山东省冠县武训高中2011-2012学年高二下学期第二次模块考试数学

武训高中2011-2012学年高二下学期第二次模块考试数学（理）试题 本试卷三大题21小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（ ）.

A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 2. 设两个正态分布N(?1，?12)(?1?0)和

N(?2，?)(?2?0)的密度函数图像如图，则有（ ）

22yN(μ1,σ12)1.41.21.00.80.60.40.2-1.0-0.5A．?1??2,?1??2 B．?1??2,?1??2

N(μ2,σ22)C．?1??2,?1??2 D．?1??2,?1??2

o0.51.0x3. 为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：

服用药 没服用药 总计 2患病 未患病 总计 15 20 35 40 25 65 55 45 100 K的观测值为3.2079,则在犯错误的概率不超过（ ）的前提下认为“药物对防止某种

疾病有效”。 A. 0.025 B． 0.10 参考数据： P(K2≥k0) k0 4.若点P在椭圆

0.50 0.455 x2 C. 0.01 D． 0.005

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.708 1.323 22.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ?2?F1PF2的面积是（ ）

?y?1上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且?F1PF2?90，则

A. 2 B．5. 已知双曲线

xa2232 C． 1 D．

12

2?yb22?1(a?0,b?0)与抛物线y?8x有一个公共的焦点F，且两曲线

的一个交点为P，若|PF|?5，则双曲线的渐近线方程为( )

A.y??3x B．y??33x C. y??2x

D．y??22x

6.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )

1

A．48 B．18 C．24 7．在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC??2 D．36

已知G与E分别为A1B1,AB?AC?AA1?1，

和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若GD?EF，则线段DF长度的取值范围为( ) A．?1,2 B．

???1??1?1? C． D．,,1,2????5?55??????2? ?8.(5x?nx)的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M?N?240，

则展开式中含x3项的系数为（ ）

A．－150 B．150 C. －500 D． 500 9. 给出下列命题： ①已知椭圆

x216?y28?1两焦点F1,F2，则椭圆上存在六个不同点M，使得△F1MF2为直

角三角形；

②已知直线l过抛物线y?2x2的焦点，且与这条抛物线交于A,B两点，则AB的最小值为2； ③若过双曲线C:xa22?yb22?1(a?0,b?0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为

M,O为坐标原点，则OM?a；

④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20％和18％，两地

同时下雨的概率为12％，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60％. 其中正确命题的序号是( ) A．①③④ B．①②③ C．③④ D．①②④

10. 已知函数y?f(x?1)的图象关于点(1,0)对称，且当x?(??,0)时，f(x)?xf?(x)?00.30.3成立（其中f?(x)是f(x)的导函数），若a?(3)?f(3)，b?(log?3)?f(log?3)，

11c?(log3)?f(log3)，则a,b,c的大小关系是（ ）

99A．a?b?c B．c?b?a C. c?a?b D．a?c?b

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位

置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不给分． 11.命题“?x0?R,x0?1?0”的否定是 ．

12.由数字1，2，3，……9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“421”）顺序排列的数的个数是 ．

13.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内发生的概率为1%，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 元．（用含a的代数式表示）

214. 若(x?21ax)(a?R)展开式中x的系数是?99212，则?sinxdx? ．

0a2

15.从装有n?1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球?0?m?n,m,n?N?, 共有Cnm?1种取法．在这Cnm?1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白

球，另一类是取出m-1个白球，1个黑球，共有C10?Cnm?C11?Cnm?1?Cnm?1，即有等式：

Cn?Cn0mmm?1?Cn?1成立．试根据上述思想化简下列式子：

1m?1mCkCn?Ck?Cn?Ck?Cn2m?2???Ck?Cnkm?k? ．

(1?k?m?n,k,m,n?N)．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

S 如图，在四棱锥S—ABCD中，SD?底面ABCD，底面ABCD是矩形，

SD?AD?2AB，E是SA的中点．

（1）求证：平面BED?平面SAB；

（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

17．（本小题满分12分）

已知点P是圆F1:(x?1)2?y2?8上任意一点，点F2与点F1关于 原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点． （1）求点M的轨迹C的方程；

（2）斜率为1的直线l与曲线C交于A,B两点,若OA?OB?0

（O为坐标原点），求直线l的方程．

????????E D A C

B y P N M F1m F2x 18．（本小题满分12分）

为备战2012奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练. 现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3； 乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2， 8.1，9.0，8.5.

（1）画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(用茎表示成绩的整数部分，用叶表示成绩的小数部分)

（2）现要从中选派一人参加奥运会，从平均成绩和发挥稳定性角度考虑，你认为派哪位选

手参加合理? 简单说明理由.

（3）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低

于8.5分的次数为?，求?的分布列及均值E?.

3

19．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x2?2alnx.

（1）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，求函数f(x)的单调区间； （3）若函数g(x)?2x?f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知抛物线y2?4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.（1）求证:|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；

????????????????（2）设MA??AC，MB??BC，试问???是否为定值，若是，求出此定值；若不是，

请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x?2lnx?1． （1）求函数y?f(x)的最小值； （2）证明：对任意x??1,???,lnx?恒成立；

x?1（3）对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)，如果在函数f(x)图

象上存在点M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB 存在“伴侣切线”．特别地，当x0?x1?x2222(x?1)时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试

问：当x?e时，对于函数f(x)图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

4

高二数学（理）参考答案及评分标准

一、 选择题：本大题共

10

小题，每小题

5

分，共

50

分．

二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17解：（1）由题意得，F1(?1,0),F2(1,0),圆F1的半径为22，且|MF2|?|MP| ? 1分 从而|MF1|?|MF2|?|MF1|?|MP|?|PF1|?22?|F1F2| ??????????? 3分 ∴ 点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆, ???????????????? 5分 其中长轴2a?22,得到a?椭圆方程为:

x222,焦距2c?2，则短半轴b?1

2?y?1 ?????????????????????? 6分

5

?y?x?n?（2）设直线l的方程为y?x?n,由?x2 2?y?1??2可得3x2?4nx?2n2?2?0 ??????????????????????? 8分 则??16n2?24(n2?1)?0,即n2?3 ① ?????????????9分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??4n3,x1x2?2n?232

????????由OA?OB?0可得x1x2?y1y2?0,即x1x2?(x1?n)(x2?n)?0 ???????10分

整理可得2x1x2?n(x1?x2)?n2?0

化简可得3n2?4,满足①式，故直线l的方程为：y?x?]233 ???????12分

18．解：（1）茎叶图如图: （2） x甲=x乙= 8.5，但

S甲=0.27，S乙=0.405，S甲?S乙，

2222 甲 乙 9 8 7 5 9 4 3 3 8 0 1 2 5 4 0 9 0 2 5 ???3分

甲发挥更加稳定，所以选派甲合适. ??????????????6

分

（3）乙不低于8.5分的频率为，?的可能取值为0、1、2、3.

2k1??B(3,)，P(??k)=C3()2113?k2(1?13k13)=C3()22，k?0,1,2,3. ?????8分

x的分布列为 ∴

E??0?18?1?38?2?38?3?18?32.（注：可用E??3?12?32.） ???????12分

0 18

19

x 1 382 383 18．

2a?解2x?2a2：（1）

P xx??????1分

由已知f'(2)?1，解得a??3. ???????????????????3分

f'(x)?2x? ???????????

（2）函数f(x)的定义域为(0,??).f'(x)?2(x?3)(x?x3).

当x变化时， f'(x),f(x)的变化情况如下：

x f'(x) f(x) (0,3) 3 (3,??) - 0 + 极小值 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,3)；单调递增区间是(3,??). ??6分

2x)??x?2anlx （3）由g(2x得g'(x)??2x2?2x?2ax， ????????????

8分

由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，

6

则g'(x)?0在[1,2]上恒成立，即? 即

a?1x?x22x2?2x?2ax?0在[1,2]上恒成立.

在

[1,2]上恒成立.

?????????????????????10分 令h(x)?所以

1x?x，在[1,2]上h'(x)??21x2?2x??(1x2?2x)?0， ?h(2)??min72h(x)在

[1,2]为减函数. h(x),所以

a??72. ????????12分

C(?B(x2,y2)，法2：设直线l的方程为：y?kx?2(k?0)，A(x1,y1)，

2k,0)，M(0,2)

联

2立方程可得

?2k?y??2?y?4x 得

x :

ky?4y?8?0??????????????????8分

????????????????2?y12?y222??1,????1, ?????由MA??AC，MB??BC得，??y1y1y2y210分

????(13分

7

2y1?1)?(2y2?1)?2(y1?y2y1y2)?2??1 即证. ????????????

法3：设直线l的方程为：y?kx?2(k?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(?2????k?????????x1?2由MA??AC得：?1??代入y?4x有：

?2y??11???2k,0)，M(0,2)

4(1??)2?8?(1??)k22?0即2?+2?+k?0， 同理：2?+2?+k?0，

所以?,?是方程2x2+2x+k?0的两根， 故?+?= -1 ????????????13分

（注：该法可以不联立直线与抛物线的方程.）

曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率：

k?f?(x0)?f?(x1?x22)=(x1?x2)?4x1?x2????????????????11

分

依题意得： (x1?x2)?2?lnx1?lnx2x1?x22x1?x2?(x1?x2)?4x1?x2

2(?x2x1?1)化简可得：

lnx2?lnx1x2?x1?， 即lnx2x1=

2(x2?x1)x2?x1x2x1. ????12?18

分

设

x2x1?t (t?1)，上式化为由lnt?2(t?1)t?14,由（2）知t?1时，lnt?4t?1?2恒成立.

所以在?1,???内不存在t,使得lnt??2成立. t?1综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值伴侣切线” ??????14分

9

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