高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9 - 6 抛物线试题 理

第九章 平面解析几何 9.6 抛物线试题 理 北师大版

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质

y2＝2px(p>0) 标准方程 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向

【知识拓展】

O(0,0) y＝0 x＝0 ?p?F?，0? 2???p?F?－，0? ?2?e＝1 ?p?F?0，? ?2?p??F?0，－? ?2?px＝－ 2px＝ 2py＝－ 2py＝ 2x≥0，y∈R 向右 x≤0，y∈R 向左 y≥0，x∈R 向上 y≤0，x∈R 向下 ??2

1．抛物线y＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F?，0?的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线

2?2?

的焦半径．

pp??2

2．y＝ax的焦点坐标为?，0?，准线方程为x＝－.

4?4?

3．设AB是过抛物线y＝2px(p>0)焦点F的弦，

2

aa若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p.

4

2p(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2(α为弦AB的倾斜角)．

sinα(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y＝ax(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线

4方程是x＝－.( × )

4

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )

(4)AB为抛物线y＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，

24

22

p2

2

aapp2

y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )

1．(2016·四川)抛物线y＝4x的焦点坐标是( ) A．(0,2) C．(2,0) 答案 D

B．(0,1) D．(1,0)

2

??2

解析 ∵对于抛物线y＝ax，其焦点坐标为?，0?，

?4?

∴对于y＝4x，焦点坐标为(1,0)．

2．(2016·张掖一诊)过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 答案 B

解析 抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)， 准线方程为x＝－1.

根据题意，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.

2

2

2

a3．设抛物线y＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )

2

?11?A.?－，? ?22?

C．[－1,1] 答案 C

B．[－2,2] D．[－4,4]

解析 Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得kx＋(4k－8)x＋4k＝0，

由Δ＝(4k－8)－4k·4k＝64(1－k)≥0， 解得－1≤k≤1.

2

2

2

2

2

2

222

4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y＝－8x或x＝－y

解析 设抛物线方程为y＝2px(p≠0)或x＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y＝－8x或x＝－y.

5．(2017·合肥月考)已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆x＋y－6x－7＝0相切，则p的值为________． 答案 2

解析 抛物线y＝2px(p>0)的准线为x＝－，

2圆x＋y－6x－7＝0，即(x－3)＋y＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.

又因为抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆x＋y－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

pp

题型一 抛物线的定义及应用

例1 设P是抛物线y＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 答案 4

解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1，

2

则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 引申探究

1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． 解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝4＋2 ＝16＋4＝25，

即|PB|＋|PF|的最小值为25.

2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值． 解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)． 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为所以d1＋d2的最小值为32－1.

思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

(2016·西安市铁一中学模拟)已知点P是抛物线y＝－8x上一点，设P到此抛

物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是( ) A.3 B．23 C．62 D．3 答案 C

解析 ∵抛物线方程是y＝－8x，

∴抛物线的焦点为F(－2,0)，准线方程是x＝2(如图)，

2

2

2

2

2

|1＋5|1＋－

2

2

＝32，

|－2＋0－10|

∴d1＋d2的最小值是焦点F到直线x＋y－10＝0的距离，即(d1＋d2)min＝＝62.

1＋1题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程

x2y22

例2 已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x＝2py(p>0)的焦点

ab到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( ) 832

A．x＝y

3C．x＝8y 答案 D

2

1632

B．x＝y

3D．x＝16y

2

x2y2

解析 ∵2－2＝1的离心率为2，

abcc2a2＋b2b2b∴＝2，即2＝2＝4，∴2＝3，＝3. aaaaab?p?xyx＝2py(p>0)的焦点坐标为?0，?，2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x.由题

a?2?ab2

2

2

p意得21＋

3

＝2，∴p＝8.故C2的方程为x＝16y. 2

2

命题点2 抛物线的几何性质

例3 已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p，x1x2＝；

411(2)＋为定值； |AF||BF|

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．

2由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y＝2px，

2

2

2

p2

pp2

得y＝2p?my＋?，即y－2pmy－p＝0.(*)

2??则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p. 因为y1＝2px1，y2＝2px2，所以y1y2＝4px1x2，

2

y2p4p21y2

所以x1x2＝2＝2＝.

4p4p4

2

2

22

2

2

2

?

p?22

1111(2)＋＝＋ |AF||BF|ppx1＋x2＋22＝

x1＋x2＋p.

pp2

x1x2＋x1＋x2＋

2

4

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

4得

1＋＝2

|AF||BF|pp＋421

|AB|

p2

pAB|－p＋

2

2

＝(定值)．

p4

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，

111

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 222所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的

准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( ) A．2 B．4 C．6 D．8

(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物

2

线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则A.

|MN|

的最大值为( ) |AB|

323 B．1 C. D．2 33

答案 (1)B (2)A

解析 (1)不妨设抛物线C：y＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x＋y＝r(r>0)，如图，

2

2

2

2

又可设A(x0,22)，

?p?D?－，5?， ?2

?

点A(x0,22)在抛物线y＝2px上，∴8＝2px0，① 点A(x0,22)在圆x＋y＝r上，∴x0＋8＝r，②

2

2

2

2

2

2

??222

点D?－，5?在圆x＋y＝r上，

?2?

∴5＋??＝r，③ ?2?

联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B. (2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P， 由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|， 在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. |AB|＝a＋b－2abcos 120° ＝a＋b＋ab＝(a＋b)－ab. 又ab≤(

2

2

2

2

2

2

p?p?2

2

a＋b2

)，

2

132222

所以(a＋b)－ab≥(a＋b)－(a＋b)＝(a＋b)，

44得到|AB|≥

3

(a＋b)， 212

|MN|所以≤

|AB|3

2

a＋b＝a＋b3， 3

即

|MN|3

的最大值为. |AB|3

题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题

例4 已知抛物线C：y＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两→→

点．若MA·MB＝0，则k＝________. 答案 2

解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得kx－(4k＋8)x＋4k＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 8

则x1＋x2＝4＋2，x1x2＝4，

22

2

2

2

k8

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，

ky1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.

→→

因为MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)

＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，

将上面各个量代入，化简得k－4k＋4＝0，所以k＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题

例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

2

2

?1?(1)证明 由题意知，F?，0?，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0， ?2??a??b??1??1?且A?，a?，B?，b?，P?－，a?，Q?－，b?， ?2??2??2??2??1a＋b?. R?－，??2

2?

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

2

2

a－ba－b1abb－0记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝－＝－b＝＝k2. 2＝2

1＋aa－abaa11

－－22

所以AR∥FQ.

(2)解 设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)， 1?11?则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|?x1－?， 2?22?

S△PQF＝

|a－b|

. 2

1?|a－b|?由题意可得|b－a|?x1－?＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)． 2?2?设满足条件的AB的中点为E(x，y)． 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得

2ya＋b2

＝(x≠1)．而＝y，所以y＝x－1(x≠1)． a＋bx－12

当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y＝x－1(x≠1)．

思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．

(2016·北京东城区质检)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4

5

与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.

4(1)求C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、

2

2

M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

82

解 (1)设Q(x0,4)，代入y＝2px，得x0＝.

p8pp8

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

p22pp858

由题设得＋＝×，

2p4p解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程为y＝4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直，

2

故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y＝4x，得y－4my－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中点为D(2m＋1,2m)， |AB|＝m＋1|y1－y2|＝4(m＋1)．

12

又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m＋3.

22

2

2

2

m4222

将上式代入y＝4x，并整理得y＋y－4(2m＋3)＝0.

m设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

42

则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m＋3)．

m222

故MN的中点为E(2＋2m＋3，－)，

mm|MN|＝ 1＋2|y3－y4|＝1

m2＋

m2m2m＋1

，

2

1

由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，

211222

从而|AB|＋|DE|＝|MN|，

44222222

即4(m＋1)＋(2m＋)＋(2＋2)

mm＝

m2＋

2

2

m2＋

m4

，

化简得m－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

7．直线与圆锥曲线问题的求解策略

典例 (12分)已知抛物线C：y＝mx(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2

→→

思维点拨 (3)中证明QA·QB＝0. 规范解答

12

解 (1)∵抛物线C：x＝y，

m1

∴它的焦点F(0，)．[2分]

4m111

(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.[4分]

4m4m4

??y＝mx，

(3)存在，联立方程?

??2x－y＋2＝0，

2

消去y得mx－2x－2＝0，

12

依题意，有Δ＝(－2)－4×m×(－2)>0?m>－.[6分]

2

2

??

设A(x，mx)，B(x，mx)，则?2

x·x＝－.??m1

2

1

2

22

x1＋x2＝，m1

2

2

(*)

∵P是线段AB的中点，∴P(

22

x1＋x2mx1＋mx2

2

，2

)，

111

即P(，yP)，∴Q(，)．[8分]

mmmm1111→→22

得QA＝(x1－，mx1－)，QB＝(x2－，mx2－)，

mmm→→

若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA·QB＝0， 111122

即(x1－)·(x2－)＋(mx1－)(mx2－)＝0，[10分]

mmmm46

结合(*)化简得－2－＋4＝0，

mm12

即2m－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，

2111

而2∈(－，＋∞)，－?(－，＋∞)．

222

∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分]

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；

第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；

第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．

1．(2017·昆明质检)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直→→

线与抛物线C交于A、B两点，如果OA·OB＝－12，那么抛物线C的方程为( ) A．x＝8y C．y＝8x 答案 C

解析 由题意，设抛物线方程为y＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，

2

2

22

B．x＝4y D．y＝4x

2

2

py＝2px，??联立?px＝my＋，?2?

2

消去x得y－2pmy－p＝0，

22

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p，

2

pppmp32→→2

得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝my1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p＝－12

22244

?p＝4，

即抛物线C的方程为y＝8x.

2．已知抛物线y＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 C．x＝2 答案 B

解析 ∵y＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，

2∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，

2即x＝y＋，将其代入y＝2px，得y＝2py＋p，

2即y－2py－p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2p，∴2

22

2

2

2

B．x＝－1 D．x＝－2

ppp222

y1＋y2

2

＝p＝2，

∴抛物线的方程为y＝4x，其准线方程为x＝－1.

3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C：y＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( ) A．y＝4x或y＝8x B．y＝2x或y＝8x C．y＝4x或y＝16x D．y＝2x或y＝16x 答案 C

3p2

解析 ∵抛物线C：y＝3px(p>0)的焦点为F(，0)，

43p∴|OF|＝，

4

∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝ 9p4＋，

16

3p49p4＋

16

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

|OF|

∴sin∠OAF＝＝

|AF|

2，

根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，∴∠OAF＝∠AMF， |AF|

可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝

|MF|

9p4＋，

16

23p49p4＋

16

2，

∵|MF|＝5，|AF|＝

9p4＋

16＝5

22∴

3p49p4＋

16

2

，

9p15p416

整理得4＋＝，解得p＝或p＝，

16433∴C的方程为y＝4x或y＝16x.

4．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则值一定等于( ) A．－4 C．p

2

22

2

y1y2

的x1x2

B．4 D．－p

2

答案 A

解析 ①若焦点弦AB⊥x轴， 则x1＝x2＝，∴x1x2＝；

24∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p， ∴

2

pp2

y1y2

＝－4. x1x2

②若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为y＝k(x－)，

2联立y＝2px，得kx－(kp＋2p)x＋则x1x2＝. 4∴y1y2＝－p.故

2

2

22

2

pp2k2

4

＝0，

p2

y1y2

＝－4. x1x2

2

5．(2016·江西南昌第一次模拟)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是线段PF与C的一个交点，若|FP|＝3|QF|，则|QF|等于( ) 85

A. B. C．3 D．2 32答案 A

解析 如图所示，过点Q作QM⊥l，设l与x轴交于点K，

由抛物线定义知，|MQ|＝|QF|， 由△PMQ∽△PKF，

得|MQ|：|KF|＝|PQ|∶|PF|＝2∶3， 2

所以|QF|＝|MQ|＝|KF|

328＝×4＝， 33故选A.

|PF|2

6．抛物线y＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则的|PA|

最小值是( )

12322A. B. C. D. 2223答案 B

解析 抛物线y＝4x的准线方程为x＝－1， 如图，过P作PN垂直直线x＝－1于N，

2

由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA， 在Rt△PAN中，sin∠PAN＝当

|PN|

， |PA|

|PN||PF|

＝最小时，sin∠PAN最小， |PA||PA|

即∠PAN最小，即∠PAF最大，

此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，

??y＝kx＋联立?2

?y＝4x，?

2

2

，

4

得kx＋(2k－4)x＋k＝0，

2222

所以Δ＝(2k－4)－4k＝0，

解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°， |PF||PN|2＝＝cos∠NPA＝，故选B. |PA||PA|2

7．设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________. 答案 12

2

?3?解析 焦点F的坐标为?，0?，

?4?

方法一 直线AB的斜率为所以直线AB的方程为y＝即y＝

3， 3

3?3??x－?， 3?4?

33173

x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0. 343216

21

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

2213

所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.

22方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 2p3

|AB|＝2＝＝12. 2

sinθsin30°

8．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，→→

与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________. 答案 2

解析 如图， 由AB的斜率为3，

2

→→

知∠α＝60°，又AM＝MB， ∴M为AB的中点．

过点B作BP垂直准线l于点P， 则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°， 1

∴|BP|＝|AB|＝|BM|.

2∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.

2

12

9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y＝8x的焦点重合，

2

pA，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.

答案 6

解析 抛物线y＝8x的焦点为(2,0)， 准线方程为x＝－2.

2

x2y2

设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，

abc1

由题意，c＝2，＝，

a2

可得a＝4，b＝16－4＝12.

2

故椭圆方程为＋＝1.

1612

把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3. 从而|AB|＝6.

10.设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)＋y＝r(r>0)相切于点M，且

2

2

2

2

x2y2

M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．

答案 (2,4) 解析 如图，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

??y1＝4x1，则?2

??y2＝4x2，

2

两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．

当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条． 当k存在时，x1≠x2， 则有y1＋y2y1－y2

·＝2， 2x1－x2

又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k·

y0－0

＝－1， x0－5

即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y＝4x， 得y＝12，则有－23

又y0＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)， 所以4

2

22

2

2

2

2

2

2

11．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于

2

A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(1)求该抛物线的方程；

→→→

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．

解 (1)直线AB的方程是y＝22(x－)，与y＝2px联立，从而有4x－5px＋p＝0.

25p所以x1＋x2＝，由抛物线定义得

45p|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，

4所以p＝4，从而抛物线方程为y＝8x. (2)由于p＝4，则4x－5px＋p＝0， 即x－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4， 于是y1＝－22，y2＝42， 从而B(4,42)．设C(x3，y3)，

→

则OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．

又y3＝8x3，即[22(2λ－1)]＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.

→→2

12．设P，Q是抛物线y＝2px(p>0)上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且OP·OQ＝0.

(1)求该抛物线的标准方程；

(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

2

2

2

2

2

22

p222

解 (1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

∵→OP·→

OQ＝0，则x1x2＋y1y2＝0.

又点P，Q在抛物线上，∴y2

2

1＝2px1，y2＝2px2，

代入得y212p·y22

2p＋y1y2＝0，

y1y2＝－4p2， 2

∴|xy1y2

1x2|＝4p2

＝4p2

.

又|x1x2|＝4， ∴4p2

＝4，p＝1，

∴抛物线的标准方程为y2

＝2x.

(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x＝my＋a，

联立方程组???x＝my＋a，

??

y2

＝2x，

消去x得y2

－2my－2a＝0，

∴???y1＋y2＝2m，

?

?y1y2＝－2a，

①设直线PR与x轴交于点M(b,0)， 则可设直线PR的方程为x＝ny＋b，

并设R(x??y1＋y3＝2n，3，y3)，同理可知，?

??y1y3＝－2b，

②

由①②可得y3＝by. 2a由题意得，Q为线段RT的中点， ∴y3＝2y2，∴b＝2a.

又由(1)知，y1y2＝－4，代入①， 可得－2a＝－4，∴a＝2， ∴b＝4，y1y3＝－8，

∴|PR|＝1＋n|y1－y3| ＝1＋n·22

2

y1＋y3

2

2

－4y1y3

＝21＋n·n＋8≥42. 当n＝0，即直线PR垂直于x轴时， |PR|取最小值42.

13.如图，由部分抛物线：y＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x＋y＝r(x≤0)所组成的曲线称13

为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(－，)．

22

2

2

2

2

(1)求“黄金抛物线C”的方程；

(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

13

解 (1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和(－，)，

2212322

∴r＝(－)＋()＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.

22

∴“黄金抛物线C”的方程为y＝x＋1(x≥0)和x＋y＝1(x≤0)．

(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0， 设直线l：y＝kx＋1，联立?得kx＋(2k－1)x＝0， 1－2k1－k∴xB＝2，yB＝，

22

2

2

2

?y＝kx＋1，?

??y＝x＋1，

2

消去y，

kk1－2k1－k即B(2，)，

kk∴kBQ＝

，

1－2kk??y＝kx＋1，联立?22

?x＋y＝1，?

2

2

消去y，得(k＋1)x＋2kx＝0，

2k1－k2k1－k∴xA＝－2，yA＝2，即A(－2，2)，

k＋1k＋1k＋1k＋11

∴kAQ＝－，

22

k∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0， ∴

k1－2kk1

－＝0，解得k＝－1±2，

由图形可得k＝－1－2应舍去，∴k＝2－1， ∴存在直线l：y＝(2－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.

2k1－k2k1－k∴xA＝－2，yA＝2，即A(－2，2)，

k＋1k＋1k＋1k＋11

∴kAQ＝－，

22

k∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0， ∴

k1－2kk1

－＝0，解得k＝－1±2，

由图形可得k＝－1－2应舍去，∴k＝2－1， ∴存在直线l：y＝(2－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4sd7.html