一般包括：审题、设未知数、找数量关系列方程、解方程并检验、写答案．在分式方程检验解时，应注意从是否符合所列方程和是否符合题意两个方面进行检验，并必须写出检验步骤．

三. 重点难点：

本讲重点是熟练掌握分式的基本性质；会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程和检验分式方程的根．难点是如何解决一些与分式、分式方程有关的实际问题．

四. 考点分析：

分式的化简与计算是中考的热点问题，每年各地区中考都要考查．主要考查分式的化简与运算能力，列分式方程解应用题的能力，以填空题、选择题为主，解答题中常和其他知识结合在一起进行考查．题目的难度以简单题和中等难度题为主．

【典型例题】

例1. 完成下列各题：

x－5

（1）当代数式是分式时，x的取值情况是__________．

（x－2）（x－3）

x2－x－6

（2）当x＝__________时，分式的值为零．

（1－x）（x－3）（3）若（y－3）0＋（y＋2）

－1

1－

有意义，则y__________；（x2－1）2＝（x－1）的条件是__________．

－

（4）若a＝22，b3－1）0，c＝（－1）3，则a、b、c的大小关系是__________．

1－1－－

（5）（－10）2＋（）3×（π－7.2÷3）0－（－2）2×（－2＝__________．

204x－5

分析：（1x－2）与（x－3）的积，这两个因式都不能为

（x－2）（x－3）0，所以x既不能是2又不能是3．（2）要使分式的值为0，必须使分子为0而分母不为0．（3）题考查零指数幂和负整数指数幂中对底数的限制条件，都要求底数不为零．（4）对于零指数幂的运算，先考虑底数是否为零，只要底数不为零，就可直接写成1．（5）关于负整数指数

1－

3＝203．

20

解：（1）x≠2且x≠3（2）x＝－2（3）y≠3且y≠－2；x≠±1（4）b＞a＞c（5）8096．

a－2a－1a－4例2. 已知a2＋2a－1＝0，求（－的值．

a＋2aa＋4a＋4a＋2

分析：此题将分式的加减和乘除结合起来，先算括号里的减法，再将除法转化成乘法．化

简后再代值求出结果．

a－2a－1a－4

解：原式＝[÷

a（a＋2）（a＋2）a＋2

（a－2）（a＋2）a（a－1）a＋2＝[ －]·a（a＋2）a（a＋2）a－4a2－4－a2＋aa＋2＝[·

a（a＋2）a－4a－4a＋2＝·a（a＋2）a－4

1＝ a（a＋2）1＝a＋2a

11

因为a2＋2a－1＝0，所以a2＋2a＝1，所以1．

a＋2a1评析：化简条件和所需求值的代数式或只化简其中一个，然后再代入求值，是化简求值中经常用到的一种方法．

1x－23

例3. 解方程．

xxx

分析：利用等式性质，两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程．

解：方程两边都乘x2，得 x＋x－2＝3x 解得x＝－2

检验：当x＝－2时，最简公分母x2＝（－2）2＝4≠0，所以x＝－2是原方程的根． 评析：解分式方程的关键是化分式方程为整式方程，解分式方程一定要检验．

例4. 已知某轮船从甲码头到乙码头的路程为s km，航速为v km/h，返回时的速度是去时的2倍，问轮船来回的总时间是多少．

分析：此题考查运动中路程、时间、速度之间的关系，来回的总时间等于去时时间＋返回的时间．

ss3s

解：＋（h）．

v2v2v

3s

答：轮船往返一次的时间为h．

2v

评析：求路程、速度、时间之间的关系时可以结合物理知识来解决．

例5. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．

（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

分析：（1

（2）求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的（2000＋6300）元，所得结果就是全部售出后的盈利．

解：（1）设第一批购进书包的单价是x元，根据题意得： 20006300

3＝ xx＋4

解得x＝80（元）

2000（2）×（1＋3）×120－（2000＋6300）＝3700（元）

80

答：（1）第一批购进书包的单价是80元．（2）全部售出后，商店共盈利3700元．

【方法总结】

1. 在解有关分式求值的问题时，要注意分式的取值必须是在分式有意义的前提下进行的，因此首先应确定使分母不为0的字母的取值范围．

2. 分式的计算要注意的几点：①在分式的乘除法混合运算中，要先将乘除法运算统一成乘法．②分式乘法，一般先约分再乘除．③当除式或被除式是整式时，把整式看作分母为1的式子．④要注意运算顺序．

3. 转化是一种重要的数学思想方法，它的应用十分广泛，应用转化思想能把复杂的问题转化为简单的问题解决，把生疏的问题转化成熟悉的问题解决．本章的学习中多次应用了转化思想，如：分式除法运算转化为乘法运算；异分母分式相加减转化为同分母分式相加减；分式方程转化为整式方程．

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择题

b

1. ）

a

2

b＋2abb

A. B. C. 2 aa＋2a12ab

2. 分式、、的最简公分母是（ ）

a＋ba－bb－a

D.

a＋b

2a

A. （a2－b2）（a＋b）（b－a） B. （a2－b2）（a＋b） C. （a2－b2）（b－a） D. a2－b2

122

3. 化简＋ ）

m－9m＋3

2m＋6622

A. B. C. D. m－9m－3m＋3m－9m2－n2

4. 化简 ）

m＋mnm－nm－nm＋nm－nA. B. C. D. 2mmmm＋na2＋b2a－ba－b

5. 计算（ ） － 2aba－ba＋b

11A. B. C. a－b D. a＋b a－ba＋b

xm

6. 若分式方程无解，则m的值为（ ）

x＋1x＋1

C. －1 D. －2 （x－2）2－（x－1）2＋12

*7. 已知x－5x－1997＝0，则代数式的值为（ ）

x－2

A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. －2

8. “五一”期间，部分同学包租一辆面包车出去旅游，面包车的租金为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原来的学生共有x人，则所列方程为（ ）

180180180180180180180180A. －＝3 B. －3 C. －3 D. 3

xxxx＋2x＋2x－2x－2x

二. 填空题

（x＋1）（x－2）

1. 分式有意义的条件是__________．

（x－2）（x－1）

ab

2. 若a2－6a＋9与︱b－1︱互为相反数，则式子（－）÷（a＋b）的值为__________．

ba

2x－3

3. 当x＝__________时，分式的值等于1．

x－14. 2008年某地生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元，136515亿元用科学记数法表示（保留四个有效数字）为__________元．

A. 1 B. 0

11

*5. 若x＋3，则x2＋＝__________．

xx

三. 解答题

a241

1. 化简：（ －）·

a－2a－2a＋2a

3x＋6x－21

2. 求代数式的值：÷－x＝－6．

x＋4x＋4x＋2x－2

3

11

3. 计算：－－－27＋（π－1）01︱．

42

223344aa

*4. 已知2 22 ，3＋＝32×，4＋＝42×， ，若10＋＝102×（a、b

881515bb33

a2＋2ab＋b2

为正整数），求分式的值．

ab＋ab

5. 解方程

3x1132

（1）＝2＋（2）＋．

x－22－xx＋2xx＋2x

6. 甲、乙两地相距360千米，一运输车队从甲地出发到乙地，当行驶了150千米后，接

到通知，要求提前到达，车队决定把速度提高到原来的1.4倍，到达乙地共用了6小时．问该车队原来的行驶速度是多少？

**7. 某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20

2

天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80

3元，需付乙工厂加工费用每天120元．

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

【试题答案】

一. 选择题

1. C 2. D 3. B 4. B 5. B 6. C 7. D 8. A

二. 填空题

2

1. x≠2且x≠1 2. 3. 2 4. 1.365×1013 5. 7

3

三. 解答题

1

1. 原式＝

a21

2. 原式＝＝－4x－2

293. 4

nna

4. 观察等式，得到规律：n＋＝n2n为不小于2的整数），若10102×

bn－1n－1

a2＋2ab＋b2（a＋b）2a＋b10＋99109a2

a＝10，b＝10－1＝99，＝． bab＋abab（b＋a）ab10×999905. （1）x＝7（2）x＝15．

150360－1506. 设原来的速度是x千米/时，则＋＝6，解得x＝50．

x1.4x7. （1）设甲工厂单独完成需x天，则乙需（x－20）天，根据题意得：

9602960x＝60． x3x－20经检验：x＝60是原方程的解．

960960

＝16（件），乙工厂每天能加工24（件）．

6060－20（2）甲工厂单独完成需60天，所需费用：80×60＋10×60＝5400（元）．乙工厂单独

完成需40天，所需费用：120×40＋10×40＝5200（元）．

甲、乙合作完成需960÷（16＋24）＝24（天）． 所需费用：24×（80＋120）＋10×24＝5040（元）． 所以甲、乙合作时既省时又省钱．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4tw1.html