量子力学试题

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有 。 11．设 为归一化的动量表象下的波函数，则

_______________________________________________。

的物理意义为

12. ______; _______;

_________。

___。

28．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为 。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 19．设体系的状态波函数为

与态矢量

，如在该状态下测量力学量

有确定的值

，则力学量算符

的关系为__________。

20．力学量算符 在态 ____________________________。

下的平均值可写为 的条件为

21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。

21．设粒子处于态

数c的取值为 ， ，

本征值为

的可能值为

， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系

出现的几率为 。

22．原子跃迁的选择定则为 。 23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。

，

24． 为泡利算符，则 ，

。

25． 为自旋算符，则 ，

，

。

26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________， _______________________________。

27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是______________。

27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。

27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态 下，

自旋算符 对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。

27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为

的意义为_____________________；

（已归一化），则

_________________。

二、 问答题

1． 电子在均匀电场

量中哪些是守恒量，为什么？

中运动，哈密顿量为 ，试判断 各

2． 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？

3． 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？

4． 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？ 5． 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？ 6． 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？

7． 什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 8． 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？

9． 什么是斯塔克效应？

10． 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？

11． 量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？

12． 什么是定态？定态有什么性质？

13． 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？ 14． 简述力学量与力学量算符的关系？

15． 轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？ 16． 简述量子力学的五个基本假设。

17． 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 18． 什么是光电效应？光电效应有什么规律？

19． 什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。

20． 简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。 21． 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。 22． 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？

23． 原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？

三、 计算题

1．在 和 的共同表象中，算符 和

的矩阵分别为

，

。

求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 和

对角化。

2． 一维运动粒子的状态是

其中

，求

（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。

（利用公式

）

表象中，

的矩阵表示为

3． 设在

，试用微扰论求能级二级修正。（10分）

其中

4． 在自旋态 5．

中，求

。（10分）

也是厄密算符的条件是

对易。

各是厄密算符。试证明，

6． 在动量表象中角动量 7．求自旋角动量在

的矩阵元和

的矩阵元。 方向的投影

的本征值和所属的本征函数。

8．转动惯量为 ，电偶极矩为

的空间转子处在均匀电场

中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）

（基态波函数

，利用公式

）

9．证明下列关系式：

1．

， 2.

，

为泡利算符，

为动量算符)

3. , 4.

(其中 为角动量算符，

10． 设 均动能。

时，粒子的状态为 ，求此时粒子的平均动量和平

11．

为厄密算符， （ 为单位算符）， 。（1）求算符

的本征值；（2）在A表象下求算符

的矩阵表示。

12． 已知体系的哈密顿量

，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一

化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。

13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。

14．证明下列算符的对易关系。

1．

；

2. (

)

3. 设算符 证明：

与它们的对易式 对易，即： ，

15．设有两个电子，自旋态分别

，

的几率分别为：

，证明两个电子处于自旋单态（ ）及三重态（ ）

（20分）。

16．求自旋角动量在

的本征值和所属的本征函数（20分）。

方向的投影

17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符

是厄密算符；（2）有

；（3）

的本征值为0和1（20分）。

。试证明（1）

18． 设在 表象中， 的矩阵表示为 论求能级二级修正（14分）。

，其中 ，试用微扰

19．证明下列算符的对易关系（24分）：

1．

(

)

2.

3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明：

20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有

两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

21．求证在

均值为

的共同本征态下，角动量沿与z轴成 。

角的方向 的分量 的平

22．证明如算符

有共同的本征函数完备集，则

对易。

23．求

及

的本征值和所属的本征函数。

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