【精品】衡水独家秘籍之2022高中期末复习 专题一 集合的基本关

衡水独家秘籍之2019高中期末复习

专题一集合的基本关系与运算

【方法综述】

一、子集——集合问题的核心

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作：A?B或B?A.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A?B或B?A.

例1设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－a)·(x2－1)＝0}，当a为何值时，A?B?

分析集合A，B都是用“描述法”表示的方程的解集，为了比较A和B的关系，先考虑将A和B进行化简．

解易得集合A＝{1,2}．当a＝1或a＝－1时，B＝{－1,1}，此时A?B；当a≠1且a≠－1时，B＝{－1,1，a}．要使A?B，则a＝2.

故当a＝2时，A?B.

二、交集——两集合间的“且运算”

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，其中关键词为“且”．

例2设全集U＝Z，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2－x＝0}，则A∩(?U B)＝________.

分析先求出集合B，再按集合相关运算法则求解．

解析因为B＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，

所以A∩(?U B)＝{－1,2}．

答案{－1,2}

三、并集——两集合间的“或运算”

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，其中关键词为“或”．

例3若全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＝y＋1，y∈A}，求A∪B.

分析欲求A∪B，先对B进行化简．

解因为y∈A，即－1＜y＜2，且x＝y＋1，

所以0＜x＜3，即B＝{x|0＜x＜3}．

所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}．

四、补集——全集对子集的“差运算”

一般地，设U 是一个集合，A 是U 的一个子集，即A ?U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集U 中的补集，记为?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U 且x ?A }，可以理解为全集对子集的差集．

例4设全集U ＝{2,9，a 2＋2a －3}，集合A ＝{|2a －1|,2}，且?U A ＝{5}，求实数a 的值． 解 因为U ＝{2,9，a 2＋2a －3}，?U A ＝{5}，

所以a 2＋2a －3＝5.解得a ＝2或a ＝－4.

若a ＝2，则U ＝{2,9,5}，A ＝{2,3}，不合题意；

若a ＝－4，则U ＝{2,9,5}，A ＝{2,9}，符合题意．

故a ＝－4.

五、等集——一个集合的两种表示

例5已知集合M ＝{2，a ，b }与集合N ＝{2a,2，b 2}是同一个集合，求a 、b .

分析 此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的性质建立关系式． 解 两个集合为同一个集合，则这两个集合的元素完全相同且与元素的顺序无关，于是

????? a ＝2a ，b ＝b 2或?????

a ＝

b 2，b ＝2a . 解之，得????? a ＝0，b ＝1或????? a ＝0，b ＝0或??? a ＝14，b ＝12.

又当a ＝0，b ＝0时，不满足互异性，应该舍去．

因此????? a ＝0，b ＝1或??? a ＝14，b ＝12.

评注 解决集合相等的问题，易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.

六、集合中学科思想-----数形结合

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn 图法．

例5已知全集为U ，U ＝{a |a ∈N ＋且a ≤9}，且(?U A )∩B ＝{1,9}，A ∩B ＝{2}，(?U A )∩(?U B )＝{4,6,8}，试确定集合A ，B .

分析 若能将题设条件中所给出的各个集合中的元素，都能在Venn 图上表示出来，那么所要确定的集合A ，B 中的元素，将会从Venn 图上一目了然地得出．

解 将已知条件中的集合

U ＝{a |a ∈N ＋且a ≤9}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

(?U A )∩B ＝{1,9}，A ∩B ＝{2}，

(?U A )∩(?U B )＝{4,6,8}，在Venn 图上表示出来，如图所示．

由Venn 图可以直观地得出

A ＝{2,3,5,7}，

B ＝{1,2,9}．

例7 已知集合A ＝{x |x <－1或x ≥1}，B ＝{x |2a 解 ∵a <1，∴2a

画出数轴分析，如图所示．

由图知要使B ?A ，需2a ≥1或a ＋1≤－1，

即a ≥12

或a ≤－2. 又∵a <1，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪????12，1.

集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．

【针对训练】

1．设全集U ={1,2,3,4,5}，集合S ={1,2,3,4}，则?U S =（ ）．

A ． {5}

B ． {1,2,5}

C ． {2,3,4}

D ． {1,2,3,4}

【答案】A

【解析】

∵U ={1,2,3,4,5}，S ={1,2,3,4}，

∴?U S =={5}．

故选A ．

2．已知集合A ={x|?12}，则A ∪B =（ ）

A ． (?1,3)

B ． (2,3)

C ． (?1,+∞)

D ． (2,+∞)

【答案】C

【解析】

∵集合A ={?12}，

∴A ∪B ={x|x >?1}.

故选C.

3．已知集合A ={0,1,2}，B={x |x(x ?2)<0},则A∩B=

A ． {1}

B ． {0,1}

C ． {1,2}

D ． {0,1,2}

【答案】A

【解析】

x (x ?2)<0?0

4．已知集合A ={0,1},B ={?1,0,a +3}，若A ?B ，则a 的值为

A ． ?2

B ． ?1

C ． 0

D ． 1

【答案】A

【解析】

因为{0,1}?{?1,0,a +3}，

所以a +3=1，

解得a =?2．

5. 记全集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】C

【解析】

由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为).(B A C u ?且},6,5,4,3,2,1{=?B A 所以}.8,7{).(=?B A C u 故选C ．

6．满足条件{}{},,a A a b c ??的所有集合A 的个数是 （ ）

A 、1个

B 、 2个

C 、 3个

D 、4个 {

}{}{}642532187654321，，，B ，，，，A ，，，，，，，U ==

={}8764，，，

{}2{}87，{}654321，，，，，

【答案】D

【解析】

满足题意的集合A 可以为{}{}{}{},,,,,,,a a b a c a b c ，共4个

7．已知集合{}1,1,4B =-满足条件M B φ??≠

的集合M 的个数为（） A ．3 B ．6 C ．7 D ． 8

【答案】C

【解析】

由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个

8．给出下列说法：①空集没有子集； ②任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ③空集是任何一个集合的真子集；④若空集是集合A 的真子集，则A 一定不是空集。 其中正确的有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ． 3个

【答案】B

【解析】

①中空集是空集的子集；②空集的子集只有一个；③空集是非空集合的真子集；④正确

9. 设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（ ）

A ．}{2a a ≥

B ．}{1a a ≤

C ．}{1a a ≥

D ．}{2a a ≤

【答案】A

【解析】

若A ?B ，则2≥a ，故选A ．

10.集合{}{}{}20,1,2,3,4,1,2,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C A B =（ ）

A ．{}0,1,3,4

B ．{}1,2,3

C ．{}0,4

D ．{}0

【答案】C

【解析】

{}2|540{2,3}B x Z x x =∈-+<=，所以(){1,2,3},{0,4}U A B C A B ==，选C.

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