高三数学试题

高三数学试题

2005-9-17 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是正确的 1．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|

a∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是 A.9 B.8 C.7 D.6

?x?0,?2?x.的解集是 2．不等式组?3?x???3?x2?xA{x|0?x?2} B {x|0?x?2.5} C{x|0?x?6} D {x|0?x?3}

43．在(1?x)5?(1?x)6?(1?x)7的展开式中，含x项的系数是首项为－2，公差为3的等 差数列的

A．第13项 B．第18项 C．第11项 D．第20项

4．设四棱锥 P?ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ?

A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 5．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3； （30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2. 则样本在区间（10，50]上

的频率为

A．0.5

B．0.7

C．0.25

D．0.05

6．若sin??tg??ctg?(??????),则?? 22??????A.（?，） B.（?，0） C.（0，） D.（，）

4422447．已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线

必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c. 当静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线击出，经椭圆壁反弹后再回到点A时，小球经过的路程是 （ ）

A．4a C．2(a?c)

B．2(a?c)

D．以上三种情况都有可能

8．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为 （ ）

A．16（12－63)? C．36?

B．18?

D．64（6－42)?

9．已知函数f(x)?x2?2ax?a在区间(??，1)上有最小值，则函数g(x)?上一定

A．有最小值

B．有最大值

C．是减函数

f(x)在区间(1，??)xD．是增函数

10．已知A、B为锐角三角形的两个内角，设m=cosB，n=sinA，则下列各式中正确的是（ ）

m2?n2m2?n2m2?n2m2?n2A、m<

222211．已知两点M（1，

55）、N（-4，-），给出下列曲线方程： 4422x2x22?y?1 ④?y2?1 ①4x?2y?1?0 ②x?y?3 ③22在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④

12．一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是 单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼 色方法有

2A. 308个 B. 30?257个 C. 30?207个 D. 30?217个

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）

?????????????????13．设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB, 且 2OA?OB?(7,9), 则

2????向量 OB? .

14．将大小不同的两种钢板截成A、B两种格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格成品的块数如右表所示．现在需要A、B两规格的成品分别为12块和10块，则至少需这两种钢板共 张．

规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 2 1 B规格 1 3 规的种要

15．取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下 去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体. 则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a；⑤体积为以上结论正确的是 .（要求填上的有正确结论的序号）

16．已知平面上两个点集 M?{(x,y)||x?y?1|?253a. 62(x2?y2),x,y?R},

N?{(x,y)||x?a|?|y?1|?1,x,y?R}. 若 M?N??, 则 a 的取值范围是

.

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1?a1，b2?a2，b3?a3（a1

n???222lim(b1?b2???bn)?2?1，试求{an}的首项与公差。

1718．（本小题满分12分）

袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取??取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用?表示取球终止所需要的取球次数. （I）求袋中所有的白球的个数； （II）求甲取到白球的概率. 19．（本小题满分12分）

已知线段PA?矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点． （1）求证：MN∥平面PAD；

（2）当二面角A-CD-P为45°时，求证：MN⊥平面PCD；

（3）在满足（2）的条件下，若AB＝4，AD＝2，求四棱锥N-ABCD的体积．

x22220．设曲线C1:2?y?1(a为正常数)与C2:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。

a（I）求实数m的取值范围（用a表示）；

（II）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0

21．由坐标原点O向曲线y?x3?3ax2?bx(a?0)引切线，切于O以外的点P1(x1,y1)，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2(x2,y2），如此进行下去，得到点列{ Pn(xn,yn}}. 求：（Ⅰ）xn与xn?1(n?2)的关系式；

（Ⅱ）数列{xn}的通项公式；

（Ⅲ）当n??时，Pn的极限位置的坐标.

1时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a2222．已知?,?是方程4x?4tx?1?0(t?R)的两个不等实根，函数f(x)?2x?t的定义域为x2?1??,??。

（Ⅰ）求g(t)?maxf(x)?minf(x)； （Ⅱ）证明：对于ui?(0,?2)(i?1,2,3)，若sinu1?sinu2?sinu3?1,

则

1113???6。

g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4

参考答案

一、 选择题 2 题号 1 C 答案 B 二、 填空题 题号 答案 3 D 13 4 D 5 B 6 B 14 7 7 D 8 C 9 D 15 ①②⑤ 10 A 11 D 12 D 16 (?1123,) 55[1?6,3?10] 三、 解答题 17．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得

22 a1(a1?2d)2?(a1?d)4 化简得：2a1?4a1d?d2?0

解得：d?(?2?2)a1

而?2?2?0，故a1＜0 若d?(?2?2)a1，则q?2a22a12a22a1?(2?1)2

若d?(?2?2)a1，则q??(2?1)2

但lim(b1?b2???bn)?2?1存在，故| q |＜1，于是q?(2?1)2不可能．

n??? 从而

2a11?(2?1)2?2?1?a12?(22?2)(2?1)?2

所以a1??2,d?(?2?2)a1?22?2 18．(I)设袋中原有n个白球,由题意知

n(n?1)1Cn(n?1)2 ???7?67C7?62所以n(n-1)=6，解得n?3(舍去n??2)即袋中原有3个白球.

2n27(II)由题意,?的可能取值为1,2,3,4,5

3P(??1)?;

74?32P???2???;

7?674?3?26P(??3)??;

7?6?5354?3?2?33P(??4)??;

7?6?5?4354?3?2?1?31P(??5)??;

7?6?5?4?335

因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A,

则 P(A)=P(“?=1”，或“?=3”，或“?=5”). 因为事件“?=1”、“?=3”、“?=5”两两互斥，所以

P(A)?P???1??P???3??P???5??19．（1）取PD的中点E，连接AE、EN，因为EN

36122??? 735353511

DC，而DCAM，所以ANME为平22

行四边形，MN∥AE．则MN∥平面PAD．

PA?矩形ABCD所在的平面， （2）故CD?PA，又ABCD为矩形，则CD?AD，所以CD?平面PAD，CD?AE，AE∥MN，MN?CD，因为AD?DC，PD?DC，则?PDA是二面角A-CD-P的平面角，?PDA＝45°，△PDA为等腰直角三角形，又E是斜边PD的中点，AE?PD，则MN?PD，已证MN?PD，可得MN?平面PCD． （3）连AC，取AC中点O，连ON，则ON∥PA，且ON?1PA，又PA＝AD＝2，则ON＝21，PA?平面ABCD，故ON?平面ABCD，即NO为四棱锥N-ABCD的高，

VN?ABCD?118NO?S矩形ABCD??1?2?4?(cm3) 333?x22?2?y?120．(1)由?a 消去y得：x2?2a2x?2a2m?a2?0 ①

?y2?2(x?m)? 设f(x)?x2?2a2x?2a2m?a2，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况：

a2?1 1°△＝0得：m?，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；

2 2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；

3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合． f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a． a2?1 综上可知，当0＜a＜1时，m?或－a＜m≤a；

2 当a≥1时，－a＜m＜a．

(2)△OAP的面积S? ∵0＜a＜

1ayp 21，故－a＜m≤a时，0＜?a2?aa2?1?2m＜a， 2 由唯一性得 xp??a2?aa2?1?2m

显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝1?∴S?aa?a2．

x2pa2取值最大，此时yp?2a?a2，

a2?11 当m?时，xp＝－a2，yp＝1?a2，此时S?a1?a2．

22

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