设备设计1

第二节 回转薄壳应力分析

概念

壳体：以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向尺寸小得多的构件。 壳体中面：与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。

薄壳：壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。 薄壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/Di≤1.2。 厚壁圆筒：外直径与内直径的比值Do /Di≥1.2 。 3.2.1 薄壳圆筒的应力 1． 基本假设：

a.壳体材料连续、均匀、各向同性； b.受载后的变形是弹性小变形； c.壳壁各层纤维在变形后互不挤压。

典型的薄壁圆筒如图2-1所示。 A Bt DppB图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力

A 47

2．B点受力分析：

内压P（ B点）：轴向：经向应力或轴向应力σφ

圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr

三向应力状态→（σθ 、σφ >>σr）→二向应力状态

因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ(见图2-1) 3． 应力求解

y ?? ?? Di p ?? (a) p ? x ?? 截面法

(b) 图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡

应力求解 （静定，图2-2）

轴向平衡 ?4D2p??Dt?? 得 ????pD4tpD 2t圆周平衡 2?2pRisin?d??2t?? 得 ???0解得 ???2??3.2.2 回转薄壳的无力矩理论

K1O'R1K1K2xrR1K2θA'AxyR2?zR2?zrOBξ平行圆经线a.b.

48

一、回转薄壳的几何要素：

回转薄壳：中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成。 母 线：绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线,如OA 极 点：中面与回转轴的交点。 经线平面：通过回转轴的平面。

经 线：经线平面与中面的交线,即OA＇

平 行 圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。

中面法线：过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。 第一主曲率半径R1：经线上点的曲率半径。

第二主曲率半径R2：垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径(K1B )等于考

察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B）

平行圆半径r：平行圆半径。

K1O'R1K1K2xrR1R2K2θA'AxyR2?z?zrOBξ平行圆经线a.图2-3 回转薄壳的几何要素

b. 同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。

曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 r与R1、R2的关系： r=R2sin 二、无力矩理论与有力矩理论

平行圆?????????????N? 经线??a.b.c.图2-4 壳中的内力分量

49 内力：①薄膜内力：Nφ、Nθ、Nφθ、Nθφ——无力矩理论或薄膜理论（静定）

②弯曲内力：有力矩理论或弯曲理论（静不定）

A、横向剪力Qφ、Qθ B、弯矩转矩：Mφ、Mθ、

Mφθ、Mθφ、

即 无力矩理论: 只考虑薄膜内力, 忽略弯曲内力的壳体理论。

有力矩理论: 同时考虑薄膜内力和弯曲内力的壳体理论。

无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。

3.2.3 无力矩理论的基本方程 一、壳体微元及其内力分量 微元体：a b c d

经线ab弧长：dl1?R1d? 截线bd长：dl2?rd?

微元体abdc的面积： dA?R1rd?d? 压力载荷： p?p(?)

微元截面上内力：N????t) N?(???t)

o'pmK1d?R2K2aR1??bm'K1o'R1K2R2d?O1??????adc??c??d???????????rd?bo??b.oa.o'K1d???d???R1F1??????d???F1d???a.cto'O1d???d?d???F2??d???c.doc.b.dd???o d.??F2a.bd???o'K12N?在法线d?上的分量?O1?2F2a(c)roe.b(d) 50

图2-5微元体的力平衡

二、微元平衡方程（图2-5） 微体法线方向的力平衡： 由 得

??tR2sin?d?d????tR1d?d?sin??pR1R2sin?d?d?

??R1???R2?p (2-3)??t微元平衡方程。又称拉普拉斯方程。 ?oDodrmpmnnoo 图2-6 部分容器静力平衡

三、区域平衡方程（图2-6）

压力在0-0′轴方向产生的合力：V?2??rm0prdr

作用在截面m-m′上内力的轴向分量：V'?2?rm??tcos? 区域平衡方程式：V?V'?2?rm??tcos? (2-4) 求解步骤：

a.由 求轴向力 V b.由(2-4)式求得 ?? c.将??代入(2-3)式求得??

无力矩理论的两个基本方程: 微元平衡方程、区域平衡方程。 3.2.4 无力矩理论的应用

分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： ①承受气体内压的回转薄壳：a 球形薄壳

b 薄壁圆筒 c 锥形壳体

51

dl

d 椭球形壳体

②储存液体的回转薄壳： a 圆筒形壳体

b 球形壳体

一、承受气体内压的回转薄壳

回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为：

V?2??rm0prdr 2 ??rmp

由式（2-4）得： ???prmpR2V?? （2-5）

2?rmtco?st2c?ost2R2) （2-6） R1将式（2-5）代入式（2-3）得：?????(2?A、球形壳体

球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等，即R1=R2=R

pR将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得：???????? （2-7）

2t结论 a.??????pR2t 受力均匀且小。所以大型储罐制成球形较经济。

b.变形后仍为球形。 B、薄壁圆筒

薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为： R1=∞；R2=R

pRpR将R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得：???,??? （2-8）

t2t???2??

薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍。

结论a.???2???pRt 的应用：(a)开椭圆孔时,应使短轴∥轴线。

(b)纵焊缝受??↑,强度↓,薄弱,∴质量要求(A类)

b.变形后仍为圆筒壳 C、锥形壳体

R1=? R2?xtg?

pR2pxtg?pr?? tttco?s由式（2-5）、（2-6）得： （2-9）

pxtg?pr????2t2tco?s??? 52

???2?? 图2-7 锥形壳体的应力 结论：

①周向应力和经向应力与x呈线性关系，锥顶处应力为零，离锥顶越远应力越大，且周向应力是经向应力的两倍；

②锥壳的半锥角α是确定壳体应力的一个重要参量。 当α→0 °时，锥壳的应力→圆筒的壳体应力。 当α→90°时，锥体变成平板，应力→无限大。 ③变形后为准锥形。

D、椭球形壳体

图2-8 椭球壳体的应力 推导思路：椭圆曲线方程→R1和R2

由式（2-5）（2-6）→??,??

a?x(a?b)?pR2p???????2t2tba?x(a?b)?p??????2tb

422122422122 （2-10）

?)2???a4?2?a4?x2(a2?b?53

又称胡金伯格方程

pa/t????????????????图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律 结论：

①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。 在壳体顶点处（x＝0，y＝b）

a2pa2R1??= R2?? = ?????? b2bt

②椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴 之比a／b有关，a＝b时，椭球壳→球壳，最大应力为圆筒壳中??的一半， a／b↑， 椭球壳中应力↑，如图2-9所示。

③椭球壳承受均匀内压时，在任何a／b值下：

??恒为正值，即拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐递减至最小值。 当a?2 时，应力??将变号。从拉应力变为压应力。

b随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲。 (即:内压椭球有可能周向失稳)

措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状加强构件。 ④变形后为椭球壳。

⑤工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2。

??的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反： 即顶点处为pat ，赤道上为?pat ，

??恒是拉应力，在顶点处达最大值为pat 变形后为一般椭圆形封头

54

二、储存液体的回转薄壳

与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层深度变化。 a. 圆筒形壳体(气+液)联合作用

P0

图2-10 储存液体的圆筒形壳

筒壁上任一点A承受的压力：p?p0??gx 由式（2-3）得 ???(p0??gx)Rt (2-11a)

作垂直于回转轴的任一横截面，由上部壳体轴向力平衡得：

p0R?? (2-11b) →?2?Rt????Rp0 2t2思考：若支座位置不在底部，应分别计算支座上下的轴向应力，如何求？ b. 球形壳体(仅受液压作用) Mr?tRAσ?σθT GAAF? 图2-11 储存液体的圆球壳任点M处的液体静压力为:p??gR(1?cos?) 当???0 (支座A-A以上)： V?2??prdr

0rm χ

H 55

由式（2-4）得 ????gR22cos2?(1?) （2-12a） 6t1?cos?由式（2-3）得 ????gR22cos2?(5?6cos??) （2-12b） 6t1?cos?当???0 (支座A-A以下)： 由式（2-4）得 ????gR22cos2?(5?) 6t1?cos?（2-13a）由式（2-3）得 ????gR22cos2?(1?6cos??) （2-13b） 6t1?cos?比较式（2-12）和式（2-13），支座处(???0) ：?? 和 ?? 不连续，

2?gR2突变量为：?。 （这个突变量，是由支座反力G引起的）

3tsin2?0支座附近的球壳发生局部弯曲，以保持球壳应力与位移的连续性。因此，支座处应力的计算，必须用有力矩理论进行分析，而上述用无力矩理论计算得到的壳体薄膜应力，只有远离支座处才与实际相符。 三、无力矩理论应用条件

① 壳体的厚度、中面曲率和载荷连续，没有突变，且构成壳

体的材料的物理性能相同。

② 壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭矩作用。

③ 壳体的边界处的约束可沿经线的切线方向，不得限制边界处的转角与挠度。 对很多实际问题：无力矩理论求解 + 有力矩理论修正

3.2.5 回转薄壳的不连续分析：①不连续效应与不连续分析的基本方法

②圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解 ③一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解 ④组合壳不连续应力的计算举例 ⑤不连续应力的特性

56

图2-12 组合壳

一、不连续效应与不连续分析的基本方法：

实际壳体结构（图2-12）→壳体组合→结构不连续 1、不连续效应

不连续效应: 由于结构不连续，组合壳在连接处附近的局部区域出现衰减很快的应

力增大现象，称为“不连续效应”或“边缘效应”。

不连续应力: 由此引起的局部应力称为“不连续应力”或“边缘应力”。分析组合壳不

连续应力的方法，在工程上称为“不连续分析”。

2、不连续分析的基本方法：

边缘问题求解（边缘应力）= 薄膜解（一次薄膜应力）+弯曲解（二次应力） 由有力矩理论（静不定）得 变形协调方程

Q0M0Pw1?w2 w1p?w1Q0?w1M0?w2?w2?w2p1Q01M01p2Q02M02?1??2 ???????????

边缘力Q0和边缘力矩M0→边缘内力(N?,N?,M?,M?,Q?)→ →应力??Q0,M0,??Q0,M0

以图2-13（c）和(d)所示左半部分圆筒为对象，径向位移w以向外为负，转角以逆时针为正。 w11w1w2p????a.1pw2?p?0p??022b.pw1Q0Q0Q0?11Qw20Q0wM1wM2010?M?0?M?0Q0??Q0Q0MoMoMoMo22c.d.

Q0、M0的特性：

图2-13 连接边缘的变形

a. 轴对称 / 自平衡 / (边)内力系 / 线载 / 沿“边”平行园均布。 b. ∵自由变形不同，∴互约产Q0、M0求变形协调方程 c. 局部性

d. 成对出现 / 大小相等，方向相反 / 方向任定。

57

二、圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解 分析思路：

推导基本微分方程 （载荷作用下变形微分方程）

↓

微分方程通解

↓

由边界条件确定积分常数

↓ 边缘内力 ↓ 边缘应力

1、求解基本微分方程

轴对称加载的圆柱壳有力矩理论基本微分方程为：

d4wp?4?4?w??NXdx4D?RD? (2-16) Et3D??212(1??) ?式中 D——壳体的抗弯刚度，

w ─ 径向位移；

Nx——单位圆周长度上的轴向薄膜内力，可直接由圆柱壳轴向力平衡关系

求得；

x——所考虑点离圆柱壳边缘的距离；

2?——系数；??43(1??)

R2t2对于只受边缘力Q0和M0作用的圆柱壳， p=0，且 =0，于是式(2-16)可写为：

d4w4?4?w?04dx (2-19)

2、求微分方程的解 齐次方程(2-19)通解为：

w?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?e??x(C3cos?x?C4sin?x) (2-20)

式中C1、C2、C3和C4为积分常数，由圆柱壳两端边界条件确定。

当圆柱壳足够长时，随着x的增加，弯曲变形逐渐衰减以至消失，因此式(2-20)中含有项为零，亦即要求C1＝C2＝0，于是式(2-20)可写成：

w?e??x(C3cos?x?C4sin?x) (2-21)

58

圆柱壳的边界条件为：

(Mx)x?0?d2w??d3w???D??2??M0 , (Qx)x?0??D??3??Q0?dx?x?0?dx?x?0

利用边界条件，可得w表达式为：

e??xw???M0(sin?x?cos?x)?Q0cos?x?3?2?D (2-22)

最大挠度和转角发生在x?0的边缘上

(w)x?0??12?D?2M0?12?D?3Q011?dw?(?)x?0???M?Q00?2??dx?D2?D??x?0 (2-23) wM0??Q03??2?D2?D11?M0 ?Q0?Q02???D2?D21M0 wQ0??1?M0dMxd3wQx???D?3dxdx其中

3、求内力

将(2-22)式及其各阶导数代入（2-17）式，得内力：

Nx?0w??Nx?2?Re??x[?M0(cos?x?sin?x)?Q0cos?x]R2e??x'dwMx??D?[?M0(cos?x?sin?x)?Q0sin?x]2dx?M????MxN???Etd3wQx??D??e??x[2?M0sin?x?Q0(cos?x?sin?x)]3dx' （2-24）

4、求应力

Nx12Mx?2zttN12M?????2?ztt?z?0?x?6Qxt2?x?3(?z2)t4

正应力的最大值在壳体的表面上(z?(z?0 )，即：

59

t)，横向切应力的最大值发生在中面上2NxtN(??)max?xt3Q(?x)max?x2t(?x)max?6Mxt26M?t2 （2-18）

横向切应力与正应力相比数值较小，故一般不予计算。 三、一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解

一般回转壳受边缘力和边缘力矩作用，引起的内力和变形的求解，需要应用一般回转壳理论。

有兴趣的同学可参阅文献[10]第373页～407页。 四、组合壳不连续应力的计算举例

现以圆平板与圆柱壳连接时的边缘应力计算为例，说明边缘应力计算方法。

M0Q0Q0M01M0Q0Q0?w2pD M0tpt图2-14 圆平板与

圆柱壳的连接

圆平板：若板很厚，可假设连接处没有位移和转角，即

w1p?w1Q0?w1M0?0?1p??1Q??1M?0

00圆柱壳：边缘力和边缘力矩引起的变形可按式（2-23）计算。内压p引起的变形为：

pR2w??(2??)2Et?2p?0

p2根据变形协调条件，即式（2-15）得：

Q0M0w2p?w2?w2?0QM?2p??2??2?0

00

60

将位移和转角代入上式，得：

pR211?(2??)?M?Qo?0o23??2Et2?D2?D

11Mo?Qo?02?D?2?D?

解得：

pR2M0??D(2??)EtpR23Q0??2?D(2??)Et

2利用式(2-8)、式(2-18)和式(2-24)，可求出圆柱壳中最大经向应力和周向应力为

pR(在?x?0处，内表面)tpR（?2??）?0.62(在?x?0处，内表面)maxt （?2?x）max?2.05可见，与厚平板连接的圆柱壳边缘处的最大应力为壳体内表面的轴向应力，远大于远离结构不连续处圆柱壳中的应力。 五、不连续应力的特性 局部性、自限性 1、局部性：

随着离边缘距离x的增加，各内力呈指数函数迅速衰减以至消失，这种性质称为不连

x?续应力的局部性。例如，当

（Mx)????时，圆柱壳中纵向弯矩的绝对值为

x??e??M0?0.043M0 已衰减掉95.7%；

一般钢材：??0.3 则x???Rt??2.5Rt ?43(1??2)多数情况下：2.5Rt 与壳体半径R相比是一个很小的数字，这说明边缘应力具有很大的局部性。

2、自限性：

不连续应力是由弹性变形受到约束所致，因此对于用塑性材料制造的壳体，当连接边缘的局部区产生塑变形，这种弹性约束就开始缓解，变形不会连续发展，不连续应力也自动限制，这种性质称不连续应力的自限性。

不连续应力的危害性：

61

脆性材料制造的壳体、经受疲劳载荷或低温的壳体等因对过高的不连续应力十分敏感，可能导致壳体的疲劳失效或脆性破坏，因而在设计中应安有关规定计算并限制不连续应力。

不连续应力在设计中的处理：a.受静载的塑性材料壳体，在设计中一般不作具体计算，

而是考虑不连续应力，对局部结构进行改进,限制其应力。 (a) 用挠性结构 (b) 边缘区局部加强 (c) ?附?

b.对脆性材料壳体受疲劳载荷壳体、受低温壳体，必须按相关规定核算不连续应力。

第三节 厚壁圆筒应力分析

3.3 厚壁圆筒应力分析 3.3.1 弹性应力 3.3.2 弹塑性应力

3.3.3 屈服压力和爆破压力 3.3.4 提高屈服承载能力的措施 厚壁容器：Do/Di?1.2 应力特征：

a. 应考虑径向应力，是三向应力状态； b. 应力沿壁厚不均匀分布；

c.若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。

分析方法：静不定问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。 3.3.1 弹性应力

有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中的三向应力。

A、压力载荷引起的弹性应力 B、温度变化引起的弹性热应力

62

p0 pipopia.pom1n1mpin?b.rm1mdr+drdrn1rdrn?Ric.Rod.图2-15 厚壁圆筒中的应力

一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力

对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布：

?Ri2pi??R02p0piRi2?p0R02?z?? = A2R0?Ri2??R02?Ri2?2、周向应力与径向应力

由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。

a. 微元体 b. 平衡方程

?r??

c. 几何方程 (位移－应变，用位移法求解) d. 物理方程（应变－应力）

e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程（求解微分方程，积分，边界条件定常数） ①. 微元体

如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为1单位。 ②. 平衡方程

??r?d?r??r?dr?d???rrd??2??drsin

63

r （2-25）

?2?0

d?r （2-26） dr③. 几何方程 (位移－应变)

解得????r?r??drdr??一 （2-27）

r?wd??rd???w 周向应变 ?????rd?r??径向应变 ?r??w?dw??w?dw变形协调方程

d??1???r???? （2-28） drrmw+dw

w 1 1

1

n' n

1

m

mm

n' dr n d ? r

图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移

④. 物理方程

1?r???????z?????E1??????????r??z?? ??E （2-29）

?r?⑤. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程

将式（2-28）中的应变换成应力并整理得到：

d2?rd?rr?3?02drdr

解该微分方程，可得

?r的通解。将

?r再代入式（2-26）得

??。

?r?A?边界条件为：当当

BB ; ??A??r2r2 （2－32）

r?Ri时，

?r??pi；

r?R0时，

?r??p0。

64

由此得积分常数A和B为：

22pi?p0?Ri2R0?piRi2?p0R0A? B? （2－33） 22R0?Ri2R0?Ri222pi?p0?Ri2R0?piRi2?p0R01周向应力 ???? 22222R0?RiR0?Rir22pi?p0?Ri2R0?piRi2?p0R01径向应力 ?r?? （2-34） 22222R0?RiR0?Rir2piRi2?p0R0轴向应力 ?z? 22R0?Ri称Lamè（拉美）公式

表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值

应 受 力 位 力 情 况 置 分 析 ?r ?? 仅受内压 仅受外压 po=0 pi=0 任意半径r内壁处 外壁处 任意半径r内壁处 r=Ri r=Ro r=Ri 处 处 2?2?pi??poK2? ?1?Ro? ?1?Ri? 22?22????piK?1?r?K?1?r?0 0 2??Ro?K2?1??1???22? Pi??K?1?r??K2?1???外壁处 r=Ro ?po pi ?2?pi?2??K?1? 2??poK2??1?Ri?K2?1?r2??? ?2K2???po?2?K?1??? ?K2?1???po?2?K?1????z ?1?pi?2??K?1? ?K2???po?2?K?1??? z zr r图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布

65

结论：

从图2-17中可见，仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：

①周向应力?? 及轴向应力?z 均为拉应力（正值），径向应力?r 为压应力（负值）。 ②在数值上有如下规律：

内壁周向应力?? 有最大值，其值为：??max外壁处减至最小，其值为：??min?pi内外壁?? 之差为pi；

径向应力内壁处为?pi，随着r增加，径向应力绝对值逐渐减小，在外壁处?r?0； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力和的一半，即

1?z??????r?

2③除?z外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。

K2?1?pi2

K?12 K2?1????r?R以?? 为例，外壁与内壁处的周向应力?? 之比为：

????r?RK值愈大不均匀程度愈严重，

0?i2 2K?1当内壁材料开始出现屈服时，外壁材料则没有达到屈服，因此筒体材料强度不能得到充分的利用。

二、温度变化引起的弹性热应力

1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力

3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点 5、不计热应力的条件 6、减小热应力的措施

1、热应力概念：因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。

t单向约束：?y???E?t （2－35）

tt??y??双向约束：?x?E?t （2－36） 1?? 66

??????r?r?R弹性区内壁处于屈服状态:?r?Rcc?2?s3

Kc=Ro/Rc由表2-1拉美公式得出：pc??sR02?Rc23R20 （2-46）

与2-45联立导出弹性区与塑性区交界面的pi与Rc的关系

Rc2Rpi?(1?2?2lnc) （2-47）

R0Ri3?s由（2-34）式(以pc代替pi)得

R02??r?1?2?2?R30?r?R02????1?2? （2-48） 2?r?3R0??sRc2??sRc2??z??sRc223R0若按屈雷斯卡（H. Tresca）屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。各种应力表达式列于表2-4中

结论:

① ??f(Rc,Ro,r/pi/?s) ② ?r，???f(r)r???r?，???

1③?z?(?r???)?const 与r无关

2二、残余应力

当厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内压力pi →残余应力 思考：残余应力是如何产生的？

卸载定理：卸载时应力改变量??????'和应变的改变量??????'之间存在着弹性

关系?????E。图2-24。

思考：残余应力该如何计算？

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? ?? ? ?? o ?? ?? ?? 图2-24 卸载过程的应力和应变

基于Mises屈服准则的塑性区（Ri≤r≤Rc）中的残余应力为：

?R22????s??2c?rRi??R20??3?1?????2ln??RR?R220?c0?Ri?????1??Rc?Rc???1???r??????????R??2ln0?R??

i??????s??3????R22c???1?2lnrRi??2???R2c?Rc?????R0?R?22?1??R0?r?????1????2ln?? cR0?Ri???r??????R0?Ri???????22s?R2iz??3????Rc???2lnr??22?1???Rc???2lnRc????? ??R0?RcR0?Ri???R0?Ri????弹性区（Rc≤r≤R0）中的残余应力为：

???s??R20?????3??1????R2c?R22i????r????1??Rc??2lnRc??????????R??0?R20?R2?i???R?0?R? i????2??2s??R0?????Rc?R2i??R?2Rc???r??3??1??1?c?????r??????????R??0?R2?R2??2ln? 0i???R0?Ri?????????R2c?R22s?i??R0?R0???z?3???1??2ln?????R??22??? 0R0?Ri???Rc?Ri????73

2-49）2-50） （ （

200150105σ θσzσr筒壁应力,MPa筒壁应力,MPa1000-100-150-2000175350-35-70-105-140-175-210-245-280σz θσσr塑性区弹性区01.753.0RiRcRoa.加载时的应力分布RiRcRob.卸载后的残余应力11.753.0图2-25 弹-塑性区的应力分布 三、自增强 自增强：通过超工作压力处理，由筒壁自身外层材料的弹性收缩引起残余应力，使内层材料受到压缩预应力作用。

目 的：

a. 使内壁???,沿壁厚应力分布均匀,提高材料利用率。 b. 提高屈服承载能力。 方 法：在内壁施加足够大的径向力。

a. 直接液压法—常用 b. 机械型压法

c. 爆炸胀压法—新技术

应 用：一般用于超高压容器。 3.3.3 屈服压力和爆破压力

爆破过程

OA: 弹性变形阶段

AC: 弹塑性变形阶段（壁厚减薄+材料强化）

C: 塑性垮塌压力（Plastic Collapse Pressure）——容器所能承受的最大压力。 D: 爆破压力（Bursting Pressure）

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p C D B A Py Pb O 容积变化量

图2-26 厚壁圆筒中压力与变形关系

一、屈服压力 （1）初始屈服压力

令pi?ps(内壁面开始屈服)，得基于米塞斯屈服失效判据的圆筒初始屈服压力ps。

ps??sK2?13K2 （2-51）

（2）全屈服压力

当筒壁达到整体屈服状态时所承受的压力，称为圆筒全屈服压力或极限压力（Limit pressure），用pso表示。令Rc=Ro，得

pso?2?slnK （2-52） 3注意：不要把全屈服压力和塑性垮塌压力等同起来。前者假设材料为理想弹塑性，后

者利用材料的实际应力应变关系。

二、爆破压力

厚壁圆筒爆破压力的计算公式较多，但真正在工程设计中应用的并不多，最有代表性的是福贝尔（Faupel）公式。

爆破压力的上限值为：pbmax?2?blnK 32?slnK 3下限值为：pbmin?且爆破压力随材料的屈强比

?s

?b呈线性变化规律。

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于是，福贝尔将爆破压力pb归纳为pb?pbmin??s?pbmax?pbmin? ?b 即： pb?3.3.4 提高屈服承载能力的措施

1. 自增强：

???2?s?2?s?lnK （2-53） 3??b?2. 对圆筒施加外压：多层圆筒结构 (套合/包扎/缠绕) 效果难以保证

注意: 实际多层厚壁圆筒有间隙，且不均匀，应力分布复杂。故目前多数情况下，多

层厚壁圆筒不以得到满意的预应力为主要目的，而是为了得到较大厚度。

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tt??y??zt??三向约束：?x?E?t （2－37） 1?2?2、厚壁圆筒的热应力

分析方法：由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边界条件求解。

当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：（详细推导见文献[11]附录）

E??t?1?lnKrKr2?1?周向热应力 ????2??2?1????lnKK?1?tE??t?lnKrKr2?1?径向热应力 ???2? （2－38） ??2?1????lnKK?1?tr轴向热应力 ?zt?E??t?1?2lnKr2????2?1????lnKK2?1??t——筒体内外壁的温差，?t?ti?t0 K ——筒体的外半径与内半径之比K?R0 RiKr——筒体的外半径与任意半径之比，Kr?厚壁圆筒各处的热应力见表2-2，表中Pt?厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。

R0 rE??t

2?1???表2-2 厚壁圆筒中的热应力

热应力 任意半径r处 圆筒内壁Kr?K处 圆筒外壁Kr?1处 0 ?rt ??t p??P?tlnKrlnK??2Kr?12K?11?lnKrtlnK2Kr?1K?12? ? ? 0 Pt?1lnK?2K2K2?1? ?zt Pt?1?2lnKrlnK?2K?12Pt?1lnK?2K2K2?1? ?P?Pt1lnK?2K2?11tlnK?2K2?1? ? 67

σσσθtOσztσσrttzσrtrrOσθtRiRoRiRo（a）内加热 (b)外加热 图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布 结论:

厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为：

① 热应力大小与内外壁温差成正比K?，?t?，?t? ② 热应力沿壁厚方向是变化的 ③ 内、外壁 ?rt?0 ??t??zt

④ 轴向应力为周向应力与径向应力之和?zt???t??rt?const

1（区别：?zpi?(??pi??rpi)?const）

2⑤ 内、外加热的热应力公式相同，只是符号相反

t,内壁为压应力 内加热：max?拉外壁t,外壁为压应力 外加热：max?拉内壁3、内压与温差同时作用引起的弹性应力

??????, ???????, ? （2-39） ?????????? ??rrtrtzztz具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。

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表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力

总应力 筒体内壁处r?Ri 筒体外壁处r?Ro 0 ??r ?p K2?1?p?Pt?2?Pt1?lnK lnKK?1??? ?p?Pt?21 ?PtlnKK2?1??∑σz ?p?2Pt?11?2lnK ?PtlnKK2?1?p?2Pt?∑σ11 ?PtK?1lnK2∑σθ∑σθ∑σzO∑σ∑σRiRoa.内加热情况rzrOr∑σRiRo rb.外加热情况图2-21 厚壁筒内的综合应力 （a）内加热情况 (b)外加热情况 结论: 由图可见 内加热——内壁应力叠加后得到改善，外壁应力有所恶化。 外加热——则相反，内壁应力恶化，外壁应力得到很大改善。 注意工况:

开 车：仅pi作用 (未升温) 正常操作：pi、?t同时作用 突然泄压：仅?t作用(未降温)

4、热应力的特点

a. 热应力随约束程度的增大而增大

b. 热应力与零外载相平衡，是自平衡应力（Self- balancing stress） c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变可使热应力降低 d. 热应力在构件内是变化的

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5、不计热应力的条件 a. 有良好保温层 b. 已蠕变的高温容器 6、减小热应力的措施

除严格控制设备的 加热、冷却速度外 a. 避免外部对热变形的约束 b. 设置膨胀节(或柔性元件) c. 采用良好保温层

第三节 厚壁圆筒应力分析

3.3 厚壁圆筒应力分析 3.3.1 弹性应力 3.3.2 弹塑性应力

3.3.3 屈服压力和爆破压力 3.3.4 提高屈服承载能力的措施

3.3.1 弹性应力 3.3.2 弹塑性应力 一、弹塑性应力 弹性区塑性区R0描述弹塑性厚壁圆筒的几何与载荷参数：Ri,Pi;Rc,Pc;Ro,Po 本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力 假设：a. 理想弹塑性材料

b. 圆筒体只取远离边缘区

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R0RcRiRc塑性区弹性区图2-22 处于弹塑性状态的厚壁圆筒 内压↑ 塑性区↑ 弹性区↓ σσO1、塑性区应力

平衡方程： ????r?rMises屈服失效判据：????r?ε 图2-23 理想弹-塑性材料的应力-应变关系 d?r （2-26） dr2?s （2-40） 3联立积分，得 ?r?2?slnr?A （2-41） 3r?Ri:?r??pi内壁边界条件，求出A后带回上式得

?r?2r?sln?pi （2-42）

Ri3将（2-42）带入（2-40）得

????2r?s?1?lnRi3????pi （2-43） ????pi （2-44） ??z??r???2??s?r1?2ln?Ri3?将r?Rc:?r??pc代入（2-42）得

pc??R2?slnc?pi （2-45）

Ri3结论:

①??f(Ri,r/pi/?s) ②?r，???f(lnr)r?，?r,??

11③?z?(?r???)?const（区别: 弹区?z?(?r???)?const）

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