四年级数学思维训练练习题库

四年级数学思维训练练习题库

作者：王肖峰 文章来源：本站原创 点击数：4701 更新时间：2009-12-29

一、数图形

专题简析：

我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。 教学方法：

①数图形常用的方法有列举法和分类法，列举时要遵循一定的顺序，前后要统一，否则很可能重复或遗漏；分类时要注意选择恰当的分类标准。

②总的思考方式是关键从基本图形入手，首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新图形，并求出它们的和。

③一般常见的几何平面图形的计数可以根据“线段总条数=点数×（点数-1）÷2”来计算。 ④正确、有序、合理、迅速地数出几何图形。 例1：数出下面图中有多少条线段。

思路导航：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。

方法一：从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。 方法二：由线段总条数=点数×（点数-1）÷2计算。

因为线段AD间有4个点，所以线段总条数=4×（4－1）÷2 例2：数一数下图中有多少个锐角。

思路导航：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个） 例3： 数出下面图中共有多少个三角形。

思路导航：数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。 以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE三个； 以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE二个； 以AD为边的三角形有：△ADE一个。 所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。 我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了，即3＋2＋1=6条。所以图中共有6个三角形。 例4 ：数出下图中有多少个长方形。 思路导航：数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3＋2＋1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6个长方形；而AC上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个长方形。它的计算公式为： 长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数 例5：数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形） 思路导航：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n 练一练 1、下图中共有多少条线段？ （ ）个 （ ）个 （ ）个 2、数一数下面各图中各有多少个三角形？ （ ）个 （ ）个 （ ）个 3、数一数，下面各图中分别有几个长方形？ （ ）个 （ ）个 （ ）个 4．数一数下列各图中分别有多少个正方形。 （ ）个 （ ）个 （ ）个 5、下图中共有多少个梯形 （於申静供稿） 二、巧求周长

专题简析：

一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？

对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。

将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。

解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。

例1 如图1，求这个多边形的周长是多少厘米？

思路导航： 要求这个多边形的周长，也就是求线段AB＋BC＋CD＋DE＋EF+FA的和是多少，而在这六条线段中，只有AB和BC这两条线段的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来，如图2所示，这个大正方形是ABCG.把线段EF水平向上移动，移到CG边上，这样CD＋EF的长度正好与AB的长度相等.同样把竖直方向上的DE边向左移动，移到AG边上，这样AF＋DE的长度正好与BC边的长度相等.这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道，但这四条线段的长度和我们可以求出来，这样求这个多边形的周长就转化为求一个正方形的周长，这个多边形的周长就可以巧妙地求出来了。

6×4=24（厘米）

答：这个多边形的周长是24厘米。

说明：本例图中的E点在竖直方向上不论移动到什么位置（当然F点也随着上下移动），这个多边形的周长都不变，当然D点在水平方向上移动（E点也随着移动），所得到的多边形周长也不变.这里点的移动不能超出大正方形ABCG这个范围。

例2 两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？

思路导航：根据题意，画出下图。

当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的8条边就减少了2条，而已知两条边的和是6厘米，那么一条边长就是6÷2=3厘米。所以，原来正方形的周长是：3×4=12厘米。

例3 把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？

思路导航：把长130厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的2厘米，可知围成的长方形的周长为130－2=128厘米。因为长方形的周长=（长＋宽）×2，所以长与宽的和为128÷2=64厘米。又因为题目中还告诉长与宽的差为18厘米，因此这道题可以转化为和差应用题来解。

13-2=128厘米 128÷2=64厘米

长：（64＋18）÷2=41厘米 宽：（64－18）÷2=23厘米

例4 一张长方形的纸，长是28厘米，宽是15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，再剪下一个最大的正方形。最后余下的长方形周长是多少？

思路导航：根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。

观察图形，我们发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为15厘米的正方形，这时长边还剩下28－15=13厘米；第二次剪下的以长边剩下的13厘米为边长的正方形，这时最后剩下的长方形宽是15－13=2厘米，长为13厘米，即周长是：（13＋2）×2=30厘米。

练一练：

1、下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米）

2、一张长5分米、宽4分米的长方形纸板，从四个角上各裁去一个边长为1分米的正方形，所剩部分的周长是多少分米？

3、两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来的两个正方形周长和减少了6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？

4、把6个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的周长为多少厘米？

5、把一个边长为20厘米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加了多少厘米？

6、如图：已知这个长方形的周长为38厘米，阴影部分为正方形，求长方形的长和宽。

7、一个周长为20厘米的正方形，从中间剪开成为两个大小相等的长方形。这两个长方形周长共多少厘米？

8、一张长方形纸，长为32厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？

9、正方形被分成了五个长方形，每个长方形的周长都是30厘米，求这多少厘米？

个正方形的周长是

（於申静供稿）

三、巧求面积

专题简析：

解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：

1，细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；

2，从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

例1：用36厘米长的一根铁丝围成一个正方形，它的面积是多少？用这根铁丝围成一个长12厘米的长方形，它的面积是多少？ 思路导航：

36厘米长的铁丝是所围成图形的周长。把它围成正方形，它的边长是36÷4=9（厘米），由正方形的面积公式可以求出正方形的面积。围成长方形的长是12厘米，则宽是36÷2－12=6（厘米），由长方形的面积公式即求出长方形的面积。

解：（36÷4）2 =92（平方厘米）=81（平方厘米）

12×（36÷2－12）=72（平方厘米）

答：围成的正方形面积是81平方厘米，围成的长方形的面积是72平方厘米。

例2： 求下面图形的面积。（单位：厘米）

思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：

从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。

所以，这个图形的面积为：8＋3=11平方厘米。

想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？

例3：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？ 思路导航：

由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54÷6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36÷3=12米。所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。 例4：下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。 思路导航： 根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是（16－4）÷2=6米，占地面积是6×4=24平方米。 例5：街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？ 思路导航： 把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个长方形的面积是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2米。中间花坛的面积是2×2=4平方米。 练一练： 1、计算下面图形的面积。（单位：厘米） 2、如图，由四个大小相同的正方形拼成一个长方形，一个正方形的周长是20厘米，长方形的面积是多少平方厘米？长方形的周长是多少？ 3、一个长方形，长25厘米，如果长减少了5厘米，就变成了正方形，它的面积减少了多少平方厘米？ 4、一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？

5、右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。

6、用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？

7、一个正方形和一个长方形的周长相等，长方形长与宽的和是12分米，求正方形的周长和面积。

8、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？

（於申静供稿）

四、阶段性练习（一）

一、填空： 1、（单位：厘米），下图一共有（ ）条线段，这些线段的总和是（ ）。 2、数出下列图中有（ ）条线段，（ ）个三角形。 3、 如图：共有（ ）个长方形。 4、将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了（ ）厘米。 5、比较图1-2中哪个图形的周长长？ 二、算一算,想一想，你发现了什么？ 下面的图形都是用8个面积是1平方厘米的小正方形拼成的，你能计算出它们的周长和面积吗？ 周长： 周长： 周长： 面积： 面积： 面积： 我发现了： 三、计算下列图形的面积和周长。（单位：厘米）

四、解决问题 1、一张长方形纸，长为32厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？ 2、四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如下图），大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，长方形的短边是多少米？ 3、一根铁丝围成一个边长为7厘米的正方形，余下的正好围成一个长厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？ 4、有一块菜地地，长29米，宽21米，在地的四周和中间都小路，菜地的实际面积是多少平方米？ 5、如图，长方形ABCD中有一个正方形EFGH，且AF=16厘米，HBCD的周长为多少厘米？ C=13厘米，长方形A为12厘米、宽为10留了一条1米宽的（ （於申静供稿） 五、数字谜 例1 在下面的乘法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式. 从小爱数学 × 4 学数爱小从 分析: 因为五位数乘以4的积还是五位数，所以突破口选在五位数的首位数字上.被乘数的首位数字从只能是1或2.但如果个位上学×4个位是1，学无解，所以从=2.在个位上，学×4个位是2，学=3或8.但由于学又是乘积的首位数字，必须大于等于8，所以学=8.在千位上，由于小×4+进位后不能再向万位进位，所以小=1或0.若小=0，则十位上数×4+ 3（进位）的个位是0，数无解.所以小=1.此时在十位上，数×4+3（进位）的个位是1，推出数= 7.在百位上，爱×4+3（进位）的个位还是爱，且百位必须向千位进位3，所以只能爱=9.乘法算式为 例2 在下面除法竖式□内各填上一个合适的数字，使算式成立。 8 3 6 6 0 4 4 0 分析：在上面的除法算式中，我们分析得到第一个积60□框中的得数为2，所以商的十位应该为7，从而得到除数的个位为6。□44框中的数减得3，所以商的个位为4，最后的结果被除数为6364，除数为86，商为74。 习题： 1、填出□里的数字 5 □ 4 9 □ 1 □ 8 □ 6 ＋ 7 □ □ 5 － 7 □ 4 □ □ 1 7 4 9 4 5 4 8 3、算式中四张小纸片各盖住了一个数字，被盖住的四个数字之和是多少？ □ □ ＋ □ □ 1 6 9 3、下列算式中的字母各代表什么数字？ C D D D E －F F F F F 4．将下面的汉字用数字代替，使算式成立。 1 9 9 4 ＋ 祝你成功 你你你你 5．在下面的算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母算式成立时，乘积是_______。 6．在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。当算式成立时，\学数学\所代表的三位数是___ ____。 数×学×数学＝学学学 7．某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，问原数最小是多少? 8． 在下面的乘法算式中，1～9这9个数字各出现了一次，你能填出□里的数字吗？ □×1□□□=□□52 9、 □ □ □ □□ × □ 6 2 □ ）□ □ 9 □ 1 2 1 8 1 8 □ □ □ □ □ 0 5 代表不同的数字。当 □ □ □ □ □ □ □ 0

（何海明供稿）

六、简便运算

例1、 计算：995＋996＋997＋998＋999 分析：此题一般两种思路：

思路一，可以用中间数乘个数的方法求出总和，也就是997×5。

思路二，这些数都比较靠近1000，所以可以用1000×5，然后再减去多加的数15得4985。

例2、 计算：420×78＋220×42

分析：此题是乘法分配律和积不变性质的综合应用题。首先两个数相乘，如果一个因数扩大到原来的若干倍，另一个因数则缩小到原来的若干倍，它们的结果不变。所以 原式=420×78＋22×420

=420×（78+22） =4200

或原式=42×780＋220×42

=42×（780+220） =4200

习题精选：

1、计算：745＋263＋155-198 123456－78－822－155－455

2、计算：22＋20＋18＋16＋14 9＋99＋999＋9999

31＋33＋35＋37＋39＋41 1＋2＋3＋…＋51

3、计算：999十998十997十996十1000十1004十1003十1002十1001

4、计算：2+4+6+8+……＋18＋20

5、计算：100－99＋98－97＋96－95＋……＋4－3＋2－1 6、（100+98+97+………＋4+2）－（99+97+95+……+3+1）

7、在□里填上合适的数

（1）28×225－2×225－225×6=225×□

(2)39×8＋□×39－11×39=39×20

8、999×6＋111×46 68×32+64×16

9、306000÷125÷8

10、44444 × 99999

11、某体育馆西侧看台有10排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有64个座位，体育馆西侧看台共有多少个座位？

跳绳人数：80+148=228（人）

答：参加跳绳比赛有228人，踢毽子比赛有80人。

【操身演练】

1、在作文竞赛中，女同学比男同学少5人，男同学比女同学的2倍少5人，男同学有几个人？

2、某个体户养鸡的只数比鸭的3倍还多40只。鸡比鸭多320只。这个个体户养的鸡和鸭各有多少只？

3、甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米 ，两根绳子剪去同样的长度，剩下的甲绳长度是乙绳的3倍。剪去的绳子是几米？

【闪亮登台】

1、两个猴子摘桃子，大猴子摘了42个，小猴子摘了18个，要使大猴子摘的个数是小猴子的5倍，小猴子应该给大猴子多少个桃子？

2、学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只。三种球各多少只？

3、一块长方形的地，它的周长是24米，长是宽的2倍。这块地的面积是多少平方米？

4、养鸡场养了公鸡和母鸡共255只，公鸡的只数比母鸡的6倍少25只。养鸡场公鸡和母鸡各多少只？

5、甲桶的油是乙桶的4倍。如果从甲桶取出12千克倒入乙桶，那么两桶油的重量相等。两桶油原来各有多少千克？

6、亮亮今年比他爸爸小30岁。再过4年后，他爸爸的岁数正好是亮亮的4倍。亮亮和爸爸今年各几岁？

7、甲数除以乙数商3余10。假如把被除数、除数、商和余数都加起来，得数是143。求甲乙两数。

8、小名和小洪摘桃子，小名摘48个，小洪摘12个，小名和小洪又摘了一样多的桃子，使小名所摘桃子等于小洪的2倍，两人各摘多少个桃子？

9、小王和小张原来银行里的存款相等，小王取出60元，小张存入20元后，小张的存款是小王的3倍。两人原来存款共多少元？

10、甲、乙、丙三人去郊外钓鱼，已知甲比乙多钓6条鱼，丙比甲多钓22条，丙钓的是乙的2倍。他们一共钓多少条鱼？

（金琼维供稿）

九、和差问题

和差问题的应用题一般都在条件中告诉我们：两个数的和与这两个数的差，要我们求这两个数分别是几。解答和差应用题的一般方法是：

1、首先要确定哪一个数大，哪一个数小，两个数相差几。

2、和差问题的难点是确定两个数的和是几，差是几？

3、和差问题的关键是用“移多补少”的方法，使两个数同样大，以便平均分，求出其中的一个数。 4、公式：大数=（和＋差）÷2 小数=和—大数 小数=（和—差）÷2 大数=和—小数

[例1]姐弟两人共有邮票70张，如果姐姐给弟弟4张邮票后还比弟弟多2张，姐姐和弟弟原来各有几张？

想一想： 姐姐和弟弟的邮票数量和是70张，但这里的差是隐蔽的，需要我们从题意中去寻找。根据“姐姐给弟弟4张邮票后还比弟弟多2张”可以知道姐姐的邮票比弟弟多4×2＋2=10张，那么姐姐的邮票减去10张就和弟弟一样多了。因此，我们可以由总邮票减去10张就是弟弟的2倍，现求出弟弟的邮票数量。

看一看： 4×2＋2=10（张） （70－10）÷2=30（张） 30＋10=40（张）或70－30=40（张）

答：姐姐原来的邮票有40张，弟弟原来有30张。

操身演练：

1、三（3）和三（4）班共有学生124人，已知三（3）班比三（4）多2人，两个班各有多少人？

2、甲、乙两人共有人民币300元。如果甲借给乙60元，那么甲、乙两人的钱数相等。问甲、乙两人各有多少元钱？

3、小红期终考试时，数学和语文的平均分是96分，语文比数学少8分，语文和数学各得几分？

[例2]两只盒子里共有15只面包，如果甲盒中放入4只面包，乙盒中取出2只面包，这时乙盒比甲盒多1只面包。求甲、乙两盒原来各有面包多少只？

想一想： 原来两只盒子里共有15只面包，甲盒中放入4只面包，乙盒中取出2只面包，这时两只盒子中共有（15+4—2）只面包，且乙盒比甲盒多1只面包，可求出现在甲、乙两盒各有几只面包，最后再求出原来甲、乙两盒各有几只面包。

看一看：（15+4—2）—1=16（只） 16÷2=8（只） 现在甲盒中的面包 8+1=9（只） 现在乙盒中的面包 8—4=4（只） 原来甲盒中的面包 9+2=11（只） 原来乙盒中的面包 答：甲盒原来有面包4只，乙盒原来有面包11只。

操身演练：

1、甲、乙两校共抽出78名同学参加长跑比赛，甲校因故有4人没到，乙校有7人没到，这时甲校比乙校还多5人。求两校实际各有多少人参加长跑比赛？

2、甲的课外书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有课外书47本，甲、乙、丙各有多少本课外书？

3、有一部书分上、中、下三册。已知上册比中册贵2元，中册比下册贵1元，又知道三册书的价格总计为25元，那么上、中、下三册书本各几元？

闪亮登台：

1、一筐桔子和一筐苹果共重46千克，从桔子筐内取出桔子3千克后，桔子还比苹果重1千克，桔子和苹果原来每筐各是多少千克？

2、把128厘米的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多18厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？

3、幼儿园买来10张小桌子和10张小凳子，共用去1260元，一张小桌子比一张小凳子贵20元，一张小桌子和一张小凳子各几元？

4、有一个长方形操场，它的周长是240米。操场的宽比长少20米。这个长方形操场的面积是多少？

5、甲乙两个球队进行篮球比赛。结果两队得分总和是100分。如果甲队加上8分，就比乙队少2分。求两个球队各得几分？

6、把一根长100米的绳子剪成三段，第二段比第一段多5米，第三段比第一段少10米，三段绳子各长几米？

（金琼维供稿）

十、定义新运算

“定义运算”与我们已经学会的加法、减法、乘法和除法的运算既有联系又有区别，学习时要重点注意“定义运算”与四则计算的区别。“定义运算”用⊙、∧、*、△、□、↑

等符号，表示一种特定的运算过程或运算顺序。在定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义的这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值进行计算。同时还要注意运算顺序：对于不止一步的计算，如果题目中没有括号，我们就从左往右依次运算，一步一步地计算结果；题目中如果有括号，我们要先做括号里面的算式，等括号里计算出一个数以后，再计算括号外面的。

【例1】 定义运算 a△b=(a+b)÷2 计算（1）3△5 （2）2△4△5 (3)3△(4△6)

【分析】可以这样理解本题“定义运算”的规则：a与b的运算，是求a与b和的一半。 第（1）题的a是3，b是5，把3和5分别代入(a+b)÷2的式子中，就可求出这个算式的值。 第（2）题用这样的计算规则先算2△4的值，然后同同样的规则再把算出来的值与5进行运算。 第（3）题则要先算小括号里的4△6的结果，再用3与这个结果进行运算。 【解答】 （1）3△5=（3+5）÷2 = 4

（2）2△4△7 = [（2+4）÷2 ] △7= 3△7 = （3+7）÷2 = 5

（3）9△（4△6）= 9△[（4+6）÷2 ]= 9△5 = （9+5）÷2 = 7

【操身演练】

1、定义运算 a△b=(a+b)÷2。

计算： （1) 15 △ 13 (2) 19 △( 23△31)

2、定义运算 a △ b = （a—b）×2。

计算：（1） 18 ∧ 13 （2） 15 +（20 △ 15）

【例2】定义运算 m□n = 3m+2n

计算：（1）2□3 （2）（5□4）+（4□5） （3）（4□8）÷（1□2）

【分析】 这道题的运算规则是：m与n的运算是求m的3倍加上n的2倍的和。 第（1）题只要把2和3分别代入m□n = 3m+2n中，就可以求出2□3运算的结果。

第（2）题要按定义运算的规则，先分别求出5□4、4□5的结果，最后求这两个结果的和。 第（3）题要按定义运算的规则，先分别求出4□8、1□2的得数，最后求这两个得数的商。 【解答】（1）2□3=3×2+2×3 = 6+6 =12

（2）（5□4）+（4□5）=（3×5+2×4）+（3×4+2×5）=23+22 = 45 （3）（4□8）÷（1□2）=（3×4＋2×8）÷（3×1＋2×2）= 28÷7 = 4

【操身演练】

1、定义运算 a□b = a×b－5×a (差要比5小)

计算： （1）3□4 （2）7□4 （3）（8□6）—（9□8）

2、定义运算 a*b = (a+b) ÷ 2 , a⊙b = 3a—b

计算： （1）4*6 （2）4⊙6 （3）（2*4）⊙3 （4）（2⊙4）*3

【闪亮登台】

解：100÷5-1=19（棵）

试一试：某工厂在道路一侧插彩旗，每隔4米插一面，从起点到终点共插了36面。这条路长多少米？ 例2：一个湖泊周长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树，共栽多少棵树？

分析：在湖泊的周围植树，也就是在封闭的图形周围植树，由实践可知，封闭图形上植树的棵树与间隔（段）数相等，，即1800分成了多少段就栽了多少棵柳树。每两棵柳树中间一棵桃树，就是在柳树与柳树的间隔内种桃树，因为棵树=段数，所以桃树的棵树与柳树的棵树相等。这样共栽多少棵树也就能求出了。 解： 1800÷3×2=600×2=1200（棵）

试一试：一个池塘周围长192米，在周围每隔24米种槐树一棵，又在两棵槐树之间以等距离种梨树3棵，问种槐树多少棵？相邻两棵梨树相距多少米？池塘周围共种树多少棵。 练一练：

1、在校门口到教学楼的150米长的道路两旁，每隔5米种一棵树，一共要种多少棵树？

2、国庆节时某厂在厂门挂彩灯，从头到尾一共挂了130只，每两只彩灯之间相距1分米，厂门口宽多少米？

3、在长54米的水渠一侧栽了一排树，起点和终点都要栽，一共栽了10棵，两棵树之间的距离是多少米？

4、园艺工在花圃里栽月季花，每4棵花之间的距离是3米，照这样计算，要种28棵花，距离是多少米？

5、一条马路一侧原有木电线杆51根，相邻两根电线杆间的距离是36米。现在要全部换成水泥电线杆，相邻两根相距60米，需水泥杆多少根？

6、有一个湖泊周长1800米。沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树。湖泊周围栽柳树和桃树各多少棵？

7、一个花园周长1500米，沿四周每隔5米栽一棵柏树，每两棵柏树中间栽2棵桃树。这个花园四周共栽柏树、桃树多少棵？

8、一块三角形地，三边之长分别为156米，234米、186米，现要在三边上种树，相邻两棵树之间的距离是6米，三个角上各栽一棵，共栽树多少棵？

9、一条公路的两边每隔7米种有一树槐树，芳芳乘车3分钟数到公路一边有槐树151棵。这辆汽车每分钟的速度是多少？

10、国庆节接受检阅的一列车队共52辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔6米，车队每分钟行驶105米。这列车队要通过长536米检阅场地，需要多少分钟？

11、一个人以相等的速度在小路上散步，从第一棵树走到第12棵树用了11分钟。如果这个人走了25分钟，应走到第几棵树了？

12、一根木料锯成3段要12分钟，如果把它锯成6段，需多少分钟？

13、一个木工锯一根长13米的木条，他先把一头损坏部分锯下1米，然后锯了5次，锯成许多一样长的短木条。求每根短木条长多少米？

14、张老师在操场上画了一个圆圈，周长120米，然后沿着这个圆圈每隔12米摆了一盆黄菊花，再在每相邻的两盆黄菊花之间等距离地摆了2盆白菊花。问：一共摆了多少盆黄菊花？一共摆了多少盆白菊花？两盆相邻的黄菊花之间的2盆白菊花相隔多少米？

15 、某马路的一侧从头到尾原有木电线杆86跟，每相邻两根相距42米，因扩宽马路，计划从头到尾全部换大型水泥电线杆，每相邻两根相距70米，需要大型水泥电线杆多少根？

（王彩芬供稿）

十五、阶段性练习（三）

1、四(3)班共有学生41人，数学期中考试时有三位同学因病缺考，平均成绩80分。后来这三位同学补考，

成绩分别为100分、96分和85分。这时全班的平均成绩是多少？

2、李华期中考试语文、数学、外语的平均成绩是80分，自然成绩公布后，他的平均成绩提高了2分。李华自然考了多少分？

3、甲、乙、丙三个数，甲、乙的平均数是30，乙、丙的平均数是36，甲、丙的平均数是33。问这三个数的分别是几？

4、师徒二人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件，徒弟5小时的工作量相当于师傅2小时的工作量。师徒俩每小时各做多少各？

5、三年级二班有42人，全班都订了杂志。订《小学生时代》的有38人，订《小爱迪生》的有24人，每人至少订1份。两种杂志都订的有多少人？

6、三年级一班的43名同学中，据统计26人会游泳，38人会打乒乓球，既不会游泳又不会打乒乓球的有2人。两项运动都会的有几人？

7、某校三年级共有三个班级128名学生，一班比二班少4人，二班和三班共有87人。三年级各班有多少名学生？

8、六一节到了，学校召开庆祝大会，必须在操场的四周插上彩旗，可彩旗只有28面。要使每边都有8面彩旗，应该怎样插。

9、大人上楼的速度比小孩快一倍，小孩从一楼到三楼要6分钟，大人从一楼到五楼要几分钟？

10、一座楼房每上一层要走16个台阶，到小英家一共走了80个台阶。小英家住在几层

11、同学们栽花，7棵花间的距离是12米，照这样计算，栽40棵花的距离是多少米？

12、在某淡水湖四周筑成周长为8040米的大堤，堤上每隔8米栽柳树一棵，然后在相邻两棵柳树之间每隔2米栽一棵桃树，应准备柳树和桃树多少棵？

13、有48张长方形纸片，长12厘米，宽8厘米，如果要把48张纸片粘成长条，重叠部分是3厘米，问连起来后最长是多少厘米，最短是多少厘米？

（王彩芬供稿）

十六、倒推与图示

知识要点

需要用倒推法（也称还原法）解决问题，常常要满足三个条件：（1）已知最后结果；(2) 已知在达到最终结果时每一步的具体过程；（3）最初结果为未知数。把握这三个条件，准确运用画图来帮助分析题意，这样从最后结果一步一步倒着推，最后得出所求的答案。原题加，倒推为减；原题减，倒推为加；原题乘，倒推为除；原题除，倒推为乘。解题时通常先顺着题意列出算式，再列出与之对应的逆向算式，即可找到解题的出路。 二、 学习例题

例1：一个数加上2，乘3，除以 11，再减去8，结果是1，这个数是多少？

分析： 利用倒推法思考，题中最后的结果是1，1是一个数减去8得到的，在没减去8之前是8+1=9；9又是一个数除以11得到的，在没除以11之前是9×11=99；

而99又是一个数乘3得到的，在没乘3之前上是99÷3=33；而33就是一个数加上2得到的，所以在没加上2之前，这个数是33－2=31 解 （1+8）×11÷3－2=31

说明 为了保证计算结果的正确，可以把31作为条件代入计算，看结果是不是1。

（31+2）×3÷11－8=1

试一试：

某数加上18。乘18，减去18，除以18，结果还是18，这个数是多少？

例2：小明吃糖，第一次吃了4颗糖，第二次吃了余下糖的一半少1颗，这时还剩下5颗没吃，问：原来共有多少颗糖？

分析： 最后剩下的5颗糖是第二次吃了余下的，由于第二次吃的是第一次余下的一半少1颗，所以最后余下的应是第一次余下的一半多1颗，因此，第一次吃后余下（5－１）×2=8（颗），为更清楚地看出吃了的糖数与余下的糖数的关系，也可用画线段图来表示。 解 （5－１）×2=8（颗）（第一次吃后余下的） 8+4=12（颗） 答：原来共有12颗糖。 试一试：

一个买西瓜的农民，第一次卖出车子里西瓜的一半又半个，第二次有卖出了剩下的西瓜的一半有半个。这时车子里还剩下25个西瓜。这个农民的车子里原来有（ ）个西瓜。 三、 练一练

1、某数除以5，减去200，再乘以2，最后加上30，结果等于230，求某数。

2、一个数减去8，乘以4，除以5，再加上3，结果是27，这个数是多少？

3、芳芳做加法时，把一个加数个位上的9看作7，十位上的6看作9，结果和是201，正确的结果是几？

4、小明做题时，把被减数个位上的0错写成8，把十位上的6错写成9，这样计算得到的差是130，正确的差是多少？

5、小丁在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数相同，该题的除数和余数各是几？

6、一个数乘6再除以5，亮亮在计算时错误地看成除以6再乘5，结果得数是75，正确的结果应是多少？

7、仓库内有一批货物，第一次运出总数的一半又12吨，第二次运去剩下的一半又11吨，仓库内还剩下货物300吨，仓库内原有货物多少吨？

8、食堂买来一批大米，第一次吃了全部的一半少28千克，第二次吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克，这批大米共有多少千克？

9、粮食有一批大米，第一次运出一半缺12包，第二次运出余下的一半多10包，第三次运出48包，这时还剩28包，原来大米几包？

10、有一捆电线，第一次剪下总长的一半，第二次又剪去余下的一半，第三次再剪去余下的一半，这时还剩3米，原来这根电线长多少米？

11、一块布，第一天剪下它的一半零2米，第二天剪下余下的一半少2米，第三天再剪下余下的一半零2米，正好还余2米，这匹布原来有多少米？

12、学校体育组买了捆绳子做跳绳，第一次用去全长的一半多6米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去12米，最后还剩15米，这捆绳子原来有多少米？

13、甲乙丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组有相等数目的图书。甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

（毛燕儿供稿）

十七、推算和推理

一、 知识要点

一种是推算，解答这种推算题时，要求小朋友仔细观察，认真分析题中几个数量之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换等方法来进行解答。

另一种是推理题，在解决推理问题时，为了找到突破口，我们可以先假设某一个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件。如果符合所有的条件，那么结果就是它。否则再换另一个结论来验证。 二、 学习例题

例1： 20只兔可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换（ ）只兔。 解 根据题意可知 1头猪=3只羊 1只羊=10只兔

得到 1头猪=30只兔 所以 8头猪=240只兔 试一试：两只香蕉换6只苹果，8个梨换4个苹果，5只香蕉换（ ）只梨

例2：在一次数学竞赛中，豆豆、毛毛、平平、方方得了前四名。张老师问他们各得了第几名？下面是他们的回答：

豆豆说：“我是第二名”

毛毛说：“我是第一名” 平平说：“我得了第四名” 芳芳说：“我不是第三名”

已知他们当中有一个人说的不对。请问：谁是第一名？

点拨 先假设豆豆说错了，那其他三个人就说对了，这三个人说对了，那毛毛、平平分别是第一名和第四名，芳芳不是第三名，只能是第二名，那豆豆就是第三名。这样假设成立。得出第一名是毛毛。

同样假设毛毛说错了，那豆豆是第二名，平平是第四名，芳芳不是第三名，只能是第一名，那毛毛

是第三名，这样和原来的假设自相矛盾，假设不成立。

同样假设平平说错了，那豆豆是第二名，毛毛是第一名，芳芳不是第三名，只能是第四名，那平平是第三名。这样假设成立。得出第一名是毛毛。

同样假设芳芳说错了，那豆豆是第二名，毛毛是第一名，平平是第四名，芳芳只能是第三名，这样

和原来的假设自相矛盾，假设不成立。 解答 第一名是毛毛。

试一试：

A、B、C三个合唱队，每个合唱队有一个指挥是小辉、小尹（女）、小芳（女）；王老师、张老师、李老师分别给三个队伴奏。已知A队和王老师的队都是女指挥，B队 的女指挥不是小尹，李老师不给C队伴奏。由此判断：A队的指挥是（ ），伴奏是（ ）。B队的指挥是（ ），伴奏是（ ），C队的指挥是（ ），伴奏是（ ）。

三、 练一练

1、24只兔可换2只羊，12只羊可换3头猪，7头猪可换（ ）只兔子。

2、30只兔可换3只羊，6只羊可换2头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换（ ）只兔。

3、1头牛可换6头猪，2头猪可换10只羊，3只羊可换20只鸡，800只鸡可换（ ）头牛。

4、3个苹果的重量+1个梨的重量=14个橘子的重量 6个橘子的重量+1个苹果的重=1个梨的重量 1个梨的重量=（ ）个橘子的重量

5、1个苹果=2个梨，1个梨=8颗糖。2个苹果可以换（ ）颗糖；3个梨可以换（ ）颗糖，16颗糖可以换（ ）个梨。

6、 一支钢笔能换3支圆珠笔，4支圆珠笔能换7支铅笔，那么4支钢笔能换（ ）支铅笔。

7、买6支钢笔要56元，如果3支钢笔的价钱与7支圆珠笔价钱相等，那么买6支圆珠笔要多少元？

8、 妈妈买了2千克糖果和1千克饼干，付了36元，如果买2千克糖果和2千克饼干，则应付46元，糖果和饼干每千克各是多少元？

9、3个小瓶相当于2个大瓶再多装水10克，而4个大瓶相当于3个小瓶再多装水22克。那么每个大、小瓶各能装水多少克？

10、小王、小张、小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，他们都穿着便装，现在知道： （ 1 ）小李比战士的年龄大 （ 2 ）小王和农民不同岁 （ 3 ）农民比小张的年龄小

猜猜看，谁是工人，谁是农民，谁是战士？

11、教室中出现一盆兰花，有四个学生与此有关。其中只有一句是真话，其余都是假话，那么这盆花是（ ）送的。

甲说：“不是我送的。” 乙说：“是丁送的。” 丙说：“是乙送的。” 丁说：“不是我送的。”

12、甲、乙、丙三人观看赛马，比赛前三人对A、B、C、D四匹马作了预测。甲说：“B第一，C第二。”乙说：“B第二，A第三。”丙说：“A第四，D第二。” 赛后的实况证实了甲、乙、丙三人都只猜对了一个名次，那么着四匹马的名次是怎样排列的？

（毛燕儿供稿）

十八、生活中的数学问题

一、 学习例题

例1 有50个同学去划船，大船每条可以坐6人，租金10元；小船每条可以坐4人，租金8元。

（1）如果你是领队人，请写出一种租船方案。

（2）能写出更多的方案吗？ （3） 比较一下，那种方案最合适？ 分析和解答：

（1） 如果都租大船，根据题意有50个同学，大船每条可以坐6人，50÷6=8（条）多2人，这样至少需

要租8+1=9（条），每条船的租金是10元，需要9×10=90（元）。

（2） 租船的方案有很多，我们可以根据大船的条数从多到少依次考虑，方案如下所示：

序号 大船条数 小船条数 空座位 合计钱数（元） 1 9 0 4 90 2 8 1 2 88 3 7 2 0 86 4 6 4 2 92 5 5 5 0 90 6 4 7 2 96 7 3 8 0 94 8 2 10 2 100 9 1 11 0 98 10 0 13 2 104

（3） 如果从租的船是否能坐满的角度出发进行比较，第3、5、7、9这四种方案都没有出现空座位，比较

合适，也不浪费；如果从价格是否合适的角度出发进行比较，则这四种方案中第3种方案的价钱是最便宜的，经济实惠，这个方案最合适。 试一试：

有96吨货物要一次从A地运往B地，已知大卡车每次可运10吨，运费200元，小卡车每次可运4吨，运费90元。如果你是货主，准备怎样安排车辆？ 例2：

请写出两个一位小数相加的算式，这个算式是用2，3，4，7这四个数字和两个小数点组成的。

a) 请你写出一个符合条件的加法算式，并算出结果。 b) 如果第一个加数不变，第二个加数有几种不同的可能？

c) 请你再写出几道符合条件的加法算式，想一想，怎样思考比较好？ 分析和解答

（1） 通过试验我们可以写出：2.3+4.7=7

（2） 如果第一个加数是3.2，可以列出两个算式：3.2+4.7=7.9 3.2+7.4=10.6 （3） 怎样才能有规律、有序地写出这样的算式呢？

例如我们先选择这四个数字中的两个，写出所有一位小数作为第一个加数，再根据剩下的数字组成不同的另一个加数，分别算出结果。再依次类推，写出所有的算式。

2.3+4.7=7 2.3+7.4=9.7 2.4+3.7=6.1 2.4+7.3=9.7 2.7+3.4=6.1 2.7+4.3=7 3.2+4.7=7.9 3.2+7.4=10.6 4.2+3.7=7.9 4.2+7.3=11.5 3.4+7.2=10.6 4.3+7.2=11.5

这样的算式一共有12个。 试一试：

有一个小数，它是由2，3，4和小数点“.”组成的。 （1） 你能写出一个这样的小数吗？

（2） 再试试，你还能写出其它这样的小数吗？

二、 练一练

1、圆圆去超市买速冻水饺，芹菜馅的每袋3元，香菇鲜肉馅的每袋4元，鲜肉虾仁馅的每袋5元。圆圆买了些速冻水饺，正好用了20元钱，你知道圆圆是怎么买的吗？ （1）如果只买同一种饺子，她可能会怎么买？ （2）如果买了两种不同的饺子，她可能会怎么买？ （3）如果买了三种不同的饺子，她可能会怎么买？

2、 3位老师和50位学生去参观植物园。票价：成人每人10元，学生每人5元，10人及10人以上可买团体票，每人6元。怎样买票最合算？

3、 用一个平底锅煎饼，每次只能同时放两个饼，如果煎一个饼需要4分钟（正、反面各需2分钟），现在需要煎三个饼，有几种煎饼方法，各需要几分钟？最少需要几分钟？

4、 甲、乙、丙三人同时到一水龙头处用水，甲洗拖把需要3分钟，乙洗衣服要10分钟，丙用桶注水需要2分钟，有几种用水顺序，各需要几分钟？怎样安排三人用水的顺序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多少？

5、 早饭前妈妈烧开水要12分钟，擦桌椅要用6分钟，准备暖瓶和灌开水要用2分钟，去买早饭要用10分钟，煮牛奶要用8分钟，并且灶台上只有一个火头，妈妈怎样安排才能使所用时间最短？是多少分钟？

6、 小明放学回家，帮妈妈做家务，拖地板要10分钟，电茶壶烧开水要15分钟，电饭锅烧饭要20分钟，整理客厅要6分钟，小明完成这些工作至少要多少分钟？

7、 小张早晨起来要做完以下几件事才能出门，自行车打气1分钟，洗脸刷牙10分钟，放水淘米3分钟，把米放入电饭锅插上电源1分钟，电饭锅自动把饭做熟用15分钟，吃饭5分钟，小张最小用多少时间可以出门？ 8、 小红家住在山南边，她姥姥家住在山北边，南坡的 长是200米，北坡的长是400米，有一天，小红从家出发 200米 400米 去姥姥家，她上坡时每分钟走40米，下坡时每分钟走50 米，小红从自己家到姥姥家，再从姥姥家回到自己家，往 小红家 姥姥家 返一共用多少分钟？ 9、 一般远洋轮上共有28名海员，船上的淡水可供全体海员用40天，轮船离港10天后在公海上救出12名遇难的外国海员，剩下的淡水可供船上的人用多少天？ 10、 20千克黄豆可制100千克豆腐，照这样计算，800千克黄豆可制豆腐多少千克？（用两种方法解答） 11、 用一个杯子向一只空瓶里倒水，如果倒进2杯水，连瓶重390克，如果倒进5杯水，连瓶共重750克，一杯水和一只空瓶各重多少克？ 12、小兔想做一个正方形的画框，可是它的细木条长短都不一样，有1，2，3，4，5，6，7，8，9厘米长的细木条各一根。 （1）如果不能锯断，但可以连接（接头处不计损耗），小兔可以做一个怎样的正方形画框? （2）要做边长是9厘米的正方形的画框，可以怎么做？

（毛燕儿供稿）

十九、阶段性练习（四）

一、 填空题 1、 找规律填数

（1） 1、2、3、5、8、（ ）、（ ）。 （2）48、40、33、27、（ ）、（ ）。 （3）1、4、9、16、（ ）、（ ）、（ ）。

（4）2、8、12、14、22、20、（ ）、（ ）、（ ）。

2、 北京开往某地的火车，早上5点40分开车，下午7点20分到达，路上用了（ ） 3、 今天是星期二，从今天算起，第100天是星期（ ）。

4、 一条毛毛虫从幼虫长到成虫，每天长大一倍，24天能长到20厘米，当长到5厘米时，需用（ ）天。

5、 一个数减去18，乘以4，除以5，再加上3，结果是35，这个数是（ ）。

6、 1头牛可换3只羊，1只羊可换4只兔，1只兔可换2只鸡，360只鸡可换（ ）头牛。 7、 一位老爷爷说，他的年龄加上25除以3再减去12后用4乘，正好是120岁，这位老爷爷有（ ）岁。

8、小明做一题减法题,由于粗心,错把被减数百位上的8看作3,十位上的6看成了0,这样子算出来的得数是308,求正确得数是（ ）。

9、甲有24瓶啤酒,如果5只空瓶又换一瓶啤酒,问这个人一共可以喝到（ ）瓶啤酒。 10、123456789101112131415……484950是一个多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成最大的多位数，这个最大的多位数是（ ）。 二、 解决问题

1、 张明在计算有余数的除法时，把被除数为113错写成131，结果商比原来多6，但余数恰好相同，这道

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