2014高考数学教与练特训秘籍1
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2014高考数学教与练特训秘籍1
一、一元二次函数图象与性质:(学生画出函数图象,写出函数性质) 二.高考题热身
1.若不等式x+ax+1?0对于一切x?(0,1〕成立,则a的取值范围是( )
22
A.0 B. –2 C.-2 D.-3 2.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1 A.f(x1) (A)2x?y?2?0 (B)3x?y?3?0 (C)x?y?1?0 (D)x?y?1?0 ?3.设a?0,f(x)?ax2?bx?c,曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为??0,4?, ??25?则点P到曲线y?f(x)对称轴距离的取值范围是( ) 1?b??1? D.?0,b?1? ] C.?0,A.?0,? B.[0,??2a?2a?2??2a???4.设b?0,二次函数y?ax2?bx?a2?1的图像为下列之一( ) 则a的值为 (A)1 (B)?1 (C)?1?52 (D)?1?52 ?|x?2|?2?25.不等式组?log2(x?1)?1的解集为 ( ) (A) (0, 3); 2(B) (3,2); (C) (3,4); (D) (2,4)。 6.一元二次方程ax?2x?1?0,(a?0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是:( ) A.a?0 2B.a?0 C.a??1 D.a?1 17. 已知方程(x?2x?m)(x2?2x?n)?0的四个根组成一个首项为4的等差数列,则 m?n?( ) A 1 B 3 C 1 D 3 428高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识! 28.已知A??x||2x?1|?3?,B??x|x?x?6?,A?B?( ) A.??3,?2???1,2? B.??3,?2???1,??? C. ??3,?2???1,2? D.???,?3???1,2? 2??(x?1),x?1f(x)??9. 设函数 ,则使得f(x)?1的自变量x的取值范围为 ( ) ??4?x?1,x?1 A.???,?2???0,10? B.???,?2???0,1? C.???,?2???1,10? D.[?2,0]??1,10? 29.函数f(x)?x?2ax?3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是( ) A. a?(??,1] B. a?[2,??) C. a?[1,2] D. a?(??,1]?[2,??) 10.已知函数f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为 A.f(x)?(x?1)2?3(x?1) C. D. B.f(x)?2(x?1) ( ) f(x)?2(x?1)2 f(x)?x?1 11. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( ) A.f(sin?) 66C.f(cos2?) 3312.命题p:若a、b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件; 命题q:函数y=|x?1|?2的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞).则( ) A.“p或q”为假 B.“p且q”为真 C.p真q假 22D.p假q真 13. .已知关于x的方程x-(2 m-8)x +m-16 = 0的两个实根 x1、x2满足 实数m的取值范围_______________.{m|?1?m?7} 22x<3<x,则 21214.已知a,b为常数,若f(x)?x2?4x?3,f(ax?b)?x2?10x?24,则5a?b= 2 。 15.设函数f(x)=x2+mx+n,g(x)?6x?1x2若不等式0?f(x)?g??x?的解集为{x|2≤x≤3或x=6},求m,n 2的值. 三.典型例题 例1.作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x+1); 解:(1)当x≥2时,即x-2≥0时, 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识! 当x<2时,即x-2<0时, 这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6) 例2.若关于x的方程x?2kx?3k?0的两根都在?1和3之间,求k的取值范围。 解析:令f(x)?x2?2kx?3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)?0 2的解,由y?f(x)的图象可知,要使二根都在?1,3之间,只需f(?1)?0,f(?b0) )?f(?k)?0同时成立,解得?1?k?0,故k?(?1,2af(3)?0, 例3.(福建卷)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)?0的解集是(0,5),且f(x)在区间??1,4?上的最大值是12。 (I)求f(x)的解析式; (II)是否存在实数m,使得方程f(x)?37?0在区x间(m,m?1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。 解:(I)?f(x)是二次函数,且f(x)?0的解集是(0,5), ?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).?f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a. 由已知,得6a?12,?a?2,?f(x)?2x(x?5)?2x?10x(x?R).2 (II)方程f(x)?37?0等价于方程2x3?10x2?37?0. x设h(x)?2x?10x?37,则h'(x)?6x?20x?2x(3x?10). 当x?(0,10)时,h'(x)?0,h(x)是减函数;当 310x?(,??)3322时,h'(x)?0,h(x)是增函数。 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识! 101?h(3)?1?0,h()???0,h(4)?5?0, 327?方程h(x)?0在区间(3,10),(10,4)内分别有惟一实数根,而在区间(0,3),(4,??)内没有 33实数根,所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?37?0在区间(m,m?1)内有且只有两个 x不同的实数根。 例4:已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B; (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 ?y?ax2?bx?c解: (1)证明由?消去y得ax2+2bx+c=0 ?y??bxΔ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c)2?3c2] 24∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴3c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 4(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=-2b,x1x2=c aa|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 2b24c4b2?4ac4(?a?c)2?4ac ccc13?(?)????4[()2??1]?4[(?)2?] 22aaaaaaa24∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0,∴a>-a-c>c,解得∵f(c)?4[(c)2?c?1]的对称轴方程是c??1 aaaa2c∈(-2,-1) a2c1∈(-2,-)时,为减函数 a2∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(3,23) 例5:已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1) (1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问 是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数 点拨与提示:由f[f(x)]=f(x2+1)求出c,进而得到函数的解析式,利用导数研究函数的单调性. 解: (1)由题意得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f[f(x)]=f(x2+1) ∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+(2-λ) 若满足条件的λ存在,则φ′(x)=4x3+2(2-λ)x ∵函数φ(x)在(-∞,-1)上是减函数, ∴当x<-1时,φ′(x)<0 即4x3+2(2-λ)x<0对于x∈(-∞,-1)恒成立 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识! ∴2(2-λ)>-4x, ∵x<-1,∴-4x<-4 ∴2(2-λ)≥-4,解得λ≤4 又函数φ(x)在(-1,0)上是增函数 ∴当-1<x<0时,φ′(x)>0 即4x2+2(2-λ)x>0对于x∈(-1,0)恒成立 ∴2(2-λ)<-4x2, ∵-1<x<0,∴-4<4x2<0 ∴2(2-λ)≤-4,解得λ≥4 故当λ=4时,φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的λ存在 例6. 已知f(t)?log2t,t∈[2,8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x2?mx?4?2m?4x恒成立,求x的取值范围。 解:∵t∈[2,8],∴f(t)∈[2,3]原题转化为:m(x?2)?(x?2)2>0恒成立,为m的一次函数(这里思维的转化很重要)当x=2时,不等式不成立。∴x≠2。令g(m)=m(x?2)?(x?2)2,m∈[1, 222 13]问题转化为g(m)在 ?g()?02m∈[1,3]上恒对于0,则:?;解得:x>2或?g(3?)?02?1x<-1 例8.解关于x的不等式:ax2?(a?1)x?1?0 解:(1)当a?0时,原不等式化为?x?1?0?x?1 (2)当a?0时,原不等式化为a(x?1)(x?1)?0 a ①若a?0,则原不等式化为(x?1)(x?1)?0 a ?1?0a?11?1 ?不等式解为x?或x?1 aaa ②若a?0,则原不等式化为(x?1)(x?1)?0 (i)当a?1时,1?1,不等式解为1?x?1 aa (ii)当a?1时,1?1,不等式解为x?? a (iii)当0?a?1时,1?1,不等式解为1?x?1 aa 综上所述,得原不等式的解集为 1??当a?0时,解集为?xx?或x?1?;当aa???0时,解集为?x|x?1?; ?当0?a?1时,解集为?x1?x???1?1?;当a?1时,解集为x?x?1?? ;?当a?1时,解集为??a?a?例9. 若方程lg(?x2?3x?m)?lg(3?x)在[0,3]上有唯一解, 求m的取值范围。 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识! ??x?3x?m?0??x2?3x?m?0???3?x?0??0?x?3?0?x?3???x2?4x?3?m 解:原方程等价于?2???x?3x?m?3?x2 令y1??x2?4x?3,y2?m,在同一坐标系内,画出它们的图象, 其中注意0?x?3,当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解,由下图可见,当m=1,或?3?m?0时,原方程有唯一解,因此m的取值范围为[-3,0]?{1}。 例10.设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x,y=?x,均不相交.试证明对一切x?R都有 ax2?bx?c?14a. 证明:由题意知,a≠0.设f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则 又二次方程ax2+bx+c=±x无实根,故 Δ1=(b+1)2-4ac<0,Δ2=(b-1)2-4ac<0. 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即2b2+2-8ac<0,即b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1. 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识! ??x?3x?m?0??x2?3x?m?0???3?x?0??0?x?3?0?x?3???x2?4x?3?m 解:原方程等价于?2???x?3x?m?3?x2 令y1??x2?4x?3,y2?m,在同一坐标系内,画出它们的图象, 其中注意0?x?3,当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解,由下图可见,当m=1,或?3?m?0时,原方程有唯一解,因此m的取值范围为[-3,0]?{1}。 例10.设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x,y=?x,均不相交.试证明对一切x?R都有 ax2?bx?c?14a. 证明:由题意知,a≠0.设f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则 又二次方程ax2+bx+c=±x无实根,故 Δ1=(b+1)2-4ac<0,Δ2=(b-1)2-4ac<0. 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即2b2+2-8ac<0,即b2-4ac<-1,所以|b2-4ac|>1. 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!
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