误差理论

II 误差理论

1. 古典误差理论与现代误差理论的区别

古典误差理论对偶然误差的研究只限于正态分布的偶然误

差——研究对象，而现代误差理论在研究正态分布的基础上又进一步研究了非正态分布的偶然误差。

在古典误差理论中，长不加条件地指出偶然误差具有4点性质，即单峰性、对称性、有界性、抵偿性。 实际上，这4个性质对有些非正态分布如均匀分布就不具备。

古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。 2．误差理论的应用

在下列情况下，需要用到误差理论：（1）处理检定数据；（2）估计测量结果和测量结果的精确度；（3）建立计量标准和设计仪器；（4）设计新的测量方法、新的检定规程。

3. 为什么测量结果都带有误差？

完成某项测量必须要有测量仪器、测量方法和测量人员。这三方面都可能使测量产生差。所以，任何测量结果都带有误差。

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4. 产生误差的原因

（1） 仪器误差；

（2） 安装调整误差，如水银柱高、滴定管垂直否等； （3） 人为误差，如视差，读数过早或过迟等；

（4） 方法误差（又称理论误差）。间接测量时，由于间接测

量函数本身就是一个近似公式，存在一定的近似误差，这种误差称为间接测量误差；

（5） 环境误差，由于周围环境等因素使仪器内部工作状态

改变而引起的误差，习惯上称为环境误差。

示例：

dp?H?dTT?V Clapeyrong equation

dlnp?vapHm? dTRT2 Clausius-Clapeyrong eq.

近似性：Vm(g)>>Vm(l),气体为理想气体。

ln(p/pθ) = -Δ

vapm

H/RT + C 假定Δ

vapm

H 与温度无关。

式中，C为积分常数。有 Δ

vapm

H = - R·斜率

vapm

事实上，ΔΔ

H=f(T)，即Δ

-1

vapm

H是温度的函数，有

vapHm/kJ·mol

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Tc T/K

5. 方法误差

就其性质来看，它属于系统误差，因重复测量时误差值是不变的，可以对其进行修正，误差的正负号也是可以确定的。

6. 直接测量法

无需对待测的量与其他实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到待测量值的方法称为直接测量法。 如，用电压表测电压，温度计 温度，

注意：若计量器具的示值是从对照曲线或表格中读出的，则这种测量仍被看作是直接测量。

7. 间接测量法

直接测量的量 待测量

已知函数关系

如， R = V/I，电阻 电压，电流

8．组合测量法

测量目的有多个，需解一方程组，才能求得测量目的。

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示例：标准电阻在温度t时的电阻值为： Rt = R20[1 + α(t-20) + β(t-20)] 式中，R20——20℃时的电阻值

α，β——该标准电阻的一次和二次项温度系数 有3个测量目的，R20，α，β。因此，至少需3次测量。 Rt1 = R20[1 + α(t1-20) + β(t1-20)] Rt2 = R20[1 + α(t2-20) + β(t2-20)] ： ： ：

Rtn = R20[1 + α(tn-20) + β(tn-20)]

n > 3, 可提高测量精度，并可以用最小二乘法处理实测数据。

9. 测量与检定的区别

测量——为确定被测对象的量值而进行的实验过程称为测量。

检定——为评定计量器具的匠量性能（准确度、稳定度、灵敏度等）并确定其是否合格所进行的全部工作称为检定。 因此，测量与检定是两个不同的概念，但两者又有联系，因为检定时要对被检计量器具的各项技术指标进行测量，而其测量误差要比对被检指标的额定允许误差小得多，因此从测量的观点来看，检定是测量工作在计量工作中的一种应用，

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并且是精确度较高的测量。

检查是用上一级精确度较高的仪器对下一级精确度较低的仪器进行检定，通过检定将量值从国家基准逐级传递给各级以至工作仪器，因此检定能达到量值传递的目的。对一台仪器进行检定，要确定该仪器各项技术指标是否达到规定的要求，从而确定该仪器合格或不合格。

国家标准计量局 省、市、县计量局, 传递性

10. 误差分类

（1） 偶然（随机）误差

（2） 系统误差（包括半系统误差） （3） 粗差

11. 各类误差介绍

（1） 绝对误差

Δ=A – A0 A0 ——被测量的真值

A —— 对于测量仪器，是仪器示值。

真值——一个量在被观测时，它本身所具有的真实大小称为真值。

实际值——满足规定准确度的、用来代替真值使用的量值称为实际值。

注意： 量的真值是理想的概念，一般地是不可能确切地知道

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的。实际上，量子效应可排除唯一的真值。

约定真值——为了给定目的，可以代替真值的量值称为约定真值。注：一般说来，约定真值被认为是非常接近真值的，就给定目的而言，其差值可以忽略不计。 ● 绝对误差的特点

① 一般情况下，它是有单位、有量纲的，其值大小与所取单位有关。如，A=25 V，A0=24 V， Δ =（25-24）V = 1V = 1×10 mV。 ② 能反映误差的大小与方向。

③ 不能更确切地反映出测量工作的精细程度。

示例： 用一频率计测量100kHz的标准频率，示值为101 kHz, Δ = (101-100)kHz=1kHz

用另一频率计测量1MHz的标准频率，示值为1.001MHz,则

Δ = (1.001-1.000)MHz=0.001MHz = 1kHz Δ 相同，后者测量1MHz时才差1kHz, 而前者测100kHz时就差1kHz。

由上可见，绝对误差不能确切地反映出测量工作的精细程度。因此，除了用绝对误差外，还常用相对误差。 （2） 相对误差

国家标准规定指出：“测量的绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差”。

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《国际通用计量学名词》指出：“测量绝对误差除以被测量的（约定）真值称为相对误差”。 ● 实际相对误差 δ

实际

= Δ/A0 =(A-A0）/A0

实际

示例：频率计一，δ 频率计二，δ

= （101-100）kHz/100 kHz= 1%

实际

= （1.001-1.000）MHz/1.000MHz = 0.1%

由上可知，两频率计的绝对误差相同，都是1kHz，但实际相对误差不等，说明相对误差能反映测量工作的精细程度。 若已知实际相对误差δ Δ=δ● 额定相对误差

δ

额定

实际

实际

和实际值A0，即可算出绝对误差

·A0

= Δ/A =(A-A0）/A

A为仪器示值，A0为实际值。

● 引用相对误差

设A为仪表示值，A0为实际值，A上为仪表测量上限，则引用相对误差为 δ

引用

= Δ/A上 =(A-A0）/A上

引用相对误差主要用来表示仪表的准确度，多数用在电工和热工仪表方面。

示例：检定2.5级量程为100V的电压表，在50V点刻度上标准电压表示值为48V，试问此表是否合格？

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电表的准确度等级是以引用相对误差表示的，2.5级电表的引用相对误差为±2.5%。已知检定点刻度值为A=50V，A0=48V，Δ=A-A0=2V，则引用相对误差 δ

引用

= 2/100 = 2% < 2.5%，故50V这点是合格的。

● 相对误差的特点

① 相对误差是一个比值，其值大小与被测量所取的单位无关； ② 能反映误差的大小与方向；

③ 能更确切地反映出测量工作的精细程度。这是由于相对误差不仅与绝对误差的大小有关，同时与被测量的数值大小有关，因此它能更确切地反映出测量工作的精细程度。 示例：有一个5A的0.5级电流表，当其指针指在2.50A时，此点的实际值为2.51A,求该电流表在此点的引用相对误差、实际相对误差、额定相对误差各为多少？ 解：δδ

引用

= Δ/A上 =(A-A0）/A上=100%×(2.50-2.51）A/5A = -0.2%

实际

= Δ/A =(A-A0）/A0 =100%×(2.50-2.51）A/2.51A ≈

-0.4% δ

额定

= Δ/A =(A-A0)/A =100%×(2.50-2.51)A/2.50A

=-0.4%

示例：量程10A的0.1级电流表，经检定最大示值误差为8mA,问该电流表是否合格？

解：0.1级电流表允许的引用相对误差为 ±0.1%，允许的绝对

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误差为10×0.1% = 0.01A = 10mA。8mA < 10mA，故该电流表合格。

示例：为什么选用电表时，不仅要考虑准确度，而且要考虑量程，在使用时应尽可能用在电表测量上限的三分之二以上？ 解： 因电表准确度等级是以引用相对误差定义的，而电表各刻度点的额定相对误差是不同的，刻度点愈偏离测量上限，则额定相对误差愈大，而对测量者来说，真正关心的是额定相对或实际相对误差。若测量时用在仪表测量上限的三分之二以下，则额定相对误差较大，电表准确读不能得到充分利用。

示例：用一个量程为150V的0.5 级电压表测量25V的电压，用一个30V的1.5级电压表测量25V的电压，哪一个的准确度高，为什么？

解：量程为150V的0.5级电压表的测量误差（用绝对误差表示）=0.5%×150V=0.75V；

量程为30V的1.5级电压表的测量误差（用绝对误差表示）=1.5%×30V=0.45V。说明测量25V电压时用量程为30V的1.5级的电压表的测量准确度高。 ● 关于δ1）

实际

与δ

额定

实际

从定义看，δ与δ

额定

是两个概念，但当误差值较小

实际

时，从数值来说二者相差极微，因此在计算时，按δ按δ2）

额定

或

计算，所得数值是相同的，故按那种计算都可以。

实际

当误差较大时，则δ与δ

额定

也相差较大。因此，具

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体计算时，二者不能混用，要严格按规定的要求计算。 （3） 极限误差

这是极端误差，测量结果（单次测量或测量系列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的概率为P，并使差值（1-P）可忽略。

注一：在误差为正态分布及测量次数足够多时，单次测量的极限误差由±tσ所确定，测量系列的算术平均值的极限误差由±t?所确定。常用t=3, ±3σ(或 3?)对应的概率为99.73%；当P=99%时， t=2.58；当P=95%时，t=1.96。 注二：当测量次数较少时，测量系列的算术平均值的极限误差t值由t-分布计算。

置信度，置信水平，P；显著性水平，α=1-P。

由上可知，极限误差是以概率来定义的。而仪器生产部门对极限误差的定义不引入概率因素。

以概率0.3%(置信度99.7%)来定义极限误差，检定仪器时仅测量一次或数次，其中有一次超差，严格按概率来说还不能绝对判断该仪器不合格，因为大误差虽然出现的概率小，但毕竟不是绝对不可能出现，现在这台仪器是不是碰巧出现了大误差呢？因此，生产仪器的工业部门往往不引入概率这因素，以免生产厂在检验或处理用户与生产单位之间关于产品是否合格的纠纷时，使问题的解决复杂化。如，电子仪器有关部门文件中对极限误差的定义为：“在规定条件下使用时示值误差的最大值”。

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