非齐次泊松过程的仿真方法

第 １５ 卷第 １ 期

年 ２０１２ １ 月 高 等 数 学 研 究

ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ， ， Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１Ｊａｎ．２０１２

非齐次泊松过程的仿真方法

摘 要 关键词

宁如云

（军械工程学院 基础部，河北 石家庄０５０００３）

基于两种齐次泊松过程的仿真方法，得到非齐次泊松过程的四种仿真方法：稀疏法、尺度变换法、产

生间隔时间法和顺序统计量法．在给出其理论依据及实现步骤的同时，借助实例分析四种仿真方法的特点．

齐次泊松过程；非齐次泊松过程；仿真；随机数

文献标识码

Ｏ２２７

文章编号

（ ）

１００８－１３９９２０１２０１－００８６－０４

中图分类号

Ａ

现实中许多的随机现象都可以用齐次泊松过程去描述，但是齐次泊松过程描述的现象要求事件的发生具有平稳性，即事件发生的强度为常数，不随时间的变化而变化．事实上，更多的随机现象事件发生的强度与时间有关系，如到达银行的顾客在一天或一月中的不同日子具有波动性，这就需要用非齐次泊松过程去描述．因此非齐次泊松过程是一种应用更加广泛、更加贴近实际的

（ ）｛（

ＰＮｔ＋ｈ－Ｎｔ≥２＝ｏｈ（）

）（）｝（）；（ ）｛（

ＰＮｔ＋ｈ－Ｎｔ＝１＝λｈ）（）｝（）

＋ｏｈ．

可以证明［４］

ｋ －

Ｐ｛Ｎ（ｔ）＝ｋ｝＝ｅ（ｋ＝０，１，２，…）．ｋλλ！

随机过程．

非齐次泊松过程的仿真在其应用中具有重要作用，如利用仿真方法求解由非齐次泊松过程形成的随机模型就要用到非齐次泊松过程的仿真，因此讨论非齐次泊松过程的仿真具有重要的意义．在一些著作和论文中也有论述［１－２］，但不够细致，不够全面系统．本文针对非齐次泊松过程介绍四种仿真的方法，并给出仿真算例．

齐次泊松过程常简称为泊松过程． １．２ 仿真方法

设待仿真的泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度为λ，以Ｓｉ

表示第ｉ个事件的发生时刻，Ｔｉ 表示第ｉ个事件与第ｉ－１个

事件之间的时间间隔（ｉ＝１，２，…），则

ｎ Ｓｎ ＝ ∑Ｔｉ．

ｉ＝１

１．２．１ 产生间隔时间法

泊松过程过程具有如下性质．

定理１［１］３１ 设泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度为λ，则｛Ｔｉ，ｉ＝１，２，…｝为独立同分布的参数λ指数分布随机变量序列．

根据定理１，只要产生参数为

非齐次泊松过程仿真，就是要产生事件发生时刻的序列．仿真时需要产生不同分布的随机数，一些常用分布的随机数，如均匀分布、正态分布、指数分布、泊松分布等，利用 Ｍａｔｌａｂ等数学软件可以直接产生，关于更一般分布随机数的产生方法可以参见文［３］之附录．

λ指数随机变量的随机数，

作为事件发生的时间间隔，再依次求和就可 以得到强度为λ的泊松过程事件发生时刻序列．

有些非齐次泊松过程的方法需基于齐次泊松过程的 １．２．２ 顺序统计量法

［］

引理 ５ 设总体 具有密度 （），则

１

Ｘ

仿真，因此首先介绍齐次泊松过程的仿真方法．

ｆ ｘ

Ｘ

的简

单随机样本（ ，

（ｎ）

，…，

Ｘ１

Ｘ２

，…， ）的顺序统计量（

（ｎ）

Ｘｎ

Ｘ１

，

１ 齐次泊松过程的仿真

（ｎ）

１．１

Ｘ２

Ｘｎ ）的联合概率密度为

ｎ

齐次泊松过程的定义

定义１ 计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝称为强度为λ的齐次泊

！ （），

ｎ ｆｔ ｔ ＜ｔ ＜ … ＜ｔ ，

ｇｔｔ （，，…，）

１２ｎｔ ＝

ｉ＝１

，

其他

松过程，如果满足

（ ）

Ｎ０＝０（ ）具有平

；

：：

（）；

由引理

的

稳独立增量；

：

２００９－０８－０９修改日期２０１１－０５－１０

Ｘ１ Ｘ２ Ｘｎ

（，，…，）

ｆＳ１，Ｓ２，…，Ｓｎ｜Ｎ（ｔ）ｔ１ｔ２ｔｎ｜ｎ＝

可知， １ ｎ ， ，…，

ｎ！，

ｔ ｎ０ｔ 个［，］上独立均匀分布随机变量

顺序统计量分布为

收稿日期

０＜ｔ ＜ｔ ＜ … ＜ｔ ＜ｔ，

１

２

ｎ作者简介：宁如云（１９７４－），男，山东巨野人，硕士，讲师，从事随机系

统建模与仿真研究．Ｅｍａｉｌｎｒｙ７４１１＠１２６．ｃｏｍ

０ 其他．

，

第 １５ 卷第 １ 期

宁如云：非齐次泊松过程的仿真方法

８７

定理２ 在Ｎ（ｔ）＝ｎ的条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，

Ｓｎ 的联合分布为

ｎ！，

［１］３７

ＰＡＢ （

λｈ＋ｏｈ

（））

（

） （）（ ） ＝ＰＢＰＡ｜Ｂ ＝

λｔ

（），

ｆＳ１，Ｓ２，…，Ｓｎ｜Ｎ（ｔ）ｔ１ｔ２

１

２

（，，…，

ｎ（）

ｔ ０＜ｔ ＜ｔ ＜ … ＜ｔ ＜ｔ，

ｔｎ｜ｎ＝

）

（）

λ

＝λｔｈ＋ｏｈ

ｓ（１）ｓ（２）

由此可知从

ｓ１ ｓ２

，，…，，… 中选出的序列

ｓｎ ， ，

ｎ０ 其他．

根据定理２，当Ｎ（ｔ）＝ｎ时，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ 的分布与ｎ个［０，ｔ］上独立均匀分布Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ 随机变量的顺序统计量分布相同，因此可按如下步骤进行仿真．

，

满足定义 中的（ ）

２ ．

根据定理 ，先产生齐次泊松过程事件发生的 ３

时刻，再按概率稀疏就得到非齐次泊松过程事件发 …， ，…

ｓ（ｎ）

生时刻，步骤如下．

（）产生参数 的齐次泊松过程的

１

λ

Ｔ

前事件发

（１）设中止时刻为Ｔ，易知Ｎ（Ｔ）的分布，产生

生的时刻 ，，…，

ｓ１ ｓ２ ｓｎ．

ｘ ≤λｓ λ

（）产生（，）上的随机数

２

Ｎ（Ｔ）的一个随机数ｎ．

（２）产生ｎ个［０，Ｔ］上的均匀分布的随机数．（３）把这ｎ个均匀分布随机数从小到大排列，记

为ｓ１ｓ２

０１

ｘｉ

，若

（）／，

保留 ，否则舍弃

ｓｉ ３

ｓｉ．

（）将保留的 ，分别记为

ｓｉ ｓ（１）ｓ（２）

， ，…，

ｓ（ｋ）

并输

，，…，

ｓｎ 即得．

２ 非齐次泊松过程的仿真方法

出即可．

２．２．２ 尺度变换法

定理 ［１］７６ ｛，

２．１ 非齐次泊松过程的定义

定义２ 计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝称为强度函数为λ（ｔ）

的非齐次泊松过程，如果满足

４ ｓｎ ｎ＝

１２

，，…｝为强度函数为

（）的非齐次泊松过程事件发生的时刻的充要条件

λｔ

为｛

（）， ，，…｝为

ｚｎ ＝ｍｓｎ ｎ＝１２ λ＝１

的齐次泊松过

ｔ

（ ）

Ｎ（０）＝０；（ ）具

）

（）

｝

ｔ

）

（）

｝

（）（）

程的事件发生的时刻，其中ｍ（ｔ）＝∫λ（ｓ）ｄｓ．

０

根据定理４将单位强度的齐次泊松过程的发生 时刻进行尺度变换就可以得到非齐次泊松过程事件

有独立增量；

（ ）｛（

（）

ＰＮｔ＋ｈ－Ｎｔ≥２＝ｏｈ（）；（ ）｛（

ＰＮｔ＋ｈ－Ｎｔ＝１＝λｔｈ＋ｏｈ．

称ｍ（ｔ）＝∫λ（ｓ）ｄｓ为过程的累计强度函数．

０

发生的时刻．步骤如下．

的齐次泊松过程的 前事件发 （）产生参数

Ｔ １ １

生的时刻 ， ，…，

性质

［］

１

１６２－６３

（ ）

）

（）令

（）服从泊松分布，

ｚ１

２

－１

ｓｉ ＝ ｍ ｚｉ

（），则

ｚ２ ｚｎ．

ｓ１ ｓ２

，，…，

ｓｎ

为强度为

Ｎｓ＋ｔ－Ｎｓ

（）的非齐次泊松过程事件发生的时刻

λｔ 其参数为

２．２

（）

ｍｓ＋ｔ－ｍｓ．

仿真方法

（

．

该方法只要产生单位强度的齐次泊松过程的点 ．

产生间隔时间法 ２．２．３

定理 设 ，则在 的条件下，

５ Ｓ０ ＝０ Ｓｎ－１ ＝ｓｎ－１

，，…）的条件密度函数为 （Ｔｎ ＝Ｓｎ －Ｓｎ－１ ｎ＝１２ ｆＴ （ ＝ｓｎ－１ ）

ｎ ［（）（

－ｍｓ ＋ｔ－ｍｓ ）］ ｔ＞０

发时刻，在进行变化即可，但需要

ｍｔ

（）的反函数

设待仿真的非齐次泊松过程｛（），

Ｎｔｔ≥０

｝的强

（），中止时刻为

，，…｝，事

度函数为

λｔ

（），累计强度函数为

ｍｔ Ｔ

，仍记事件发生的时刻序列为｛ ，

Ｓｉ ｉ＝１２

件发生时间间隔序列为｛ ，

稀疏法 ２．２．１ 定理 设

Ｔｉ ｉ＝１２

，，…｝

．

ｔ｜Ｓｎ－１

＝

３

（） ，其中 为一常数，而 ，，

λｔ≤λλ

ｓ１ ｓ２

…，，…

ｓｎ

为参数 的齐次泊松过程的事件发生的时

λ｛０

（）ｎ－１ ｎ－１

，，， 证明

其他．

根据过程的独立增量性可得

ｎｎｎ－１

１

１

刻，对每个

ｓｉ ，以概率

λｓ （）／ 进行保留，以概率

λ

｛

｛（

１－λｓｉ λ （）／ 舍弃，由此得到的序列

ｓ（１）ｓ（２）

， ，…， ，…

ｓ（ｎ）

， Ｔ ＝Ｓ， －Ｓ ＞ｔ｜Ｓ ＝ｓ…，｝

Ｓ２ ＝ｓ２

是强度为λ（ｔ）的非齐次泊松过程事件发生的时刻．

证明 显然，ｓ（１），ｓ（２），…，ｓ（ｎ），… 是ｓ１，ｓ２，…，

ｓｎ，… 的稀疏，因此满足中定义２中的（ ）～ （ ）．以下证明它也满足定义２中的（ ）．设

Ａ＝｛非齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，

ｓｎ－１ｓｎ－１ ＋ｔ内无事件发生｜Ｓｎ－１ ＝ｓｎ－１

再根据性质１，

），

ｓｎ－１ｓｎ－１ ＋ｔ内无事件发生｜Ｓ１ ＝ｓ１

，…，｝Ｓ２ ＝ｓ２Ｓｎ－１ ＝ｓｎ－１＝

｛（，）｝，

，

Ｓｎ－１ ＝ｓｎ－１＝

Ｂ＝｛齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，

则有

ＰＴｎ ＝Ｓｎ －Ｓｎ－１ ＞ｔ｜Ｓ１ ＝ｓ１

Ｓ２ ＝ｓ２

｛，

，…，

ｅ

［（）（－ｍｓ ＋ｔ－ｍｓ Ｓｎ－１ ＝ｓｎ－１＝

）］

ｎ－１ ｝

ｎ－１

，

８８

高 等 数 学 研 究

年 月 ２０１２ １

故有

ＦＴ ｔ｜Ｓｎ－１ ＝ｓｎ－１

（

ｆｎ ｕ ＝

（） （）

ｍＴ

＋ｔ－ｍｓ

）

＝

（）

λｕ

，

０＜ｕ≤Ｔ

，

ｎ

｛０１－ｅ－ｍｓ ［（）

（

）］

ｎ－１ ｎ－１ ，

ｔ＞０

，

其他．

，

，

间的条件分布．根据定理５可以先产生Ｔ１ 分布的随机数ｔ 求导即得．

定理 ５ 给出了非齐次泊松过程事件发生间隔时

其他．

的随机变量的随机数

ｓ１

，，…，

ｓ２

ｓｎ．

（）将产生的随机数 ，，…， 按从小到大的 ３ ｓ１ ｓ２ ｓｎ

顺序排列即可．

３

仿真算例

设非齐次泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度函数

１

，令ｓ１ ＝ｔ１，在此基础上产生Ｔ２ 分布的随机数ｔ２，依次

下去，直至ｔｎ，使得 可设计步骤如下．

ｓｎ ＝ｔ１ ＋ｔ２ ＋ …

＋ｔｎ ＞Ｔ，

λ（ｔ）＝２ｅ

－ｔ５

，

（）

１令ｎ＝１ｓ＝０ｓ０ ＝０Ｔ 赋值． （２）产生密度为 ＝ｓ） ｆＴ ｜Ｓ （ｔ｜Ｓ＝

，，，

截止时刻Ｔ ＝５，实际系统仿真中可取较长的时间．此时

在稀疏法中

λ＝２

，

４

的随机变量的随机数．

， ｛０

（

ｎ ｎ－１

ｎ－１ ｎ－１

）

－ｍｓ

［（

ｎ－１

＋ｔ－ｍｓ

）

（

ｎ－１

，

在尺度变换法中

）］

λｓｎ－１＋ｔｅ

ｔ＞０

，

ｍ

－１

（ｔ）＝－５ｌｎ（１－），

１０

ｔｓ 其他．

在产生间隔时间法中

（）令 （）判断

３ ｓ＝ｓ＋ｘｓｎ ｓｎ ≤Ｔ ，

＝ｓ．

，若是则输出

ＦＴ ｔ｜Ｓｎ－１

（

ｓｎ

，令 ．

ｎ＝ｎ＋１

并

ｎ ＝ｓｎ－１

）

＝１－ｅ

－１０ｅ

［

５ －

ｎ－１

ｓ ＋ｔ － ｎ－１－ｅ

５ ］

（

转向步骤（），否则程度停止

２．２．４ 顺序统计量法

定理 在 （）

６ Ｎｔ ＝ｎ

的分布恰好为密度函数为

２

ｔ＞０ ｓ０ ＝０ ｎ＝１２

， ，

，，…），

在顺序统计量法中

（

Ｓｎ 的条件下， ， ，…，

Ｓ１ Ｓ２

（） Ｆｔ ＝

１－ｅ

－５

ｔ

０≤ｔ≤５ ．

－１ ）

，

≤ｔ

，

１－ｅ

（）

利用此前给出的方法，通过 Ｍａｔｌａｂ编程，可分别 取得一组非齐次泊松过程的事件发生的时刻（表１）．

表１

仿真方法

ｆｎ ｕ （）

＝

ｍｔ （）０＜ｕ

四种仿真方法仿真结果

，

其他 ．

事件发生时刻

的总体容量为ｎ的简单随机样本的顺序统计量．

证明 根据定理 ５ 及其证明过程可得

稀疏法

０．４７４２１．９１４１２．４０４０２．６１３７３．９９０６

４．３３０２

０．２１３５０．８５７８０．９７３２２．２０９９２．６７２８

， ，

，

， ，

， ，

，

， ，

ｆＳＳ…Ｓｓ１ｓ２

１２ （）

（ … ，（，］内无事件发生）

ｎ ｓｎ ｓｎ ｔ ＝

尺度变换法

，

（） λｓｎ ｅ

－ｍｓ ）－ｍ（０）］

１

［（

（）

－ｍｓ －ｍｓ ２ １

［（）

（

）］

…

λｓ１ ｅ

λｓ２ ｅ

ｎ

＝

（）

（） －ｍｔ产生间隔时间法

４．１２１３ ４．７２３６

， ，

，

，

［（）（

－ｍｓ －ｍｓ ）］－［ｍ（ｔ）－ｍ（ｓ ）］

ｎ ｎ－１ ｎ

０．００８４０．７４２３０．９４６１１．７４１８１．８０６４

， ，

，

，

∏

ｅ

，

ｉ＝１

顺序统计量法

０．９３８９ ２．２９４９３．５４８８４．１３８２４．４５５８ ， ， ， ，

０．１８５６

１．５６２３２．１８２３３．３４３２３．５０２７

，

再由

，ｎ！ Ｐ｛Ｎ（ｔ）＝ｎ｝＝ｅ

可得在Ｎ（ｔ）＝ｎ条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ 的联合密度函

－ｍ（ｔ）

［ｍ（ｔ）］ｎ４ 结论

通过讨论，可以看到四种方法都需要一定的条件，

数为

ｎ！∏

ｆＳＳ …Ｓ ｓ１ｓ２

１２ ｎ ｎ λ（ｓｉ）

（

…

ｓｎ｜Ｎｔ＝ｎ＝

（））

稀疏法需要强度函数具有上界，尺度变换法需要计算累计强度函数的反函数，产生间隔时间法和顺序统计量法分别需要产生具有一定密度函数的随机变量的随机数，也就需要计算分布函数的反函数，相

比之下尺度变换法较为简捷高效．此外对随机过程的每

次仿真，得到过程的一个事件发生时刻序列，应 该说随机性比较大．要利用仿真的方法求解随机系统的最优化或其它问题时，应该对系统多次仿真然后求平均，样才能弱化仿真过程中偶然性的因素的影响，得到

（０＜ｓ１ ＜ｓ２ ＜ … ＜ｓｎ ＜ｔ）．

ｉ＝１ ｍｔ

根据引理１，可得定理结论成立．

由定理６，在条件 Ｎ（ｔ）＝ｎ下，产生ｎ个随机数，再

（）

从小到大排列即可，具体步骤如下．

（１）首先产生Ｎ（Ｔ）的随机数记为ｎ．（２）产

生ｎ个密度函数为

比较理想的结果．

第 １５ 卷第 １ 期

年 ２０１２ １ 月

高 等 数 学 研 究

ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｊａｎ．２０１２ ，

，

Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１

单位圆内两点距离的模拟与求解

摘 要 关键词

肖华勇１，黎 旭２

（１．西北工业大学 理学院，陕西 西安７１００７２；２．西北工业大学 航天学院，陕西 西安７１００７２）

针对一道概率问题，采用计算机模拟和理论推演两种方法进行求解．将模拟结果和计算结果相互印

证，既可从不同角度理解问题，又能保证求解结果的正确性．

概率问题；计算机模拟；理论求解

文献标识码

Ｇ６４２．１

文章编号

（ ）

１００８－１３９９２０１２０１－００８９－０３

Ａ

中图分类号

面对一个有相当难度的概率问题，我们通常并不知道自己得到的求解结果是否一定正确，这时可采用随机模拟的方法，通过判断模拟结果与理论计算是否接近来自我验证结果的正确性．另外，随机模拟又从另一个角度加深了对该问题的理解．因此，随

机模拟在概率学习和复杂问题求解过程中都显得十分重

该问题是我在教改班进行随机数学教学中由一位同学提出的．初时感觉这个问题理论求解比较困难，就采用计算机模拟获得了一个结果．后来深入下去，经过比较复杂的计算求得了理论结果，但发现理论求解与模拟计算结果相差很大．进一步探究，终于发现是模拟过程采用的公式出现了问题，对模拟公式进行修正后，理论计算和模拟结果终趋一致，相互得到印证．

问题要求在单位圆内任意取两点，应理解为随机在单位圆内取点．这里的随机性是指选取的点在单位圆内服从均匀分布，这样就避免出现贝特朗奇论中对随机的不同理解．

模拟原理

在计算机模拟时，首先需要产生单

求单位圆内任意两点不超过１的概率．

要．以下就有一个很好的例子．

问题１ 收稿日期２０１０－０１－０６修改日期２０１１－１２－０７ 作者简介：肖华勇（１９６９－），男，陕西西安人，博士，副教授，从事概率

：；：

统计及数学建模研究．Ｅｍａｉｌｈｕａｙｏｎｇｘ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 黎旭（１９８８－），男，陕西西安人，硕士研究生在读，研究方 向为多学科优化．Ｅｍａｉｌｌｕｋｅｂｅｓｔ＠１６３．ｃｏｍ

：

：

参考文献

［］盛骤，谢式千，潘承毅 概率论与数理统计［ ］北京：高

３

． Ｍ ．

４

等教育出版社，

２００１４２５－４３１．

：

１

［］邓永录，梁之舜 随机点过程及其应用［ ］北京：中国

科学出版社， ：

１９９２１００－１０３．

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．

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Ｍ ．

．

Ｍ ．

社，

２００４３３－３４．

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２

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．

． Ｍ ．

［］邵阳学院学报， Ｊ． ，（）：

２００７４１ ７－８．

人民教育出版社，

１９８０２５５－２５６．

：

ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＮｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎＰｒｏｃｅｓｓｅｓ

ＮＩＮＧＲｕｙｕｎ

（

ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓ，ＯｒｄｎａｎｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ０５０００３，ＰＲＣ）

：

，

，

，

，

Ａｂｓｔｒａｃｔ ＢａｓｅｄｏｎｔｗｏｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｓｐａｒｓｅｍｅｔｈｏｄｓｃａｌｅａｌｔｅｒｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｔｉｍｅｉｎｔｅｒｖａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｏｒｄｅｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｅｓａｎｄｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＡｃｏｎｃｒｅｔｅｅｘａｍｐｌｅｏｆｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｆｏｕｒｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄａｎｄｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓｓｉｍｕ

ｌａｔｉｏｎｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒ

：，，

，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4tk3.html