_微分方程数值解_的教学研究与实践

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高等数学研究

STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSVol.13,No.1Jan.,2010

微分方程数值解 的教学研究与实践

杨韧,杨光崇,谢海英

(成都信息工程学院数学学院,四川成都,610225)

要 结合近几年我院信息与计算科学专业微分方程数值解课程教学改革的研究与实践,对微分方程数值

解课程的教学内容、课程体系、教学方法和教学手段进行了深入的探讨.实践表明,通过运用多元化的现代教学手段并加强教学实践环节培养了学生综合应用知识解决问题的能力,教学效果良好.

关键词 微分方程数值解;教学研究;教学实践.

中图分类号 G420;O241.8

1 引言

微分方程数值解是我院信息与计算科学本科专业的专业方向课,它是一门具有较强的实际背景、专门研究科学计算的课程.我们针对学院定位,构建适合本专业的课程内容体系,强调理论联系实际,重视数值计算方法在实际问题中的应用.经过多年的探索、实践和发展,我院的微分方程数值解课程形成了自己的课程内容体系,注重理论联系实际,重视数学建模的思想方法,坚持课堂教学与应用训练紧密结合,使学生在应用中扩充和贯通相关知识,给学生以更多的自主思考空间,激发学生的学习欲望,鼓励学生参与分析讨论,着重掌握解决具体问题的实际方法和计算原理.

2 教学内容

根据教育部课程教学指导委员会颁发的信息与计算科学专业规范对微分方程数值解课程的基本要求和我院本科学生的实际情况,对课程内容作了一定的取舍并有所侧重.经过调整,教学内容趋于全面,且突出了重点,尤其是增加了学生应用理论知识解决问题的实践教学环节部分.

微分方程数值解课程的理论性很强,为了化简难点,便于学生能够正确理解教材内容,微分方程数值解课程的实验课设置了常微分方程初值问题的数值解、热传导方程初边值问题的差分模拟、Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟等3个验证性实验和用龙格 库塔方法求解实际问题、用古典隐式差分格式求解抛物型方程初边值问题、五点差分格式求解波动方程混合问题等3个综合性实验,验证性实验的计

收稿日期:2008-12-08;修改日期:2009-06-18.

作者简介:杨韧(1957-),女,江苏大丰人,学士,副教授,研究方向为

微分方程和数值计算,E_mail:ryang@;

杨光崇(1963-),男,四川泸州人,硕士,教授,研究方向为微分方程数值解,E_mail:gcyang@;

谢海英(1970-),女,四川遂宁人,硕士,讲师,研究方向为_.

算结果验证数值格式的合理性;综合性实验解决实际问题,训练由物理问题建立数学模型的能力,学习应用微分方程数值解的数值方法编制程序的动手能力,训练分析、归纳总结问题的综合能力.

3 教学改革与教学研究

微分方程数值解这门课理论性强,公式推导烦琐、枯燥,计算量大.这就需要采用适合学生的教学方法进行教学,在教学方法与教学手段改革方面,我院微分方程数值解课程坚持教师的主导作用与学生主体作用相结合,充分调动学生学习的主动性与自觉性,突出个性,因材施教,将教学改革与课程建设建立在现代教育技术的平台上,形成比较一致的教学思想和指导方针.

3.1 设计思想

微分方程数值解是我院信息与计算科学专业学生必修的核心专业课之一.针对新世纪科技人才对大学生数学素质的要求,通过对一般本科院校信息与计算科学专业课程教学现状的分析,我们提出了信息与计算科学专业微分方程数值解的课程教学内容与体系结构改革的设计思想.

(1)适应当前高等教育从精英教育过渡到大众教育的需要,针对一般本科院校的教学实际,选择适当的教学定位.

(2)根据各门课程教学内容之间的内在本质联系,整合课程体系结构.

(3)优化教学内容,合理安排理论体系.在保证教学内容的科学性与系统性的前提下逐步培养学生综合运用所学知识分析、解决实际问题的能力.

(4)加强实践性教学,培养学生用科学计算的方法来抽象和处理实际问题的能力.将数学软件MATLAB引入课堂教学,展示计算机解决实际问题的动态过程和手段,培养学生利用计算机处理实际问题的能力,解决现有教材和黑板教学不能实现的非常.

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第13卷第1期杨韧,杨光崇,谢海英: 微分方程数值解 的教学研究与实践

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3.2 重点、难点的处理方法

(1)微分方程数值解内容抽象,学生难于理解在保证教材内容科学性的前提下,安排由浅入深的内容次序以及简捷、直观的理论体系.课程始终贯以连续问题离散化的基本思想,注重与先行课程的衔接,力图达到与相关学科的相互渗透和利用.采用数值分析的基本技巧详细分析微分方程的离散过程,比如用差商代替微商、数值积分、数值微分、Taylor展式等基本方法推导各种差分格式,使理论的叙述和推导过程简化.在分析差分格式稳定性时,分别用高等代数中的矩阵理论和数学分析中的Fourier级数来进行讨论.

根据一般本科院校教学的实际需要,我们适当地调整了部分理论的推导证明.例如,对于同一类微分方程方程的多种差分格式,通过详细分析推导一种差分格式的基本理论(稳定性、收敛性、误差估计等),衍生到其它的差分格式,深入浅出,启发思维,重点关注分析、比较异同,让学生参与讨论,调动学生学习积极性,尝试达到教与学融为一体的教学成效.

针对教材理论性强的特点,结合各章节内容增设部分例题,利用计算机演示计算过程并绘制出解的图形,充分发挥计算机计算速度快、容量大,图形直观等优势,解决用笔难以实现的复杂的科学计算问题,使学生能够更加直观地理解教材内容.

(2)计算问题复杂,学生难于掌握

微分方程数值解的计算问题复杂,学生难于掌握,为此,我们加强了计算机编程能力的训练,通过算法分析和编制程序,由计算机来实现问题的求解.同时,用多种计算方法来解决同一种计算问题,研究其共性和差异,有利于学生灵活掌握各种算法.

3.3 创新与特点

针对微分方程数值解这门课具有 理论性强,公式推导烦琐、枯燥,计算量大 的特点以及学生实际情况,灵活应用多种教学方法.

(1)在教学中着重于对基本概念、基本理论和思想方法的讲解.对于引入的实际问题,采用启发式教学,通过师生讨论,建立模型,由老师展示计算机实现计算过程,最后分析结果,给学生以更多的自主思考空间,激发学生的学习欲望,鼓励学生参与分析讨论,着重掌握解决具体问题的实际方法和计算原理.

(2)采用 课堂(多媒体+计算机动态演示+黑板) 实验室 的多元化教学模式.课堂教学以讲授为主,提问、讨论等多种方法进行,注重启迪学生思维,根据不同的教学内容,有意识地尝试不同的教学方式,将多种不同的教学形式进行优化组合,充分调动创新能力以及自我更新知识的能力.

(3)在课程教学中溶入数学建模思想,培养学生建模的能力.对理工科学生而言从实际问题中提取相关信息建立数学模型尤为重要,微分方程数值解教学将提高学生建模能力作为重要的教学目标,在教学过程中注重培养学生的数学意识和运用数学的能力.

(4)在微分方程数值解课程中开设实验课,理论联系实际,让学生体会高维方程组的多种求解方法以及程序设计思想.并用适当的实际问题激发学生对数值方法理论内容的进一步实验论证和应用的兴趣,让学生感受到理论分析的重要性.使用计算机软件模拟克服和补充理论教学中的不足,更形象更生动的去验证和表现相关理论.特别是数值解的模拟中,让学生非常容易理解和体会理论解和数值解之间的联系和差别.

(5)结合课程内容,将微分方程数值解的相关知识应用于毕业设计,培养学生综合应用所学知识解决问题的能力.多名学生应用所学微分方程数值解的相关知识在老师的指导下,完成!流体力学边界层理论中Falker Skan方程的数值解 、!流体力学边界层理论中混合对流方程的数值解 、!二阶常微分方程的一个差分格式 、!利用MATLAB软件实现偏微分方程的可视化###波动方程 、!傅立叶变换的可视化及其应用 等多篇毕业设计论文并取得较好的效果.

4 结束语

通过微分方程数值解的教学研究与实践,我院的微分方程数值解在课程建设与教学改革研究方面已初步走向科学化与规范化的进程.该课程在教育思想转变、教学内容、课程体系、教学方法和教学手段的改革等方面取得了实际成效,基本实现教学过程立体化.但课程教学立体化尚需不断总结,不断完善;教学方法与教学手段改革尚需进一步深化.在今后的教学实践中根据我院本专业的定位,我们还需进一步调整和优化相应的课程内容体系;推进教学方法、教学手段现代化,提高教、学双方的效率;注重计算机实现科学计算与计算机绘图能力的培养,使我院微分方程数值解的教学更具特色.

参考文献

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教学研究与实践[J].大学数学.2006,22(6):4-6.[2]教育部数学与统计学教学指导委员会数学类专业教学指

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/4roe.html

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