2018年高三数学课标一轮复习单元质检 七不等式、推理与证明含解

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2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

单元质检七 不等式、推理与证明

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( )

A.-3

B.1

C.-1

D.3

??≤3,

x+2y的最大值为( ) 2.(2017北京高考)若x,y满足 ??+??≥2,则

??≤??,

A.1 B.3 C.5 D.9

3.甲、乙两人一起到同一粮店买米,共买了2次,两次的价格分别为a,b(a≠b),甲每次买m kg的大米,乙每次买m元钱的大米,甲、乙两人两次买米的平均价格分别为x,y(平均价格等于购米总金额与购米总数之比),则x,y的大小关系是( ) A.x>y C.x=y

B.x

D.与m的值有关

1

1

1

2

4.(2017浙江温州瑞安调研)已知a>0,b>0,a+b=??+??,则??+??的最小值为( ) A.4

B.2 2 C.8

D.16

5.(2017山东高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+??<

11

??

1

B.??1

C.a+????-2??+2≥0,

6.(2017浙江超级联考)若实数x,y满足不等式组 ??+2??+2≥0,则2|x+1|+y的最大值是( )

2??-??-1≤0,A.3

14

B.3 19

C.4 D.1

7.(2017浙江诸暨一模)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-2) C.(-6,+∞)

B.(-2,+∞) D.(-∞,-6)

1

8.(2017浙江金丽衢十二校二模)设正实数x,y,则|x-y|+??+y2的最小值为( )

7A.4

33 2B.2 C.2 D. 2

3

1

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

??-3≤0,

ax+y的最大值为10,则实数a=( ) 9.(2017浙江嘉兴一模)已知实数x,y满足 ??-1≥0,若

??-??+1≥0,A.4

B.3

C.2

D.1

10.已知实数a,b,c.( )

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100

二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)

11.已知正实数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为 ,y的取值范围是 . ??≥??,

12.已知整数x,y满足不等式 ??+??>4,则2x+y的最大值是 ,x2+y2的最小值

??-2??+8>0,是 .

3??-??≤0,

13.(2017浙江宁波十校联考)已知点A(3, 3),O为坐标原点,点P(x,y)满足 ??- 3??+2≥0,则满足条件

??≥0,的点P所形成的平面区域的面积为 ,

????·????

| ????|

的最大值是 .

14.(2017浙江金华调研改编)已知不等式|x+1|-|x-3|>a,若不等式有解,则实数a的取值范围为 ,若不等式的解集为R,则实数a的取值范围为 .

15.(2017浙江湖州测试)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a为 .

??4+4??+1

16.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则????的最小值为 4

.

??,??≥??,17.(2017浙江杭州四校联考)记max{a,b}= 设M=max{|x-y2+4|,|2y2-x+8|},若对一切实数

??,??

三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(14分)已知f(x)=??2+6.

(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值; (2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的取值范围.

2??

2

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

19.(15分)设f(x)=1+??,数列{an}满足a1=2,an+1=f(an),n∈N*. (1)若λ1,λ2为方程f(x)=x的两个不相等的实根,证明:数列

????-??1

为等比数列; ????-??2

1

1

(2)证明:存在实数m,使得对任意n∈N*,a2n-1

20.(15分)设函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=c|x|+bx+a,对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤. (1)求|f(2)|的最大值;

(2)求证:对任意的x∈[-1,1],都有|g(x)|≤1.

12

3

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

21.(15分)(2017浙江台州调研)已知数列{an}满足:an>0,an+1+<2(n∈N*). (1)求证:an+21(n∈N*).

22.(15分)(2017浙江五校联考)已知数列{an}中,满足a1=2,an+1= ??2,记Sn为数列{an}的前n项和. (1)证明:an+1>an; (2)证明:an=cos

π3·2??-1

1

??+11

????

;

4

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

(3)证明:Sn>n-54. 答案:

27+π2

1.A 由题意,得集合A={x|-1

2.D 如图,画出可行域,

z=x+2y表示斜率为-2的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.

3.A 由题意可得x=2??????+????

??+??

2??

2????

1

=2,y=????=??+??.

??+??∵a≠b,a,b>0,∴∴x>y.故选A.

??+??2> ????,??+??<

2????

2????2 ????= ????.

4.B 由a>0,b>0,a+b=??+??=????,得ab=1,

则??+??≥2 ??·=2 2,当且仅当??=??,即a=2,b= 2时等号成立.故选B.

??5.B 因为a>b>0,且ab=1,所以a>1,0log22 ????=1.所以2

??+

111

??>a+>a+b?a+>log2(a+b).故选

11??+??

121212 2??2????B.

6.B 题中不等式组表示的可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(-2,0),B 3,3 ,C(0,-1),因此当x≥-1,z=2x+2+y过点B时取最大值3;当x<-1,z=-2x-2+y过点A时取最大值2;综上2|x+1|+y的最大值是3.故选B.

19

45

19

5

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

7.A 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),

∴g(x)0,y>0,

11

∴|x-y|+??+y2=|x-y|+ ?? +|y2|≥

1

1

1

??-??

1

+??+??2

=

12 ??-2

+ ??+?? -4 ≥ 2-4 =4.

1117

当且仅当y=2,x=??,即x=1,y=2时取等号.故选A.

9.C 画出满足条件的平面区域,如图所示. ??=3,解得A(3,4), 由

??-??+1=0,

令z=ax+y,因为z的最大值为10,

所以直线在y轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10),

所以z=ax+y与可行域有交点,当a>0时,直线经过A时z取得最大值. 即ax+y=10,将A(3,4)代入得 3a+4=10,解得a=2. 当a≤0时,

直线经过A时z取得最大值. 即ax+y=10,将A(3,4)代入得

3a+4=10,解得a=2.与a≤0矛盾,综上a=2.

10.D (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,

则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1. 而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立; 选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1. 而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;

选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1. 而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D. 11.8 (1,+∞) ∵正实数x,y满足x+2y-xy=0,

6

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

11??+2??2

∴x+2y=2×2xy≤2× 2 ,化为(x+2y)(x+2y-8)≥0,解得

x+2y≥8,当且仅当

2??

>0, ??-1

y=2,x=4时取等号.则x+2y的最小值为8.由正实数x,y满足x+2y-xy=0,∴x=

∴y(y-1)>0,解得y>1.∴y的取值范围是(1,+∞). ??≥??,

12.24 8 由约束条件 ??+??>4,作出可行域如图,

??-2??+8>0

由z=2x+y,得y=-2x+z,由图可知,当直线y=-2x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大,

??=??,

可得 ??=8,所以A点坐标为(8,8). 由

??=8,??-2??+8=0z最大值为2×8+8=24.

x2+y2的最小值是可行域的点B到原点距离的平方, 由

??+??=4,可得B(2,2).可得22+22=8.

??=??

13. 3 3 不等式组表示的可行域是以B(-2,0),O(0,0),C(1, 3)为顶点的三角形区域(含边界)图略,其面积为2×2× 3= 3.

设向量 ????与 ????的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°. 又

3 ????·????

1

| ????|

????·????

=| ????|cosθ,要使 取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cos??≤

|????|

3 ,1≤|????|≤2,且cosθ取到最大值时,| ????|也取到最大值2,

22故

????·????

| ????|

的最大值为2×2= 3.

314.(-∞,4) (-∞,-4) 由||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.

(1)若不等式有解,则a<4;

(2)若不等式的解集为R,则a<-4.

7

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

-3??+2??-1,??

15.-6或4 ∵函数f(x)=|x+1|+2|x-a|,故当a<-1时,f(x)= ??-2??-1,??≤??<-1,

3??-2??+1,??≥-1,

根据它的最小值为f(a)=-3a+2a-1=5,求得a=-6. 当a=-1时,f(x)=3|x+1|,它的最小值为0,不满足条件. -3??+2??-1,??<-1,

当a≥-1时,f(x)= -??+2??+1,-1≤??

3??-2??+1,??≥??,

根据它的最小值为f(a)=a+1=5,求得a=4. 综上可得,a=-6或a=4. 16.4 因为a,b∈R,且

??4+4??+1

ab>0,所以????

4

4??2??+11

=4ab+????????

1

2

≥2 4????·=4.前一

????

1

个等号成立条件是a2=2b2,后一个等号成立的条件是ab=2,两个等号可以同时取得,则当且仅当a2=2,b2=4时取等号

17.[1- 7,1+ 7] 由题意得,M≥|x-y2+4|,M≥|2y2-x+8|,两式相加,∴2M≥|y2+12|≥12,

??=2,??-??2+4=2??2-??+8,即M≥6,当且仅当 ? 时等号成立,

??=0??=0

2

2

∴m2-2m≤6?1- 7≤m≤1+ 7,即实数m的取值范围是[1- 7,1+ 7]. 18.解(1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0,

由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2},

得x1=-3,x2=-2是关于x的方程kx2-2x+6k=0的两根,则-2-3=??,解得k=-5. (2)∵x>0,∴f(x)=??2+6=

2??

6≤6(当且仅当x= 6时,等号成立), ??+??22

2 6又已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,

∴实数t的取值范围是 6,+∞ . 19.证明(1)f(x)=x?x2+x-1=0,

22??1+??1-1=0,1-??1=??1,∴ 2∴ ??2+??2-1=0,1-??2=??2.2

6∵

????+1-??1????+1-??2??1-??1??1-??2

=

1

-??1+????11-??1+????2

=

1-??1-??1????

1-??2-??2????

=

??1-??1??????2-??2????

22

=??1·??

????-??1, 2????-??2

≠0,??1≠0,∴数列

2

??

????-??1 为等比数列. ????-??2

8

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

(2)设m=2,则f(m)=m.

由a1=2及an+1=1+??得a2=3,a3=5,a4=8.

??

5-1

11235

∴a1

下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,a2n-1

②假设当n=k时,命题成立,即a2k-1

由f(x)在区间(0,+∞)上递减,得f(a2k-1)>f(a2k+1)>f(m)>f(a2k+2)>f(a2k), ∴a2k>a2k+2>m>a2k+3>a2k+1,

由m>a2k+3>a2k+1,得f(m)

∴m

∴当n=k+1时,命题也成立.

由①②知,对一切n∈N*命题成立,即存在实数m,使得对???∈N*,??2??-1

20.(1)解∵对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤2, |f(0)|≤2,|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2,

11

1

1

1

∴|c|≤2,|a+b+c|≤2,|a-b+c|≤2; ∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|≤|3(a+b+c)|+|(a-b+c)|+|-3c|≤2+2+

323

1

11

=2.

7

∴|f(2)|的最大值为2.

(2)证明∵-2≤a+b+c≤2,-2≤a-b+c≤2,-2≤c≤2,

1

11

11

1

7

∴-1≤a+b≤1,-1≤a-b≤1,∴-1≤a≤1, 若c|x|+bx=0,则|g(x)|=|a|,∴|g(x)|≤1, 若c|x|+bx≠0,则g(x)为单调函数, |g(-1)|=|a-b+c|≤2,|g(1)|=|a+b+c|≤2,

1

1

∴|g(x)|≤2.综上,|g(x)|≤1. 21.证明(1)由an>0,an+1+??<2,

??

1

1

9

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

1

1

??所以an+1<2-??<2,因为2>an+2+????

??+1

≥2 ????+2, ??+1

所以an+2

(2)假设存在aN≤1(N≥1,N∈N*), 由(1)可得当n>N时,an≤aN+1<1,

??

因为an+1-1<1-??=??<0,而an<1,

????

1??-1

所以于是

11

????+1-1????+2-1

>

????1=1+. ????-1????-1

1????+1-1

>1+, ……

1????+??-1

>1+

1????+??-1-11

.

1????+1-1

累加可得

????+??-1

>n-1+

.(*)

由(1)可得aN+n-1<0, 而当n>-因此有

1????+1-11

+1时,显然有n-1+

1????+1-1

1????+1-1

>0,

????+??-1

1(n∈N*). 222

22.证明(1)因2????+1-2????=an+1-2????=(1-an)(1+2an), 故只需要证明an<1即可. 下用数学归纳法证明: 当n=1时,a1=2<1成立, 假设n=k时,ak<1成立, 那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1

1

< 2=1,

π

1+1

所以综上所述,对任意的正整数n,an<1. (2)用数学归纳法证明an=cos当n=1时,a1=2=cos3成立, 假设n=k时,ak=cos

π3·2

??-1

3·2

??-1

.

, 10

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1

=

π

cos

π+1??-1π3·2=cos

23·2??.

所以综上所述,对任意n,an=cos(3)2=1-故

??

3·2

??-1

.

π3·2

??-1

1-????-1????-1+122

=1-????=sin

2

π3·2

??-1

< ,得an-1>1-

2

2π2

??-1

9·4

.

2??2112??2

Sn>∑ 1-i +2=n-2?99·4??=2

×

41127+??2

× 1-n-1 >n-54. 3164

11

2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题

那么当n=k+1时,ak+1= ??2??+1

=

π

cos

π+1??-1π3·2=cos

23·2??.

所以综上所述,对任意n,an=cos(3)2=1-故

??

3·2

??-1

.

π3·2

??-1

1-????-1????-1+122

=1-????=sin

2

π3·2

??-1

< ,得an-1>1-

2

2π2

??-1

9·4

.

2??2112??2

Sn>∑ 1-i +2=n-2?99·4??=2

×

41127+??2

× 1-n-1 >n-54. 3164

11

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/4s2.html

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