2018届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次模拟考试数学（理）试

2018年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

年 份（届） 学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数x 被清华、北大等世界名校录取的学生人数y

2014 51 103 2015 49 96 2016 55 108 2017 57 107 第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)

1．设集合A?{x|2x?4}，集合B?{x|y?lg?x?1?}，则A?B?

A. ?1,2?

2

B. ?1,2? C. ?2,???

xD. ?1,???

2．下列函数中，既是偶函数又在区间?0,1?内单调递减的是

A.y?x A. 4

B.y?cosx B. 5

C.y?2 C. 9

D.y?lnx D. 18

3．设Sn是等差数列?an?的前n项和,若a3?a11?18,S3??3,那么a5等于 4．已知OA?cos15?,sin15?， OB?cos75?,sin75?，则AB?

A. 2 5. 过原点且倾斜角为

B. 3 22?为1.35，??a??bx?中的b根据上表可得回归方程y我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖

及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为 A. 111 B. 117 C. 118 D.123

x2y211．已知F1、F2为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，

ab直线PF1与圆x?y?a相切，且PF2?F1F2，则双曲线C的离心率为

222????

C. 2

D. 1

?31045 B. C. D. 2 333212. 设函数f(x)?lnx?ax?bx，若x?1是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值

A. 范围是

A. ???，?

的直线被圆x?y?4y?0所截得的弦长为

A. 3 B. 2 C. 6 D. 23 6．设l,m是两条不同的直线， ?,?是两个不同的平面，给出下列条件， 其中能够推出l∥m的是

A. l∥?，m⊥?，?⊥? C. l∥?，m∥?，?∥?

B. l⊥?，m⊥?，?∥? D. l∥?，m∥?，?⊥?

??1?2?B. ???， 1? C. ?1，???

D. ?，???

?1?2??第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知正方形ABCD边长为2, M是CD的中点,则AM?BD= .

7．函数y?loga?x?3??1（a?0且a?1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx?ny?1?0 上，其中m?0,n?0，则mn的最大值为

11 C. 848. 设Sn是数列?an?的前n项和，若Sn?2an?3，则Sn?

A.

1 16n B. D.

1 2?y?1?14.若实数x,y满足?x?y?1，则2x?y的最大值为 .

?y?x?1?15.直线l与抛物线y?4x相交于不同两点A、B,若M(x0,4）是AB中点，则直线l的 斜率k? .

16.已知锐角?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角?A2B2C2的三个内角的正弦值, 其中A2? 2 A. 2?1 B. 2?1 C. 3?2n?3 D. 3?2n?1

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 A. 4 B. 2

n?14 C.

32D.

3?2,若B2C2?1,则22A2B2?3A2C2的最大值为 .

10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、

实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响 应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

1

1第

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分12分)

已知函数f(x)?3sin2x?sinxcosx.

18. (本小题满分12分)

某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数

将学生日均课外体育锻炼时间在?40,60?的学生评价为“课外体育达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2?2列联表； 男 女 合计 课外体育不达标 课外体育达标 20 合计 110 ???（1）当x??0,?时，求f(x)的值域；

?3?A3（2）已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,f()?,a?4,b?c?5，

22求?ABC的面积.

?0,10? ?10,20? ?20,30? ?30,40? ?40,50? ?50,60? 20 36 44 50 40 10

（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”

与性别有关？

n(ad?bc)22参考公式K?,其中n?a?b?c?d

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)PK2?k 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ??k

2第

1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. (本小题满分12分)

如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?120?且AC?BC?AA1?2，E是棱CC1上动21. (本小题满分12分)

2(0)已知函数点，F是AB中点.

（1）当E是CC1中点时，求证：CF//平面AEB1； （2）在棱CC?1上是否存在点E，使得平面AEB1与平面ABC所成锐二面角为

6，

若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.

C 1 A1B1 E C AFB

20. (本小题满分12分)

x2y2已知F是椭圆6?2?1的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点.

（1）若x1?x2?3，求AB弦长；

（2）O为坐标原点,?AOB??,满足3OA?OBtan??46，求直线l的方程.

f(x)?ln(ax?2)?1?xx?. （1）当a?2时，求f(x)的最小值；（2）若f(x)?2ln2?1恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)

在极坐标系中，曲线C31的方程为?2?1?2sin2?，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面?直角坐标系，曲线C?x?232的方程为???2t（t为参数）. ???

y?12t（1）求曲线C1的参数方程和曲线C2的普通方程；（2）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值.

23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分) 已知函数f(x)?2x?a?x?2.

（1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集；

（2）当a?2时，函数f(x)的最小值为t，1m?14n??t (m?0,n?0)，求m?n的最小值.

3第

2018哈三中第一次模拟考试理科数学答案

一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B D D B A C D B C A

二、填空题

13. 2 14. 5 15.1 2 16. 10 三、解答题

17．（1）题意知，由f(x)?3sin2x?sinxcosx?sin(2x??33)?2 ∵x????0,??3??，∴2x??3??????3,??3??，∴sin(2x??3)????3,3??22? ? 可得f(x)???0,3??

（2）∵f(A2)?32，∴sin(A??3)?0，∵A??0,??可得A??3

∵a?4,b?c?5，

∴由余弦定理可得16?b2?c2?bc?(b?c)2?3bc?25?3bc ∴bc?3 ∴S?13?ABC2bcsinA?34 18. (1)

课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 (2) K2?200(60?20?30?90)2200150?50?90?110?33?6.060?6.635 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.

19.（1）取AB1中点G，连结EG、FG，则FG∥BB1且FG?12BB1. 因为当E为CC11中点时，CE∥BB1且CE?2BB1， 所以FG∥CE且FG?CE.

C1所以四边形CEGF为平行四边形，CF∥EG， A1B又因为CF?平面AEB1，EG?平面AEB11， 所以CF//平面AEB1；

E（2）假设存在满足条件的点E，设CE???0???1?.

以F为原点，向量FB、FC、AA1方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系C. 则A??3,0,0?，B1?3,0,2?，E?0,1,??，平面ABC的法向量Am??0,0,1?， B平面AEB1的法向量n??3，3??3,?3?，cosm，n?m?nFmn?33?9?9???1?2?32，解得??1，所以存在满足条件的点E，此时CE?1.

20.(1)?x2?3y2?6 ??k(x?2)?(3k2?1)x2?12k2x?12k2?6?0?y x1?x2?3?k2?1?AB?6

(2) 3OA?OBtan??46?S6?AOB?233

?x?2,y??3?x?2?

21. f?(x)?ax2?a?4(ax?2（)x?1）2，x?0 （1）当a?2时f?(x)?x2?1（x?1）3,f(x)min?f(1)?2ln2?1 （2）x?0?a?0

①a?0时, f(1)?ln2?1?2ln2?1不成立

②a?4时, f?(x)?0,f(x)在(0,??)递增, f(x)?f(0)?ln2?2?2ln2?1成立

③0?a?4时, f(x)在(0,4?aa)递减, (4?aa,??)递增 f(x)min?f(4?a4?a2a)?ln（aa?2）?4?a

a?14第

设4?aa?t?0?a?44?a4t2t2?1,f(x)min?f(a)?g(t)?ln（t2?1?2）?t?1 )??4t2g?(t(t?1)2(t2?1)?0,所以g(t)在(0,??)递减,又g(1)?2ln2?1

所以0?t?1?4?aa?1?2?a?4 综上: a?2

22. （1）曲线C??x?3cos?1的参数方程为C1:?y?sin?（?为参数）

?? 曲线C2的普通方程为x?3y?2?0

（2）设曲线C1上任意一点P(3cos?,sin?)，点P到x?3y?2?0的距离

? d?3cos??3sin??26cos(??4)?22?2 ∵?6?2?6cos(???4)?2?6?2 ∴0?d?6?22 所以曲线C6?21上的点到曲线C2的距离的最大值为 223 ． （ 1

）当a?1时，不等式为2x?1?x?2?0?2x?1?x?2

两边平方得4(x?1)2?(x?2)2，解得x?4或x?0 ∴f(x)?0的解集为???,0???4,???

?6?x,x （2）当a?2时，f(x)?2x?2?x?2????2,?2?3x,?2?x?2，可得t??4，

??x?6,x?2 ∴1m?14n?4(m?0,n?0) ∴m?n?1?11?4(m?n)??m?4n??

?1?5nm?1?5?94??4?m?4n???4??4?1???16

当且仅当m?2n，即n?316，m?38时取等号.

5第

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