电磁学第二章习题答案

习题五（第二章 静电场中的导体和电介质）

1、在带电量为Q的金属球壳内部，放入一个带电量为q的带电体，则金属球壳

内表面所带的电量为 ? q ，外表面所带电量为 q+Q 。 2、带电量Q的导体A置于外半径为R的导体 球壳B内，则球壳外离球心r处的电场强度大小

B R Q · O A r ·

E?Q/4??0r2，球壳的电势V?Q/4??0R。

3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。

4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。

(A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多

5、半径分别R和r的两个球导体(R＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U0，则两球表面的电荷面密度之比σR/σr为 ( B )

(A) R/r (B) r/R (C) R2/r2 (D) 1

6、有一电荷q及金属导体A，且A处在静电平衡状态，则( C )

(A)导体内E=0，q不在导体内产生场强； (B)导体内E≠0，q在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q在导体内产生场强； (D)导体内E≠0，q不在导体内产生场强。

7、如图所示，一内半径为a，外半径为b的金属球壳，带有电量Q， 在球壳空腔内距离球心为r处有一点电荷q，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷；

(2)球心O点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O点处的总电势。

解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q1 , q2,以O为球心作一半径为R(a

Q r a · q O · b ?q?q的高斯球面S,由高斯定理??E?dS?1，根据导体静电平衡条件,

Sε0

??当a

S根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为Q?q1?q2

?q2?Q?q1?Q?q

(2)在内表面上任取一面元,其电量为dq,在O点产生的电势dV1?q1在O点产生的电势V1??dV1??内dq14??oa

dq14??oa内?q14??oa??q4??oa(3) 同理，外球面上的电荷q2在O点产生的电势V2?点电荷q在O点产生的电势Vq?q24??ob?Q?q 4??obq4??or1

∴ O点的总点势V0?Vq?V1?V2?qqQ?q(??) 4??orab8、点电荷Q放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a和b，求场强和电势分布。

解：根据静电平衡条件，球壳内、外球面分别带 电量?Q、Q。其场强分布为:

a Q O · b r?a , E1?Q/4πε0r2

a?r?b , E2?0

r?b , E3?Q/4πε0r2

电场中的电势分布：

ab?r?a, V1??E1dr??E2dr??E3dr?rab111(??) 4??0rabQa?r?b, V2?r?b, V3??r?bE3dr?Q4??0bQ

??E3dr?4??0r

习题六（第二章 静电场中的导体和电介质）

1、分子的正负电荷中心重合的电介质叫 无极分子 电介质，在外电场的作用下，分子正负电荷中心发生相对位移，形成 位移极化 。

2、一平板电容器始终与端电压一定的电源相联，当电容器两极板间为真空时，电场强度为E0 ，电位移为D0，而当极板间充满相对电容率为?r的各向同性均匀

??电介质时，电场强度为E，电位移为 D，则( B )

(A)E?E0/?r , D?D0 (B)E?E0 , D??rD0

??????????????????(C)E?E0/?r , D?D0/?0 (D)E?E0 , D?D0

并联，那么总电场能量将( C )

(A)增加 (B)不变 (C)减少 (D)无法确定

3、两个完全相同的电容器，把一个电容器充电，然后与另一个未充电的电容器

4、一空气平行板电容器，接电源充电后电容器中储存的能量为W0，在保持电源接通的条件下，在两极板间充满相对电容率为?r的各向同性均匀电介质，则该电容器中储存的能量W为( A )

(A) W??rW0 (B) W?W0/?r (C) W?(1??r)W0 (D) W?W0

5、一平行板电容器，其极板面积为S，间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2，相对电容率分别为εr1和εr2的电介质层（且d1＋d2 = d）。两极板上自由电荷面密度分别为±σ，求：(1)两介质层中的电位移和电场强度； (2)极板间的电势差；(3)电容

解：(1) 电荷分布有平面对称性，可知极板间D 是均匀的，方向由A指向B。 ??????????D?dS???D?dS???D?dS???D?dS

S1左侧右A + + + d ?S2 DΔS2 B － － － － d2 εr1 ΔS1 εr2+ S1 ???0?0???D?dS?D1??S1???S1 ∴ D1?σ 左左侧右????D?dS?S2d1 ????????D?dS???D?dS???D?dS????D1dS???D2dS 左右??D1??S2?D2?S2?0 ∴ D1?D2?σ

D2??2E2?? 由D1??1E1?? ，

D2??E1ε2εr2E?? ， E??得 1 且有 ?? 2?1?0?r1?2?0?r2E2ε1εr1?d1?d2??d1?(2) VA?VB??E1?dl??E2?dl?E1d1?E2d1

0dD11?d1d2?σ?d1d2?(εr2d1?εr1d2)σ ?σ??ε?ε???ε??ε?ε???ε0εr1εr2?12?0?r1r2?(3) C?qσSεεεSεr1εr2d??0r1r2?C0

VA?VBVA?VBεr2d1?εr1d2εr2d1?εr1d26、如图，在半径为a的金属球外有一层外半径为b的均匀电介质球壳，电介质的相对电容率为εr，金属球带电Q，求：

(1)介质层内外的场强大小； (2)介质层内外的电势； (3)金属球的电势； (4)电场的总能量； (5)金属球的电容。

解：(1)电量Q均匀分布在半径为a的球面上，作一半径为r的球面为高斯面，利用高斯定理可求得场强分布

a · o b r < a: E1=0; a < r < b: E2=(2) r < a: V1?Q4??0?rr2?b; r > b:

E3?Q4??0r

?arE1dr??E2dr??ab?b11QE3dr?(?)?

4??0?rab4??0b11Q(?)?

4??0?rrb4??0bQQa < r < b: V2??E2dr??E3dr?rbr > b: V3???rE3dr?Q4??0rQ

(3) 金属球的电势 V球?V1?Q[b?a(?r?1)]11Q(?)??

4??0?rab4??0b4??0?rab11Q[b?a(?r?1)]Q2[b?a(?r?1)]?(4) W?QV球?Q

224??0?rab8??0?rab

4??0?rabQC??(5) V球b?a(?r?1)

12W?CV或由球 得： 24??0?rab2WQ2[b?a(?r?1)](4??0?rab)2?C?2?

4??0?rabV球Q2[b?a(?r?1)]2b?a(?r?1)7、一球形电容器，内球壳半径为R1外球壳半径为R2，两球壳间充满了相对电容率为?r的各向同性均匀电介质，设两球壳间电势差为V12，求： (1)电容器的电容； (2)电容器储存的能量。 解：(1) 设内外极板带电量为±Q 作与球壳同心的任意半径r的高斯球面

R1 ?Q · o εr +Q R2 ??2由 ??D?dS?D?4πr??q? S

0， ( r < R1 )

0， ( r > R2 )

0， ( r < R1 )

Q得 D? ， ( R r < R 2 ) 1<

4πr

0， ( r > R2 )

0， ( r < R1 ) DQ， ( R< r < R )

12?∴ E ?4πε0εrrε0εr

0， ( r > R2 )

R2 ∵ V1?V2??R1Q(R2?R1)E?dr? 4??0?rR1R2Q4??0?rR1R2?∴ C?V1?V2R2?R1

22???RRV120r1212W?CV?(2) 122R2?R1

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