四川省各市2012年中考数学试题分类解析汇编（四边形等12份） 通用1

四川各市2012年中考数学试题分类解析汇编

专题11：圆

一、选择题

1. （2012四川成都3分）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【 】

A． 8cm B．5cm C．3cm D．2cm 【答案】D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两圆外切，圆心距为5cm，若一个圆的半径是3cm，∴另一个圆的半径=5﹣3=2（cm）。故选D。

2. （2012四川乐山3分）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是【 】

A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径r=2，∴3+2=5。

∵两圆的圆心距为O1O2=5，∴两圆的位置关系是外切。故选D。

3. （2012四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=23，则阴影部分图形的面积为【 】

A.4? B.2? C.? D.【答案】D。

【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。 【分析】连接OD。

∵CD⊥AB，CD=23，∴CE=DE=CD?3（垂径定理）。 ∴S?OCE?S?CDE。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。 又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。 ∴OC=2。 ∴S扇形OBD2? 31260??22 2?2???，即阴影部分的面积为。故选D。

360334. （2012四川达州3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】

A、60° B、45° C、30° D、20° 【答案】C。

【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质。

【分析】∵OB=BC=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠BOC=60°。

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=

1∠BOC=30°。故选C。 25. （2012四川德阳3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=【 】

A.45° B. 60° C.90° D. 30° 【答案】D。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质。

【分析】∵∠ADC与∠ABC所对的弧相同，∴∠ADC=∠ABC=30°。

∵OA=OD，∴∠BAD =∠ADC 30°，故选D。

6. （2012四川凉山4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y?x?2与⊙O的位置关系是【 】

A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能 【答案】B。

【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】如图，在y?x?2中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=2 ，

∴A（0，－2），B（2，0）。∴OA=OB= 2 。 ∴△AOB是等腰直角三角形。∴AB=2， 过点O作OD⊥AB，则OD=BD=

11AB=×2=1。 22又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。 ∴直线y=x- 2 与⊙O相切。故选B。

7. （2012四川巴中3分） 已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范

围是【 】

A. 0

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

由题意知，两圆内含，则0≤d＜3－1。故选D。

8. （2012四川自贡3分）如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是【 】

A．10πcm D．65πcm 【答案】B。

【考点】圆锥的计算，勾股定理。

22

B．25πcm

2

C．60πcm

2

【分析】如图， 在Rt△AOB中，圆锥的母线长AB=13cm，圆锥的OB=高12cm，

∴圆锥的底面半径OA?AB2?OB2?132?122?5（cm）， ∴S =π×5=25π（cm）。故选B。

9. （2012四川泸州2分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B = 60°，∠BOD = 100°，则∠C的 度数为【 】

2

2

A、50° 【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形的内角和定理。 【分析】∵∠BOD＝100°，∴∠A＝

B、60°

C、70°

D、80°

1∠BOD＝50°。 2∵∠B＝60°，∴∠C=180°－∠A－∠B=70°。故选C。

10. （2012四川南充3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍。则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是【 】

A .1200 B.1800 C.2400 D.3000 【答案】B。

【考点】圆锥的计算，扇形的弧长。 【分析】设母线长为R，底面半径为r，

∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR. ∵侧面积是底面积的2倍，∴R=2r。 设圆心角为n，有

二、填空题

1. （2012四川成都4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23 ，0C=1，则半径OB的长为 ▲ ．

n?R。故选B。 ?2?r??R,∴n=180°

1800OA【答案】2。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=23，∴BC=

CB 1AB=3。 2∵OC=1，∴在Rt△OBC中，OB?OC2?BC2?12??3?2?2。

2. （2012四川成都4分）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为 ▲ (结果保留π)

【答案】68π。

【考点】圆锥和圆柱的计算，勾股定理。 【分析】圆锥的母线长是：32+42=5。

∴圆锥的侧面积是：

1×8π×5=20π， 22

圆柱的侧面积是：8π×4=32π． 几何体的下底面面积是：π×4=16π。

∴该几何体的全面积（即表面积）为：20π+32π+16π=68π。

3. （2012四川乐山3分）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点．若∠A=50°，则∠EPH= ▲ ．

【答案】65°。

【考点】切线的性质，圆周角定理。 【分析】如图，连接OE，OH，

∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点， ∴∠OEA=∠OHA=90°。 又∵∠A=50°，

∴∠EOH=360°﹣∠OEA﹣∠OHA﹣∠A=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°。 又∵∠EPH和∠EOH分别是EH所对的圆周角和圆心角， ∴∠EPH=

11∠EOH=×130°=65°。 224. （2012四川攀枝花4分）底面半径为1，高为3的圆锥的侧面积等于 ▲ ． 【答案】2π。

【考点】圆锥的计算，勾股定理。

【分析】由于高线，底面的半径，母线正好组成直角三角形，故母线长可由勾股定理求得，再由圆锥侧面积=

1底面周长×母线长计算： ×2

∵高线长为3，底面的半径是1，∴由勾股定理知：母线长=∴圆锥侧面积=

??3+12=2。

211底面周长×母线长=×2π×2=2π。 ×225. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．

【答案】123。

【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。

【分析】∵⊙O2的面积为π，∴⊙O2的半径是1。

∵AB和AH是⊙O1的切线，∴AB=AH。

设⊙O2的半径是R，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F。 ∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60° ∴D．O2、O1三点共线，∠CDO1=30°。 ∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。 ∴四边形CFO2E是矩形，

∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。

∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R﹣1），解得：R=3。 即DO1=2+1+3=6，

在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD=33。 ∵∠HO1A=90°﹣60°=30°，HO1=3，∴AH=3=AB。 ∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=

121×（3+33）×（3+3）=123。 2

6. （2012四川宜宾3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：

①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB． 其中正确的是 ▲ （写出所有正确结论的序号）．

【答案】②③④。

【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】①如图，连接BD，

∵点C是AD的中点，∴∠ABC =∠CBD，即∠ABD=2∠ABC。

又∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。

∴∠BAD＋∠ABD=900，即∠BAD＋2∠ABC =900。

∴当∠ABC =300时，∠BAD=∠ABC；当∠ABC ≠300时，∠BAD≠∠ABC。 ∴∠BAD与∠ABC不一定相等。所以结论①错误。 ②∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD。 又∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。 ∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°。∴∠ADB=∠AFP。 又∵∠PAF=∠BAD， ∴∠ABD=∠APF。

又∵∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD。∴GP=GD。所以结论②正确。 ∵直径AB⊥CE，

∴A为CE的中点，即AE?AC。

又∵点C是AD的中点，∴AC?CD。∴AE?CD。∴∠CAP=∠ACP。∴AP=CP。 又∵AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°。∴∠PCQ=∠PQC。∴PC=PQ。

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点。 ∴P为Rt△ACQ的外心。所以结论③正确。 ④如图，连接CD，

∵AC?CD，∴∠B=∠CAD。又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA。 ∴

ACCB2

=，即AC=CQ?CB。 CQAC∵AE?AC，∴∠ACP=∠ADC。又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC。 ∴

ACAP2

，即AC=AP?AD。 =ADAC∴AP?AD=CQ?CB。所以结论④正确。 则正确的选项序号有②③④。

7. （2012四川达州3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 ▲ .（不取近似值） 【答案】24π。 【考点】圆锥的计算。

【分析】依题意知母线长=6，底面半径r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×4×6=24π。 8. （2012四川广元3分）在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，

最短为2cm，

则⊙O的半径为 ▲ cm 【答案】2。

【考点】点与圆的位置关系。

【分析】当点P在圆外时，直径=6 cm－2 cm =4cm，因而半径是2cm。

9. （2012四川凉山4分）如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为 ▲ （结果保留?）。

【答案】

?4。

【考点】扇形面积的计算，直角三角形两锐角的关系。

【分析】如图，先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可：

∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°。

90??12??。 ∵两个阴影部分扇形的半径均为1，∴S阴影?360410. （2012四川巴中3分）有一个底面半径为3cm，母线长10cm的圆锥，则其侧面积是 ▲

cm2

【答案】30π。 【考点】圆锥的计算。

【分析】直接根据公式：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2计算即可：

∵底面圆的半径为3cm，母线长10cm，则底面周长=6πcm， ∴圆锥的侧面积=

1×6π×10=30πcm2。 211. （2012四川泸州3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这

个圆锥的底面 圆的半径为 ▲ 【答案】

4。 3【考点】弧长的计算。

【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得：

120???44?2?r，解得r=。

1803三、解答题

1. （2012四川成都10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；

（2）若KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=

23，AK=25，求FG的长． 5

【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。 ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。 （2）AC∥EF，理由如下：

连接GD，如答图2所示。 ∵KG=KD?GE，∴

2

KGKD。 ?GEKG又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。 ∴∠E=∠AGD。

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。 （3）连接OG，OC，如答图3所示。 由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=

∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH+HK=AK，即（3t）

2

2

2

2

3。 5+t=（25），解得t=2。

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH+CH=OC，即（r﹣3t）+（4t）=r，解得r=∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。 在Rt△OGF中，OG=r=2

2

2

2

2

2

22

2525t= 2。66CH4252，tan∠OFG=tan∠CAH=?，

AH36

252OG25?6?2。 ∴FG=

4tan?OFG83【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。

【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。

（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及

KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。

（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定

理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。

2. （2012四川乐山10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G． （1）求证：OF?DE=OE?2OH；

（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

【分析】（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得

FOOE，然后由O=ADDE是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF?DE=OE?2OH。

（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由

FOOE，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可=ADDE求得BH的长，又由

S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB，即可求得答案。

3. （2012四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E． （1）求证：

PA?2； PB（2）若PQ=2，试求∠E度数．

【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2，∴PC=4，PD=22。

∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。

∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2

中，∠PBA=∠PDC，

PAPC4PAPB???2。 ?，即

PBPD22PCPDPQ1（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=∴∠CPQ=60°。 ?。

PC2PQ2?∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=22，PQ=2，∴sin∠PDQ=。PD2∴△PAB∽△PCD。∴

∴∠PDQ=45°。

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°。

又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°。∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°。 在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°。 答：∠E的度数是75°。

【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。 【分析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，得出

（2）由cos∠CPQ=

理，得出

∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可。

4. （2012四川广安9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线．

PAPC4PAPB???2。 ?，从而

PBPD22PCPDPQ1，同理求出∠PDQ=45°。由圆周角定?，求出∠CPQ=60°

PC2

5（2）若BC=25，sin∠BCP=5，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【答案】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴2∠BCP+2∠BCA=180°。

∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。

又∵AC是⊙O的直径，∴直线CP是⊙O的切线。 （2）如图，作BD⊥AC于点D，

∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。 ∵C=25，sin∠BCP=55 ∴sin?BCP?sin?DBC?DCDCBC?25?55，解得：DC=2。∴由勾股定理得：BD=4。∴点B到AC的距离为4。 （3）如图，连接AN，

在Rt△ACN中，AC=CNsin ?DBC =CNsin ?BCP= 55=5，

5又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。 ∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。 ∴

BD43PC?ADAC，即PC?205。∴PC?3。 在Rt△ACP中，AP?AC2+PC2?52+??20?225?3???3。

∴△ACP的周长为AC?CP?AP?5+203+253?20。

【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中

∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线。

（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用

sin?BCP?sin?DBC?离为4。

DCDC5??求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距BC255（3）先求出AC的长度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长。

5. （2012四川达州7分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作

⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.

（1）求证：PC是⊙O的切线.

（2）若AF=1，OA=22，求PC的长.

【答案】解：（1）证明：连结OC，

∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。

∴∠FAC=∠FCA。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。

∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。

∴∠FCO=∠FAO=90°。

又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。 （2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。

而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO 。∴∵CO=OA=22，AF=1，∴PC=22PA 。 设PA=x，则PC=22x

PAAF。 ?PCCO在Rt△PCO中，由勾股定理得，(22x)2?(22)2?(x?22)2 ，解得：

x?42。 7∴PC?16。 7【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论。

（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。

6. （2012四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相

切于点E，AD ⊥CD

（1）求证：AE平分∠DAC； （2）若AB=3，∠ABE=60°，

①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。

【答案】解：（1）证明：连接OE。

∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。

∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。 ∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。

∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。 （2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。

∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。 ∵AB=3

，

∴

在

Rt△ABE

中

，

A?E?A在

32B?，32c?中

3o?

s21?3203AE=

?3332，

?BRt△ADE，∵∠DAE=30°，

∴AD?AE?cos30??3339??。 224，

②∵∠EAO=∠AEO=30°

∴?AOE?180???EAO??AEO?1800?300?300?1200。

∵OA=OB，∴S?AOE?S?BOE?∴S阴影?S扇形AOE?S?AOE21 S?ABE。 21?S扇形AOE? S?ABE

2?3?120????? ?2? ?1?1?33?3 ?3??93。 ?3602222416【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。

【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故

∠DAE=∠AEO，

再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论。

（2）①根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定

义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长。

②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知

S?AOE?S?BO?E1 S?2A求B E出△AOE的面积，由S阴影?S扇形AOE?S?AOE即可得出结论。

7. （2012四川德阳14分） 如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，

直线CF交AB的延长线于G. ⑴求证：AE·FD=AF·EC； ⑵求证：FC=FB；

⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半径r的长.

【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°。

∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。 ∴

AEEC。∴AE?FD=AF?EC。 ?AFFDCEAEEH。 ??DFAFBF（2）证明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴

∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF。

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。

（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。

∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。 ∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。 ∵FB⊥AG，∴AB=BG。 连接OC，BC，

∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。 ∵OC=OA，CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC ∴∠FCB=∠CAB。

∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即

OC⊥CG。

∴CG是⊙O切线。

∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）

2

=BG×AG=2BG，

2

【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG=FG﹣BF，∴FG﹣4FG﹣12=0。 解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。

由勾股定理得：AB=BG=62?22=42。 ∴⊙O的半径r是22。

【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。

（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上

中线性质得出CF=DF=BF即可。

（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，

求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）

2

2

2

2

2

=BG×AG=2BG，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG=FG﹣BF，推出FG﹣4FG﹣12=0，

22222

求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG 的长，从而得到⊙O的半径r。

8. （2012四川绵阳12分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°。 （1）求∠APB的大小；

（2）若PO=20cm，求△AOB的面积。

【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小。

（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是

AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案。 9. （2012四川凉山8分）如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把OA三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）． （1） 求证：△POD≌△ABO；

（2） 若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式

【答案】（1）证明：连接PB，

∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把OA三等分， ∴∠APB=∠DPO=

1×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。 3∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形。 ∴AB=PA，∠BAO=60°， ∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。 在△POD和△ABO中，

∵∠OPD=∠BAO， OP=BA ，∠POD=∠ABO ， ∴△POD≌△ABO（ASA）。

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。

∵∠AOB=

11∠APB=×60°=30°，∴∠PDO=30°。 22∴OP=OD?tan30°=3×3（－3，0）。 =3。∴点P的坐标为：

3∵点P，D在直线y=kx+b上，

b?3???k?3?? ? ∴? ，解得：? 。

?3 k?b?0b?3????∴直线l的解析式为：y=3x+3。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，锐角三角函数定义，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把OA三等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等边三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO。

（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD?tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定

系数法，即可求得直线l的解析式。

10. （2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过

点D，E是⊙O 上一点，且∠AED=45°。

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。

【答案】解：（1）连接BD，OD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。

∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。 ∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。 又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD与⊙O相切。 （2）过点O作OF⊥AE，连接OE，

11AE=×10=5。 221∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。

21∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。

2AF5在Rt△AOF中，sin∠AOF=?，

AO6AF5∴sin∠ADE= sin∠AOF =?。

AO6则AF=

【考点】平行四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的判定，垂径定理，锐角三角函数定义。

【分析】（1）连接OD，BD，由AB为直径，∠AED=45°，证得△ABD是等腰直角三角形，

即AD=BD，

然后由等腰三角形的性质，可得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得

OD⊥CD，即可 证得CD与⊙O相切。

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=6，∠AOF=由圆周角定理 可得∠ADE=

1∠AOE，又21∠AOE，从而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的2值，即可求得 答案。

11. （2012四川资阳9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．

（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由； （2）(3分)求∠BOP的度数； （3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°。 ∵AB=AC，∴BD=DC。

（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，

∴∠BAD=∠CAD 。∴BD?DE。 ∴BD=DE。

∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。 ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°，

∴∠DCE=∠ABC=

1 (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。 2∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。 ∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。 ∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。 ∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。 （3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。

在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴又∵

OG1?。 AG2OPOP1OPOGOGGP。∴。 ??，∴??ACAB2ACAGAGGC又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。 ∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙O的切线。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。

【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。

（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故

BD?DE，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰

三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。

（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由

∠OAG=30°，可知

OG1OPOP1由?，??AG2ACAB2得

OPOGOGGP， ，由∠AGO=∠CGP??ACAGAGGC可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。

12. （2012四川自贡12分）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP。∴∠BAP=90°。

又∵AB=2，∠P=30°，∴AP=

AB2==23。 tan?P33（2）证明：如图，连接OC，OD．AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。 ∴∠ACP=90°。

又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半）。

在△OAD和△OCD中，∵OA=OC，OD=DD，AD=CD，∴△OAD≌△OCD

（SSS）。

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）。

又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP。∴∠OAD=90°。 ∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线。

【考点】切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在Rt△ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度。

（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD。

13. （2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中

点，弦CE⊥AB

于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。 (1)求证：P是线段AQ的中点； (2)若⊙O的半径为5，AQ=

15，求弦CE的长。 2

【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴AC?AE。

又∵C是弧AD的中点，∴AC?CD。∴AE?CD。∴∠ACP=∠CAP。

∴PA=PC。

∵AB是直径．∴∠ACB=90°。

∴∠PCQ=90°－∠ACP，∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。

∴PC=PQ。

∴PA=PQ，即P是AQ的中点。 （2）∵AC?CD，∴∠CAQ=∠ABC。

又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴

ACAQ。 ?BCBA15AC2315??。 又∵AQ=，BA=10，∴

BC1042设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得，?3k???4k??102，解得k=2。 ∴AC=6，BC=8。

根据直角三角形的面积公式，得：AC?BC=AB?CH，∴6×8=10CH。

∴CH=

2224。 5又∵CH=HE，∴CE=2CH=

48。 5

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