2018年高三数学课标一轮复习单元质检 七不等式、推理与证明含解
更新时间:2024-07-09 10:53:01 阅读量: 综合文库 文档下载
2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题
单元质检七 不等式、推理与证明
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( )
A.-3
B.1
C.-1
D.3
??≤3,
x+2y的最大值为( ) 2.(2017北京高考)若x,y满足 ??+??≥2,则
??≤??,
A.1 B.3 C.5 D.9
3.甲、乙两人一起到同一粮店买米,共买了2次,两次的价格分别为a,b(a≠b),甲每次买m kg的大米,乙每次买m元钱的大米,甲、乙两人两次买米的平均价格分别为x,y(平均价格等于购米总金额与购米总数之比),则x,y的大小关系是( ) A.x>y C.x=y
B.x D.与m的值有关 1 1 1 2 4.(2017浙江温州瑞安调研)已知a>0,b>0,a+b=??+??,则??+??的最小值为( ) A.4 B.2 2 C.8 D.16 5.(2017山东高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+??< 11 ?? 1 B.?? C.a+?? 6.(2017浙江超级联考)若实数x,y满足不等式组 ??+2??+2≥0,则2|x+1|+y的最大值是( ) 2??-??-1≤0,A.3 14 B.3 19 C.4 D.1 7.(2017浙江诸暨一模)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-2) C.(-6,+∞) B.(-2,+∞) D.(-∞,-6) 1 8.(2017浙江金丽衢十二校二模)设正实数x,y,则|x-y|+??+y2的最小值为( ) 7A.4 33 2B.2 C.2 D. 2 3 1 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 ??-3≤0, ax+y的最大值为10,则实数a=( ) 9.(2017浙江嘉兴一模)已知实数x,y满足 ??-1≥0,若 ??-??+1≥0,A.4 B.3 C.2 D.1 10.已知实数a,b,c.( ) A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100 二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上) 11.已知正实数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为 ,y的取值范围是 . ??≥??, 12.已知整数x,y满足不等式 ??+??>4,则2x+y的最大值是 ,x2+y2的最小值 ??-2??+8>0,是 . 3??-??≤0, 13.(2017浙江宁波十校联考)已知点A(3, 3),O为坐标原点,点P(x,y)满足 ??- 3??+2≥0,则满足条件 ??≥0,的点P所形成的平面区域的面积为 , ????·???? | ????| 的最大值是 . 14.(2017浙江金华调研改编)已知不等式|x+1|-|x-3|>a,若不等式有解,则实数a的取值范围为 ,若不等式的解集为R,则实数a的取值范围为 . 15.(2017浙江湖州测试)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a为 . ??4+4??+1 16.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则????的最小值为 4 . ??,??≥??,17.(2017浙江杭州四校联考)记max{a,b}= 设M=max{|x-y2+4|,|2y2-x+8|},若对一切实数 ??,???,x,y,M≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是 . 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(14分)已知f(x)=??2+6. (1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值; (2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的取值范围. 2?? 2 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 19.(15分)设f(x)=1+??,数列{an}满足a1=2,an+1=f(an),n∈N*. (1)若λ1,λ2为方程f(x)=x的两个不相等的实根,证明:数列 ????-??1 为等比数列; ????-??2 1 1 (2)证明:存在实数m,使得对任意n∈N*,a2n-1 20.(15分)设函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=c|x|+bx+a,对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤. (1)求|f(2)|的最大值; (2)求证:对任意的x∈[-1,1],都有|g(x)|≤1. 12 3 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 21.(15分)(2017浙江台州调研)已知数列{an}满足:an>0,an+1+<2(n∈N*). (1)求证:an+21(n∈N*). 22.(15分)(2017浙江五校联考)已知数列{an}中,满足a1=2,an+1= ??2,记Sn为数列{an}的前n项和. (1)证明:an+1>an; (2)证明:an=cos π3·2??-1 1 ??+11 ???? ; 4 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 (3)证明:Sn>n-54. 答案: 27+π2 1.A 由题意,得集合A={x|-1 2.D 如图,画出可行域, z=x+2y表示斜率为-2的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D. 3.A 由题意可得x=2??????+???? ??+?? 2?? 2???? 1 =2,y=????=??+??. ??+??∵a≠b,a,b>0,∴∴x>y.故选A. ??+??2> ????,??+??< 2???? 2????2 ????= ????. 4.B 由a>0,b>0,a+b=??+??=????,得ab=1, 则??+??≥2 ??·=2 2,当且仅当??=??,即a=2,b= 2时等号成立.故选B. ??5.B 因为a>b>0,且ab=1,所以a>1,0log22 ????=1.所以2 ??+ 111 ??>a+>a+b?a+>log2(a+b).故选 11??+?? 121212 2??2????B. 6.B 题中不等式组表示的可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(-2,0),B 3,3 ,C(0,-1),因此当x≥-1,z=2x+2+y过点B时取最大值3;当x<-1,z=-2x-2+y过点A时取最大值2;综上2|x+1|+y的最大值是3.故选B. 19 45 19 5 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 7.A 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4), ∴g(x) 11 ∴|x-y|+??+y2=|x-y|+ ?? +|y2|≥ 1 1 1 ??-?? 1 +??+??2 = 12 ??-2 + ??+?? -4 ≥ 2-4 =4. 1117 当且仅当y=2,x=??,即x=1,y=2时取等号.故选A. 9.C 画出满足条件的平面区域,如图所示. ??=3,解得A(3,4), 由 ??-??+1=0, 令z=ax+y,因为z的最大值为10, 所以直线在y轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10), 所以z=ax+y与可行域有交点,当a>0时,直线经过A时z取得最大值. 即ax+y=10,将A(3,4)代入得 3a+4=10,解得a=2. 当a≤0时, 直线经过A时z取得最大值. 即ax+y=10,将A(3,4)代入得 3a+4=10,解得a=2.与a≤0矛盾,综上a=2. 10.D (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110, 则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1. 而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立; 选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1. 而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立; 选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1. 而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D. 11.8 (1,+∞) ∵正实数x,y满足x+2y-xy=0, 6 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 11??+2??2 ∴x+2y=2×2xy≤2× 2 ,化为(x+2y)(x+2y-8)≥0,解得 x+2y≥8,当且仅当 2?? >0, ??-1 y=2,x=4时取等号.则x+2y的最小值为8.由正实数x,y满足x+2y-xy=0,∴x= ∴y(y-1)>0,解得y>1.∴y的取值范围是(1,+∞). ??≥??, 12.24 8 由约束条件 ??+??>4,作出可行域如图, ??-2??+8>0 由z=2x+y,得y=-2x+z,由图可知,当直线y=-2x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大, ??=??, 可得 ??=8,所以A点坐标为(8,8). 由 ??=8,??-2??+8=0z最大值为2×8+8=24. x2+y2的最小值是可行域的点B到原点距离的平方, 由 ??+??=4,可得B(2,2).可得22+22=8. ??=?? 13. 3 3 不等式组表示的可行域是以B(-2,0),O(0,0),C(1, 3)为顶点的三角形区域(含边界)图略,其面积为2×2× 3= 3. 设向量 ????与 ????的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°. 又 3 ????·???? 1 | ????| ????·???? =| ????|cosθ,要使 取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cos??≤ |????| 3 ,1≤|????|≤2,且cosθ取到最大值时,| ????|也取到最大值2, 22故 ????·???? | ????| 的最大值为2×2= 3. 314.(-∞,4) (-∞,-4) 由||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1)若不等式有解,则a<4; (2)若不等式的解集为R,则a<-4. 7 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 -3??+2??-1,???, 15.-6或4 ∵函数f(x)=|x+1|+2|x-a|,故当a<-1时,f(x)= ??-2??-1,??≤??<-1, 3??-2??+1,??≥-1, 根据它的最小值为f(a)=-3a+2a-1=5,求得a=-6. 当a=-1时,f(x)=3|x+1|,它的最小值为0,不满足条件. -3??+2??-1,??<-1, 当a≥-1时,f(x)= -??+2??+1,-1≤???, 3??-2??+1,??≥??, 根据它的最小值为f(a)=a+1=5,求得a=4. 综上可得,a=-6或a=4. 16.4 因为a,b∈R,且 ??4+4??+1 ab>0,所以???? 4 ≥ 4??2??+11 =4ab+???????? 1 2 ≥2 4????·=4.前一 ???? 1 个等号成立条件是a2=2b2,后一个等号成立的条件是ab=2,两个等号可以同时取得,则当且仅当a2=2,b2=4时取等号 17.[1- 7,1+ 7] 由题意得,M≥|x-y2+4|,M≥|2y2-x+8|,两式相加,∴2M≥|y2+12|≥12, ??=2,??-??2+4=2??2-??+8,即M≥6,当且仅当 ? 时等号成立, ??=0??=0 2 2 ∴m2-2m≤6?1- 7≤m≤1+ 7,即实数m的取值范围是[1- 7,1+ 7]. 18.解(1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0, 由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2}, 得x1=-3,x2=-2是关于x的方程kx2-2x+6k=0的两根,则-2-3=??,解得k=-5. (2)∵x>0,∴f(x)=??2+6= 2?? 6≤6(当且仅当x= 6时,等号成立), ??+??22 2 6又已知f(x)≤t对任意x>0恒成立, ∴实数t的取值范围是 6,+∞ . 19.证明(1)f(x)=x?x2+x-1=0, 22??1+??1-1=0,1-??1=??1,∴ 2∴ ??2+??2-1=0,1-??2=??2.2 6∵ ????+1-??1????+1-??2??1-??1??1-??2 = 1 -??1+????11-??1+????2 = 1-??1-??1???? 1-??2-??2???? = ??1-??1??????2-??2???? 22 =??1·?? ????-??1, 2????-??2 又 ≠0,??1≠0,∴数列 2 ?? ????-??1 为等比数列. ????-??2 8 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 (2)设m=2,则f(m)=m. 由a1=2及an+1=1+??得a2=3,a3=5,a4=8. ?? 5-1 11235 ∴a1 下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,a2n-1 ②假设当n=k时,命题成立,即a2k-1 由f(x)在区间(0,+∞)上递减,得f(a2k-1)>f(a2k+1)>f(m)>f(a2k+2)>f(a2k), ∴a2k>a2k+2>m>a2k+3>a2k+1, 由m>a2k+3>a2k+1,得f(m) ∴m ∴当n=k+1时,命题也成立. 由①②知,对一切n∈N*命题成立,即存在实数m,使得对???∈N*,??2??-1 20.(1)解∵对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤2, |f(0)|≤2,|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2, 11 1 1 1 ∴|c|≤2,|a+b+c|≤2,|a-b+c|≤2; ∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|≤|3(a+b+c)|+|(a-b+c)|+|-3c|≤2+2+ 323 1 11 =2. 7 ∴|f(2)|的最大值为2. (2)证明∵-2≤a+b+c≤2,-2≤a-b+c≤2,-2≤c≤2, 1 11 11 1 7 ∴-1≤a+b≤1,-1≤a-b≤1,∴-1≤a≤1, 若c|x|+bx=0,则|g(x)|=|a|,∴|g(x)|≤1, 若c|x|+bx≠0,则g(x)为单调函数, |g(-1)|=|a-b+c|≤2,|g(1)|=|a+b+c|≤2, 1 1 ∴|g(x)|≤2.综上,|g(x)|≤1. 21.证明(1)由an>0,an+1+??<2, ?? 1 1 9 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 1 1 ??所以an+1<2-??<2,因为2>an+2+???? ??+1 ≥2 ????+2, ??+1 所以an+2 (2)假设存在aN≤1(N≥1,N∈N*), 由(1)可得当n>N时,an≤aN+1<1, ?? 因为an+1-1<1-??=??<0,而an<1, ???? 1??-1 所以于是 11 ????+1-1????+2-1 > ????1=1+. ????-1????-1 1????+1-1 >1+, …… 1????+??-1 >1+ 1????+??-1-11 . 1????+1-1 累加可得 ????+??-1 >n-1+ .(*) 由(1)可得aN+n-1<0, 而当n>-因此有 1????+1-11 +1时,显然有n-1+ 1????+1-1 1????+1-1 >0, ????+??-1 22.证明(1)因2????+1-2????=an+1-2????=(1-an)(1+2an), 故只需要证明an<1即可. 下用数学归纳法证明: 当n=1时,a1=2<1成立, 假设n=k时,ak<1成立, 那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1 1 < 2=1, π 1+1 所以综上所述,对任意的正整数n,an<1. (2)用数学归纳法证明an=cos当n=1时,a1=2=cos3成立, 假设n=k时,ak=cos π3·2 ??-1 3·2 ??-1 . 1π , 10 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1 = π cos π+1??-1π3·2=cos 23·2??. 所以综上所述,对任意n,an=cos(3)2=1-故 ?? 3·2 ??-1 . π3·2 ??-1 1-????-1????-1+122 =1-????=sin 2 π3·2 ??-1 < ,得an-1>1- 2 2π2 ??-1 9·4 . 2??2112??2 Sn>∑ 1-i +2=n-2?99·4??=2 × 41127+??2 × 1-n-1 >n-54. 3164 11 2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题 那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1 = π cos π+1??-1π3·2=cos 23·2??. 所以综上所述,对任意n,an=cos(3)2=1-故 ?? 3·2 ??-1 . π3·2 ??-1 1-????-1????-1+122 =1-????=sin 2 π3·2 ??-1 < ,得an-1>1- 2 2π2 ??-1 9·4 . 2??2112??2 Sn>∑ 1-i +2=n-2?99·4??=2 × 41127+??2 × 1-n-1 >n-54. 3164 11
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