卓越学案数学必修2(人教A版)-第二章2.3 2.3.3 2.3.4课后分层训练

一、选择题

1．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是()

A．平行B．异面

C．相交D．垂直

[导学号10710182]解析：选A．因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m．2．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题，其中正确的是()

①α∥β?l⊥m②α⊥β?l∥m

③l⊥m?α∥β

A．①B．②③

C．①②D．①②③

[导学号10710183]解析：选A．对于①，∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β．又m?β，∴l⊥m．故①正确．

对于②，l⊥α，α⊥β，则l∥β或l?β，

又m?β，∴l与m可平行、相交、异面．

故②错误．经排除知选A．

3．直线n⊥平面α，n∥l，直线m?α，则l，m的位置关系是()

A．相交B．异面

C．平行D．垂直

[导学号10710184]答案：D

4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()

A．AB∥m B．AC⊥β

C．AB∥βD．AC⊥m

[导学号10710185]解析：选B．如图所示．

AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β．

5．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()

A．α∥γB．α⊥γ

C．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能

[导学号10710186]答案：D

二、填空题

6．(2016·临沂高一检测)已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可推出的结论有__________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．

①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β．

[导学号10710187]解析：∵α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，

∴l⊥α，α⊥β．而m⊥β，β⊥γ不一定成立．

答案：②④

7．如图，三棱锥P ABC中，平面P AB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为__________．

[导学号10710188]解析：∵平面P AB⊥平面PBC，平面P AB∩平面PBC＝PB，BC⊥PB，且BC?平面PBC，∴BC⊥平面P AB，

∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．

答案：直角三角形

8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；

②△ACD是等边三角形；

③AB与平面BCD成60°的角；

④AB与CD所成的角为60°．

其中正确的编号是__________(写出所有正确结论的编号)．

[导学号10710189]解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，

同理CO⊥BD，又AO∩CO＝O，

∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，①正确．

设正方形边长为1，则AO＝1

2BD＝

2

2，CO＝

2

2，

在Rt△AOC中，AC＝1，∴AC＝CD＝AD＝1，

∴△ACD为等边三角形，②正确．

由面面垂直的性质定理得AO⊥平面BCD，

∴∠ABO为AB与平面BCD所成的角，

∠ABO＝45°，③不正确．

过B作BE∥CD，过D作DE∥BC，BE与DE交于E，连接AE、OE，易知四边形BCDE 为正方形，且∠ABE为AB与CD所成的角或其补角，同②的推导方法可知△AEB为等边三角形，

∴∠ABE＝60°，④正确．

答案：①②④

三、解答题

9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．[导学号10710190]证明：

连接AB1，B1C，BD，B1D1，

∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴DD1⊥AC．

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1．

同理BD1⊥B1C，

又∵B1C∩AC＝C，

∴BD1⊥平面AB1C．

∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，

∴EF⊥B1C．

又∵EF⊥AC，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．

10．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．

求证：(1)AB⊥平面BCD；

(2)平面ACD⊥平面ABD．

[导学号10710191]证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝3a，

∴AB2＋BD2＝AD2，

∴∠ABD＝90°，AB⊥BD．

又∵平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，

∴AB⊥平面BCD．

(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，

且AB⊥BD，∴CD⊥BD．

∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD．

∴AB⊥CD．

∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD．

又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD．

1．

如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G．给出下面两个关系：

①SE⊥平面EFG；②EF⊥平面SEG．

下列说法正确的是()

A．①对②错B．①错②对

C．①错②错D．①对②对

[导学号10710192]解析：选C．由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，故①错．同理可知②错．2．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．

[导学号10710193] 解析：

连接CM ，则由题意知PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM ＝PC 2＋CM 2，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM 有最小值，此时有CM ＝4×32＝23，所以PM 的最小值为27． 答案：27

3．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝22

AB ，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．

(1)求证：GF ∥平面ABC ．

(2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ．

(3)求几何体A DEBC 的体积V ．

[导学号10710194] 解：

(1)证明：如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH ．因为G ，F 分别是EC 和BD 的中点，所以GH ∥BC ，HF ∥DE ．

又因为四边形ADEB 为正方形，

所以DE ∥AB ，从而HF ∥AB ．

所以HF ∥平面ABC ，GH ∥平面ABC ．

又因为GH ∩HF ＝H ，

所以平面HGF ∥平面ABC ．

所以GF ∥平面ABC ．

(2)证明：因为四边形ADEB 为正方形，所以EB ⊥AB ．

又因为平面ABED ⊥平面ABC ，

所以BE ⊥平面ABC ．所以BE ⊥AC ．

又因为CA 2＋CB 2＝AB 2，

所以AC ⊥BC ．

又因为BE ∩BC ＝B ，

所以AC ⊥平面EBC ．

又因为AC ?平面ACD ，

从而平面EBC ⊥平面ACD ．

(3)取AB 的中点N ，连接CN ，因为AC ＝BC ，

所以CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12

a ． 又平面ABED ⊥平面ABC ，

所以CN ⊥平面ABED ．

因为C ABED 是四棱锥，

所以V C ABED ＝

13S 正方形ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3． 即几何体A DEBC 的体积V ＝16

a 3． 4．(选做题)已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，

E 、

F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD

＝λ(0<λ<1)．

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；

(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?

[导学号10710195] 解：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，

∴AB ⊥CD ．

∵CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，

∴CD ⊥平面ABC ．

又∵AE AC ＝AF AD ＝λ(0<λ<1)，

∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，

∴EF ⊥平面ABC ．

又EF ?平面BEF ．

∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC ．

(2)由(1)知，EF ⊥BE ，

又平面BEF ⊥平面ACD ，

∴BE ⊥平面ACD ，

∴BE ⊥AC ．

∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，AB ⊥平面BCD ， ∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6，

∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7，

由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝

67

， ∴λ＝AE AC ＝67， 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD ．

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