正方形的性质与判定经典例题练习

正方形第一课时

一、自主学习 ? 目标导学

1、理解并掌握正方形的性质。2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ? 合作探究

【探究一】正方形的定义

1、正方形的定义： 2、正方形与矩形和菱形的关系是 【探究二】正方形的性质

1、归纳正方形的性质：边 角 对角线 对称性 2、用几何语言叙述正方形的性质：

【探究三】正方形的周长与面积

边讲边练：

①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合

1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝ ° 2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝ °.

3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论： （1）∠E=22.5°； (2) ∠AFC=112.5°； (3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶2. 其中正确的有 （ ）

A．5个 B.4个 C.3个 D.2个 4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝ °；∠ACE＝ °. 5. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 °.

②正方形与旋转结合

1. 如图1，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为 （ ）

A.90° B.60° C.45° D.30°

2. 已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.

3. 如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．

③正方形对角线的对称性

1. 如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= .可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 .

思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并加以说明.

2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形； ④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的序号是 ．

思考：当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.

④正方形的折叠

1.如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是 .

2. 如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B?处，点A对应点为A?，且B?C=3，则AM的长是 .

P

3如图3，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折

至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是 .

课后练习

1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠

MND=_______=_______∠B.

2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+62

3.正方形的面积是

1，则其对角线长是________. 34. 如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM.

5. 如图4，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？

6．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在

射线BC上，且PE=PB.试判断PE与PB的关系.

7. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值为 .

8.如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．

(1)如图②，若M为AD边的中点， ①△AEM的周长=_____cm； ②求证：EP=AE+DP；

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

正方形第二课时

一、自主学习 ? 目标导学

1、理解并掌握正方形的判定方法。2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。 二、合作学习 ? 合作探究

根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？

练一练： 1、判断:

（1）四条边都相等的四边形是正方形。（

）

） ）

（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（

（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（ （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（ 2．不能判定四边形是正方形的是（ ）

）

A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形

C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形 3、四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（ ） A．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD

C．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D．AB=BC，CD=DA

4、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．

精讲精练

例1、已知RtABC中，?C?90?，CD平分?ACB,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF为正方形。

例2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

M A E N

B

D C

例3如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的

点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若?AED?2?EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

E

A

O D B

C

例4、如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证：EO=FO

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

(3) 当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方形？并证明你的结论.

? 拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）

1、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC。试判断EFG的形状，并说明理由。

2、如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求?PAQ。 （2）若?PAQ?45?,求证：PQ=BP+DQ.

3、如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDE?BCF.(2)判断BEF的形状。

(11 舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=?（0°＜?＜90°）， ① 试用含?的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG；

③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求?AFD的度数。

变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF. (1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.

例2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.

例3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

例4如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

A P D

B

E

C

1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则?AFD= 。

2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 。

4.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.

5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

6、（2008义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。探究：线段MD、MF的关系。

（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45?，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

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