余弦定理练习题(含答案)
更新时间:2023-04-16 06:02:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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余弦定理练习题
1.在△ABC 中,如果BC =6,A B=4,c osB =错误!,那么AC 等于( )
A.6 B.26 C.3\r(6) D.4\r(6)
2.在△AB C中,a =2,b =\r(3)-1,C =30°,则c 等于( )
A .\r(3) B.错误! C .错误! D.2
3.在△ABC 中,a 2=b2+c2+\r(3)b c,则∠A 等于( )
A.60° B.45° C.120° D.150°
4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a2+c2-b 2)tan B =3a c,则∠B 的值为( )
A.错误!
B.错误! C.错误!或错误! D.错误!或错误!
5.在△A BC 中,a、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A等于( )
A .a
B .b
C .c
D .以上均不对
6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
7.已知锐角三角形AB C中,|错误!|=4,|错误!|=1,△ABC 的面积为错误!,则错误!·错误!的值为( )
A .2 B.-2 C.4 D .-4
8.在△ABC 中,b=错误!,c =3,B =30°,则a 为( )
A.错误! B.2错误! C.错误!或2错误! D .2
9.已知△ABC 的三个内角满足2B=A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________. 10.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(错误!-1)∶(错误!+1)∶错误!,求最大角的度数.
11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =5错误!,则边c的值为________.
12.在△A BC 中,sin A ∶sin B∶si n C=2∶3∶4,则cos A ∶c os B ∶cos C =________.
13.在△ABC 中,a =3错误!,cos C =错误!,S △ABC =4错误!,则b =________.
14.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则错误!·错误!的值为________.
15.已知△ABC 的三边长分别是a、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c24
,则角C =________. 16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________.
17.在△ABC 中,BC =a,AC =b ,a,b 是方程x2-2错误!x +2=0的两根,且2cos(A+B )=1,求AB
的长.
18.已知△ABC 的周长为\r(2)+1,且sin A+sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)若△A BC 的面积为错误!sin C ,求角C 的度数.
19.在△AB C中,BC =\r(5),A C=3,sin C=2sin A .(1)求AB的值;(2)求sin (2A-\f(π,4))的值.
20.在△A BC中,已知(a +b +c)(a+b -c)=3ab ,且2cos A s in B =sin C ,确定△ABC 的形状.
余弦定理
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1.解析:选A.由余弦定理,得
AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC co sB
= 错误!=6.
2.解析:选B.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2abcos C
=22+(\r (3)-1)2-2×2×(3-1)co s30°
=2,
∴c = 2.
3.解析:选D.cos ∠A =\f(b 2+c 2-a 2,2bc )=错误!=-错误!,
∵0°<∠A <180°,∴∠A =150°.
4.解析:选D.由(a 2+c 2-b 2)tan B=\r (3)ac ,联想到余弦定理,代入得
cos B =a 2+c 2-b 2
2ac
=错误!·错误!=错误!·错误!. 显然∠B ≠错误!,∴sin B =错误!.∴∠B =错误!或错误!.
5. 解析:选C.a ·错误!+b·错误!=错误!=c .
6. 解析:选A.设三边长分别为a,b ,c且a 2+b 2=c2.
设增加的长度为m,
则c +m >a +m,c +m >b +m ,
又(a +m )2+(b +m )2=a2+b 2+2(a +b )m +2m 2>c 2+2cm +m 2=(c+m )2,
∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.
7.解析:选A.S△ABC =3=\f (1,2)|错误!|·|错误!|·sin A
=12
×4×1×sin A , ∴sin A =错误!,又∵△ABC 为锐角三角形,
∴cos A =错误!,
∴错误!·错误!=4×1×错误!=2.
8.解析:选C.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac c osB,即3=a 2+9-3\r(3)a , ∴a 2-33a +6=0,解得a =\r(3)或2 3. 9. 解析:∵2B =A +C ,A +B +C =π,∴B =\f (π,3).
在△AB D中,
AD =AB 2+BD 2-2AB ·BD cos B
= 错误!=错误!.
答案:错误!
10.解:∵si nA ∶si nB ∶si nC=(错误!-1)∶(错误!+1)∶错误!,
∴a ∶b ∶c =(错误!-1)∶(错误!+1)∶错误!.
设a=(错误!-1)k ,b=(错误!+1)k ,c =错误!k(k>0),
∴c 边最长,即角C 最大.由余弦定理,得
cosC =错误!=-错误!,
又C ∈(0°,180°),∴C =120°.
11. 解析:S =错误!ab sin C ,si nC =错误!,∴C =60°或120°.
∴cos C =±12
,又∵c 2=a 2+b2-2ab cos C , ∴c 2=21或61,∴c =错误!或错误!.
答案:21或错误!
12.解析:由正弦定理a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,
设a=2k (k>0),则b=3k ,c =4k ,
c os B =\f(a 2+c 2-b 2,2ac )=错误!=错误!,
同理可得:cos A =\f(7,8),cos C =-错误!,
∴cos A∶co s B∶cos C=14∶11∶(-4).
答案:14∶11∶(-4)
13.解析:∵cos C =13
,∴s in C=错误!.
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又S △ABC =错误!ab sin C =4错误!, 即12·b ·32·错误!=4错误!, ∴b =23.
答案:2\r(3)
14.解析:在△ABC 中,c os B =\f(AB 2+B C2
-AC 2,2AB ·BC )
=错误!
=\f(19,35),
∴错误!·错误!=|错误!|·|错误!|·cos(π-B )
=7×5×(-错误!)
=-19.
答案:-19
15.解析:12
ab si nC=S=错误!=错误!·错误! =\f (1,2)ab co sC ,∴sin C =c os C ,∴tan C=1,∴C =45°.
答案:45°
16.解析:设三边长为k -1,k ,k +1(k≥2,k∈N ),
则错误!?2<k<4,
∴k =3,故三边长分别为2,3,4,
∴最小角的余弦值为错误!=错误!.
答案:\f(7,8)
17. 解:∵A +B +C =π且2cos(A +B )=1,
∴cos (π-C )=12
,即cos C =-\f(1,2). 又∵a ,b是方程x 2-23x +2=0的两根,
∴a +b=2错误!,ab =2.
∴AB2=AC 2+BC 2-2A C·BC ·c os C
=a 2+b 2-2ab (-错误!)
=a 2+b 2+a b=(a +b )2-a b
=(2错误!)2-2=10,
∴AB =10.
18.解:(1)由题意及正弦定理得
AB +B C+AC =2+1,BC +AC =2AB ,
两式相减,得AB =1.
(2)由△A BC 的面积错误!BC ·A C·si n C =错误!sin C ,得B C·AC =错误!,
由余弦定理得c os C =AC 2+BC 2-AB 2
2AC ·BC
=\f (AC +BC 2-2A C·BC -AB 2,2AC ·BC )=错误!,
所以C=60°.
19. 解:(1)在△A BC 中,由正弦定理AB sin C=B Csin A
, 得AB=\f (sin C,sin A )B C=2BC =2\r(5).
(2)在△ABC中,根据余弦定理,得
c os A=\f (AB 2+AC 2-BC 2,2AB ·AC )=255
, 于是sin A =错误!=错误!.
从而s in 2A =2s in A c os A =\f (4,5),
cos 2A =cos 2 A-sin2 A=\f(3,5).
所以sin(2A-π4)=si n 2A cos π4
-c os 2A si n错误!=错误!.
-- 20.解:由正弦定理,得错误!=错误!.
由2cosAsin B=sin C,有cos A=错误!=错误!.
又根据余弦定理,得
cosA=\f(b2+c2-a2,2bc),所以错误!=错误!,即c2=b2+c2-a2,所以a=b.
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,
所以b=c,所以a=b=c,
因此△ABC为等边三角形.
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